Architettura degli elaboratori - 2 -

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Bernadetta Corona
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Applicate marco.tarini@uninsubria.it Esercizio 1 Dato il numero 137 10 convertirlo in base 2, 4, 8, 16.

1 Università degli Studi dell Insubria Dipartimento di Scienze Teoriche e Applicate Architettura degli elaboratori Numeri e aritmetica binaria Esercizi Marco Tarini Dipartimento di Scienze Teoriche e Applicate marco.tarini@uninsubria.it Esercizio 1 Dato il numero convertirlo in base 2, 4, 8, 16. Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 1

2 Esercizio 1: soluzione Conversione a base 2 tramite l algoritmo delle divisioni successive = Architettura degli elaboratori Esercizio 1: soluzione La conversione a base 4 si può fare attraverso l algoritmo delle divisioni successive, oppure a partire dalla rappresentazione in binario = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 2

10 001 001 2 = 211 8 Architettura degli elaboratori - 5 - Esercizio 1: soluzione La conversione a base 16 si può fare attraverso

3 Esercizio 1: soluzione La conversione a base 8 si può fare attraverso l algoritmo delle divisioni successive, oppure a partire dalla rappresentazione in binario = Architettura degli elaboratori Esercizio 1: soluzione La conversione a base 16 si può fare attraverso l algoritmo delle divisioni successive, oppure a partire dalla rappresentazione in binario = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 3

4 Esercizio 1: soluzione Prova: = 1* * *2 7 = = = 1* * *4 3 = = = 1* * *8 2 = = = 9* *16 1 = = 137 Architettura degli elaboratori Esercizio 2 Convertire in base 8 e 16 il numero Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 4

5 Esercizio 2: soluzione Conversione a base 8 e 16 tramite l algoritmo delle divisioni successive Architettura degli elaboratori Esercizio 3 Convertire il numero in binario Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 5

Esercizio 3: soluzione 17374 8 = 001 111 011 111 100 2 Architettura degli elaboratori - 11 - Esercizio 4 Si consideri la rappresentazione in complemento a 2 su 11 bit.

6 Esercizio 3: soluzione = Architettura degli elaboratori Esercizio 4 Si consideri la rappresentazione in complemento a 2 su 11 bit. Quali interi possono essere rappresentati? Come è rappresentato -1024? Qual è il numero rappresentato da N = ? Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 6

7 Esercizio 4 In complemento a 2 su 11 bit possono essere rappresentati i numeri da a , cioè da a corrisponde al minimo numero rappresentabile, che è sempre caratterizzato dalla presenza del termine negativo e dall assenza di termini positivi. Quindi = -1*2 10 = Architettura degli elaboratori Esercizio 4 Nella stringa abbiamo il termine negativo e tutti i positivi. Quindi il valore denotato è = = NB: non ocorre fare la somma, perché la sommatoria delle potenze di 2 da 2 0 a 2 n = n = 2 n+1-1 Alternativamente si può calcolare il complemento a 2, che è = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 7

8 Dimostrazione che n = 2 n+1-1 Per induzione: 2 0 = = = Se n = 2 n+1-1 allora n + 2 n+1 = 2 n n+1-1=2 n+2-1 Architettura degli elaboratori Esercizio 5 Convertire in base 10 il numero in complemento a 2 N = Convertire in base 10 il numero in complemento a 2 M = Dato il numero in complemento a 2 P = , codificare -P, sempre in complemento a 2. Codificare il numero in complemento a 2, usando il minimo numero di bit Codificare il numero in complemento a 2, usando il minimo numero di bit Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 8

9 Esercizio 5: soluzione Convertire in base 10 il numero in complemento a 2 N = = = = Convertire in base 10 il numero in complemento a 2 M = = = = Dato il numero in complemento a 2 P = codificare -P in complemento a 2. Complemento a 1 e incremento: = Verifica: = = = = = Architettura degli elaboratori Esercizio 5: soluzione Codificare il numero in complemento a 2, usando il minimo numero di bit Sono necessari 9 bit, con cui si può rappresentare [ ] = [ ] Con 8 si arriva al max a +127 Tramite algoritmo delle divisioni successive trovo la rappresentazione in binario naturale: = Su 9 bit: = (0) Verifica: = = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 9

