Note sull implementazione in virgola fissa di filtri numerici

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1 Note sull implementazione in virgola fissa di filtri numerici 4 settembre Introduction Nonostante al giorno d oggi i processori con aritmetica in virgola mobili siano molto comuni, esistono contesti applicativi in cui è conveniente, per motivi di costo e/o ingombro e/o consumo, usare DSP o microcontrollari dotati unicamente di aritmetica in virgola fissa. Lo scopo di queste brevi note è di illustrare come si implementa un filtro (o, più generalmente, un sistema di elaborazione lineare) su un DSP con aritmetica in virgola fissa. 2 Il problema Ogni filtro viene costruito a partire da tre mattoni di base 1. Elementi di ritardo 2. Somma di due campioni 3. Prodotto di un campione per una costante Ovviamente gli elementi di ritardo non risentono del tipo di artmetica disponibile e gli unici elementi che dobbiamo considerare sono gli ultimi due. I campioni e i coefficienti sono, in teoria, numeri reali. Dato che, per ipotesi, il nostro processore lavora unicamente con numeri interi, dobbiamo trovare un modo di rappresentare i coefficienti ed i campioni usando solamente numeri interi. Sia B il numero di bit che il nostro processore usa per un valore intero. La soluzione più ovvia (e quella che si usa in pratica) è di approssimare il numero reale a R con il numero n 2, dove n è un intero a B bit (compreso quindi tra 2 B 1 e 2 B 1 1 se usiamo la convenzione del complemento a due) e Z è un numero intero scelto in fase di progetto. Il valore di può essere interpretato come la posizione della virgola binaria all interno della rappresentazione binaria di n. Più precisamente, se < 0 la rappresentazione binaria di n viene interpretata come se ci fosse una virgola tra il 1

2 1-simo bit e il -simo bit (considerando il bit meno significativo come il bit 0-simo). Se > 0 si finge di avere zeri alla destra del bit meno significativo. Si veda la Fig.??. Il nostro problema è: abbiamo due campioni x R e y R ed un coefficiente a R. Siano N x, N y e N a gli interi a B bit che rappresentano x, y e a e siano x, y e a i rispettivi valori di. Noi vorremmo calcolare x+y e a x, ma tutto ciò che il nostro processore sa è rappresentato dagli interi N x, N y e N a. Come operiamo? Calcolo di x+y In questo caso è conveniente scegliere x = y e la somma di x+y diventa x+y = N x 2 x + N y 2 x = (N x + N y ) 2 x (1) Secondo la (1), il rappresentante di x+y è la somma del rappresentante di x e del rappresentante di y, indipedentemente dal valore di x Calcolo di a x Si ha a x = N a 2 a N x 2 x = (2 a N a N x ) 2 x Supponiamo di voler usare la stessa convenzione di x per il prodotto a x (ossia, vogliamo esprimerlo come un multiplo intero di 2 x ). A prima vista dalla (2) sembrerebbe che il rappresentante di a x fosse 2 a N a N x. Purtroppo, se a < 0 non è detto che 2 a N a N x sia un numero intero e questo vuol dire che il prodotto a x non è rappresentabile esattamente nella nostra convenzione in virgola fissa. Dobbiamo quindi approssimare 2 a N a N x ad un numero intero eseguendo uno spostamento di a posti a destra, perdendo i bit meno significativi Riassumendo, possiamo dire che Per ottenere il rappresentante della somma x+y si sommi il rappresentante di x al rappresentante di y Per ottenere il rappresentante del prodotto a x si moltiplichi il rappresentante di x per il rappresentante di a e si trasli il risultato a destra di a posizioni Si osservi come in tutto ciò il valore di x non giochi nessun ruolo. Si può quindi supporre, per esempio, x = 0 che corrisponde a supporre che i campioni siano tutti numeri interi. Questa convenzione è molto naturale poiché la lettura di un convertitore A/D restituisce un numero intero. Esempio 1. Può essere utile esemplificare quanto visto finora con un semplice esempio in base 10. Supponiamo di avere x = 0, x = N x = 45, a = 2 e a = 32,73. Il rappresentante di a è pari a N a = dato che a = 32,73 = (ovviamente, lavorando ora in base 10 abbiamo sostituito 2 a con 10 a ). Secondo quanto visto prima, per trovare il rappresentante di a x = 1472,85 dobbiamo 2 (2)