10 Esercizio 5: soluzione Codificare il numero in complemento a 2, usando il minimo numero di bit Sono necessari 10 bit per rappresentare [ ] La rappresentazione in cpl2 di corrisponde alla rappresentazione in binario naturale i = Tramite algoritmo divisioni successive trovo: = Architettura degli elaboratori Esercizio 5: soluzione Codificare il numero in complemento a 2, usando il minimo numero di bit Soluzone alternativa: Tramite algoritmo divisioni successive trovo: = Aggiungo il segno = (0) Complemento e incremento: = Verifica: = = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 10

11 Esercizio 6 Si consideri la rappresentazione in complemento a 2 su 4 bit sommare -5 a -4 e dire se c e overflow nella somma sommare +1 a -6 e dire se c e overflow nella somma sommare +1 a +6 e dire se c e overflow nella somma sommare -4 a -4 e dire se c e overflow nella somma Architettura degli elaboratori Esercizio 6: soluzione Osservazione: in complemento a 2 su 4 bit si rappresentano i valori da -8 a +7 Sommare -5 a -4 e dire se c e overflow nella somma Anche senza effettuare la somma sappiao che ci sarà un underfow nella somma, perché -5-4 = -9, che è minore del minimo valore rappresentabile con 4 bit. -5 = 1011, -4 = = (1)0111 overflow (e risultato è positivo e denota +7 anziché -9) Sommare +1 a -6 e dire se c e overflow nella somma no overflow (operandi di segno diverso) =1011 che correttamente denota -8+3, cioè -5 Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 11

12 Esercizio 6: soluzione Sommare +1 a +6 e dire se c e overflow nella somma = 0111 no overflow, risultato corretto Sommare -4 a -4 e dire se c e overflow nella somma -4 = = (1)1000 No overflow e risultato corretto Architettura degli elaboratori Esercizio 7 Dato il numero A = dire a quali interi in base 10 corrisponde nel caso esso rappresenti la codifica di un numero: in valore assoluto in modulo e segno in complemento a 2 Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 12

13 Esercizio 7: soluzione A = Numero rappresentato in valore assoluto = Numero intero in modulo e segno segno = 1 negativo modulo = = = A = Numero intero in complemento a 2 A = = = Architettura degli elaboratori Esercizio 8 Rappresentare in base 2 il numero f= con precisione migliore di 10-4 Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 13

14 Esercizio 8: soluzione Possiamo usare l algoritmo delle moltiplcazioni successive La precisione richiesta ci indica quando fermarci Poiche la sommatoria 2 -n n n-k tende a 2 -n per k, dobbiano trovare n tale che 2 -n sia minore della precisione richiesta. Nel nostro caso, 2-14 = circa Architettura degli elaboratori Esercizio 8: soluzione Architettura degli elaboratori f= Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 14

15 Esercizio 9 Dato il numero A = e il numero B = C2 effettuare in complemento a 2 e sul numero di bit MINIMO per rappresentare entrambi gli operandi, non il risultato le operazioni A+B e A-B segnalando se si verifica overflow o meno. Dire inoltre che numeri sono A e B rappresentati nel sistema decimale. Architettura degli elaboratori Esercizio 9: soluzione A = = = C2 B = C2 Bisogna estendere B in segno per ottenere operandi rappresentati sullo stesso numero di bit: A = C2 B = C2 Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 15

16 Esercizio 9: soluzione Operazione A+B carry 1111 A B A+B (1) No overflow (somma di numeri di segno opposto) Verifica: A = = 3*256+5*16 = = B = C2 = = A+B= = = = 821 Architettura degli elaboratori Esercizio 9: soluzione Operazione A-B = A + (-B) -B = = carry 1 A B A-B No overflow Verifica A-B= = = = 875 Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Numeri e Aritmetica binaria - Esercizi 16

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