3 1. Moltiplicare il rappresentante di a per il rappresentante di x ottenendo = Traslare verso destra il risultato di a = 2 posizioni (ottenendo 1.472,85) ed arrotondare all intero più vicino (ottenendo 1.473) Si osservi che in questo caso il risultato finale (1.473) non sia esattamente uguale a a x = 1.472, 85 a causa dell errore di arrotondamento introdotto nell ultimo passo. È chiaro che tale errore sarà sempre presente poiché a x non è un numero intero. 3 Come scelgo x e a? Da quanto abbiamo visto è conveniente scegliere lo stesso x per tutti i campioni e, dato che la scelta di x è ininfluente sull implementazione del filtro, possiamo scegliere il valore che più ci aggrada, per esempio x = 0. Anzi, è probabile che non sia nemmeno necessario fare questa scelta in modo esplicito. Un discorso diverso vale invece per a, dato che il suo valore entra nell algoritmo per il prodotto. Dato che a viene rappresentato come un multiplo di 2 a è ovvio che vogliamo scegliere a il più piccolo possibile, in modo da minimizzare l errore di arrotondamento commesso su a. Quanto piccolo può essere scelto a? Il vincolo è che N a = a 2 a deve essere rappresentabile come intero a B bit, ossia deve essere 2 B 1 a 2 a 2 B 1 1 (3) È chiaro che la (3) impone un limite inferiore sul valore che può assumere a. La scelta ottima di a è quindi il più piccolo intero che soddisfa la (3). Lo stesso ragionamento che ha portato alla (3) può essere ripetuto per ogni coefficiente del filtro. Si osservi che mentre era molto conveniente scegliere lo stesso x per tutti i campioni in modo da poter sommare i rappresentanti senza bisogno di doverli allineare preventivamente, per quanto riguada i coefficienti, non c è nessun particolare vincolo a scegliere lo stesso a per tutti i coefficienti ed è possibile, almeno in linea di principio, adattare ogni a all ampiezza del corrispondente coefficiente. Abbiamo quindi due scelte Stesso a per tutti i coefficienti Questa soluzione è molto semplice da implementare poiché ci permette di sostituire ogni prodotto coefficiente-campione con un prodotto tra numeri interi seguito da uno spostamento a destra che non dipende dal singolo coefficiente. Per contro, il vincolo (3) deve venir rispettato da tutti i coefficienti e quindi sarà il coefficiente di modulo più grande a decidere la scelta di a a adattati Questa soluzione permette di rappresentare ogni coefficiente nella maniera più precisa possibile, ma può rendere l implementazione su DSP più difficile poiché l entità della traslazione da eseguire dopo il prodotto tra interi dipenderà dal singolo coefficiente. 3

4 Esempio 2. Si supponga di voler implementare in virgola fissa a B = 8 bit il filtro FIR la cui risposta impulsiva è data in Tab. 1. Le due scelte possibili sono Stesso a per tutti i coefficienti Il vincolo (3) in questo caso specifico diventa 128 a 2 a 127 (4) Dalla Tab. 1 vediamo che il coefficiente col più grande valore assoluto è h(5) = 9,11. È facile verificare che il più piccolo valore di a che soddisfa la (4) per a = h(5) = 9,11 è a = 3. Usando tale valore per a si ottengono i rappresentanti mostrati in Tab. 2. La terza riga della Tab. 2 mostra inoltre per ogni coefficiente la differenza tra il coefficiente vero e la sua approssimazione in virgola fissa. Una possibile implementazione di questo filtro potrebbe essere la seguente (Nota: codice non provato, potrebbero esserci degli errori) int16 h[] = {11, 0, 58, 18, -28, -73}; /* Filtro */ int16 N = sizeof(h)/sizeof(int16); /* Lunghezza filtro */ int16 stato[n-1]; /* Memoria del filtro */ #define mult(x,y) (((x)*(y)) >> 3) interrupt c_int12() { int16 inp, out; int n; inp = input_sample(); out = mult(inp, h[n-1]) + stato[n-2]; for(n=n-2; n>0; n--) { stato[n] = mult(inp, h[n]) + stato[n-1]; } } output_sample(out); Si osservi come ogni moltiplicazione sia stata sostituita dalla chiamata alla semplice macro mult(). (Domanda: a che struttura corrisponde il codice qui sopra?) a adattati Se decidiamo invece di adattare a ad ogni coefficiente, otteniamo i risultati mostrati in Tab. 3. Si osservi come l errore di approssimazione commesso in questo caso sia, per alcuni coefficienti, molto più piccolo dell errore commesso usando lo stesso a per tutti i coefficienti. Per contro, questa scelta ci costringe a memorizzare l informazione sui a e questo potrebbe rendere il codice un po più complesso. 4

5 Tabella 1: Risposta impulsiva del filtro dell Esempio 2 h(n) 1,33 0,015 7,21 2,28-3,45-9,11 Tabella 2: Rappresentanti dei coefficienti del filtro dell Esempio 2 ottenuti scegliendo a = 3 per ogni coefficiente. N h(n) ε 0,045-0,015 0,04-0,03-0,05-0,015 Tabella 3: Rappresentanti dei coefficienti del filtro dell Esempio 2 ottenuti scegliendo un a diverso per ogni coefficiente. N h(n) h(n) ε