Numeri floating point
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- Damiano Marini
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1 Numeri floating point Corso di Calcolo Numerico, a.a. 2008/2009 Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 1 / 32
2 Rappresentazione dei numeri. L utilizzo in modo corretto del calcolatore per fare calcoli di tipo scientifico, richiede la conoscenza di come sono rappresentati i numeri e degli errori che derivano da questa rappresentazione. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 2 / 32
3 Rappresentazione dei numeri. L utilizzo in modo corretto del calcolatore per fare calcoli di tipo scientifico, richiede la conoscenza di come sono rappresentati i numeri e degli errori che derivano da questa rappresentazione. L uso dei numeri reali richiede una attenzione particolare, essendo questi infiniti, mentre il calcolatore ci da la possibilità di rappresentarne solo un numero finito. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 2 / 32
4 Rappresentazione dei numeri. L utilizzo in modo corretto del calcolatore per fare calcoli di tipo scientifico, richiede la conoscenza di come sono rappresentati i numeri e degli errori che derivano da questa rappresentazione. L uso dei numeri reali richiede una attenzione particolare, essendo questi infiniti, mentre il calcolatore ci da la possibilità di rappresentarne solo un numero finito. La nostra notazione per rappresentare i numeri è una notazione posizionale a base 10. Ciò significa che se scriviamo 123 intendiamo esprimere il numero: Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 2 / 32
5 Rappresentazione dei numeri. Notazione scientifica: ±γ 0.γ 1 γ 2...γ t N q, 0 γ i N 1 mantissa: m = γ 0.γ 1 γ 2... γ t... esponente: q base : N normalizzata se γ 0 0 I numeri di macchina o floating point sono del tipo: ±γ 0.γ 1 γ 2... γ t N q con γ 0 0 e M 1 q M 2, più lo zero. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 3 / 32
6 Numeri di Macchina Il più grande numero rapparesentabile in questo sistema se utilizziamo la base 10 è realmax = M 2 mentre il più piccolo numero vicino allo zero è: realmin = M 1 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 4 / 32
7 Troncamento e Arrotondamento Consideriamo il numero reale: x = ±γ 0.γ 1 γ 2...γ t N q compreso fra il massimo e il minimo numero rappresentabile (Se si cerca di rappresentare un numero fuori da questo range si ha il problema dell underflow o dell overflow) Vi sono due modi diversi per approssimare questo numero mediante un numero floating point: 1) Troncamento: si trascurano le cifre successive a γ t ; 2) Arrotondamento: se γ t+1 < N/2 trascurare tutte le cifre dopo γ t ; se γ t+1 N/2, aggiungere 1 a γ t e trascurare le rimanenti cifre. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 5 / 32
8 Esempio x troncato arrotondato t=2 t= Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 6 / 32
9 γ 0.γ 1 N q γ 0.γ 1...γ t N q γ 0.γ 1... γ t N q + N t N q Sia fl(x) l approssimazione di x. Troncamento: fl(x) x = 0.γ t+1 N q t N q t. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 7 / 32
10 γ 0.γ 1 N q γ 0.γ 1...γ t N q γ 0.γ 1... γ t N q + N t N q Sia fl(x) l approssimazione di x. Troncamento: Arrotondamento fl(x) x = 0.γ t+1 N q t N q t. fl(x) x 1 2 Nq t Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 7 / 32
11 γ 0.γ 1 N q γ 0.γ 1...γ t N q γ 0.γ 1... γ t N q + N t N q Sia fl(x) l approssimazione di x. Troncamento: Arrotondamento Errore Assoluto x = fl(x) x fl(x) x = 0.γ t+1 N q t N q t. fl(x) x 1 2 Nq t Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 7 / 32
12 γ 0.γ 1 N q γ 0.γ 1...γ t N q γ 0.γ 1... γ t N q + N t N q Sia fl(x) l approssimazione di x. Troncamento: Arrotondamento Errore Assoluto x = fl(x) x Errore relativo fl(x) x = 0.γ t+1 N q t N q t. fl(x) x 1 2 Nq t fl(x) x x Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 7 / 32
13 Teorema Se x 0 e usiamo t cifre per rappresentare la mantissa, allora: fl(x) x x u (1) dove: Dimostrazione { N t troncamento u = 1 2 N t arrotondamento Sia x = γ 0.γ 1 γ 2... γ t N q, allora x N q e, nel caso dell arrotondamento, si ha: fl(x) x x 1 2 Nq t N q 1 2 N t, Il numero u è detto unità di arrotondamento o precisione di macchina. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 8 / 32
14 Secondo lo standard IEEE (lo standard di rappresentazione dei numeri floating point) utilizzando 8 byte per rappresentare i numeri la precisione di macchina risulta essere u = L errore relativo, piuttosto che l errore assoluto, è legato alle cifre esatte di un numero. Poniamo: Sappiamo che ǫ u e ǫ = fl(x) x x fl(x) = x(1 + ǫ), Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 9 / 32
15 Operazioni con i numeri di macchina Sia o {+,,,/} e siano x e y due numeri floating point. È improbabile che l esatto valore di xoy sia un numero floating point. Esempio t=3, N= = che richiede più di tre cifre decimali. Il computer dovrebbe eseguire le operazioni aritmetiche di base in modo che il risultato finale sia il risultato esatto arrotondato al più vicino numero floating point. Cioè Modello delle operazioni aritmetiche: o fl(xoy) = (xoy)(1 + ǫ), fl(xoy) = (xoy)/(1 ǫ), ǫ u ǫ u L aritmetica floating point IEEE richiede questo. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 10 / 32
16 Esercizio Consideriamo i seguenti numeri di macchina ±γ 0.γ 1 γ 2 10 ±e 0e 1 : qual è il valore di realmin? qual è il valore di realmax? se usiamo l arrotondamento qual è il valore della precisione di macchina? Utilizzando i numeri di macchina appena definiti calcolare: (x + 2) 2 4 x per x = e x = Calcolare l errore relativo in entrambi i casi e spiegare i risultati ottenuti. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 11 / 32
17 Soluzione Lavorando in base 10 le cifre della mantissa possono assumere i seguenti valori 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, poichè i numeri di macchina sono rappresentati utilizzando la notazione esponenziale normalizzata γ 0 0. L esponente può assumere i valori ±0, 1,, 99. Realmin è il più piccolo numero positivo rappresentabile. Realmin = Realmax è il più grande numero positivo rappresentabile.realmax = Il valore della precisione di macchina è: 10 2 /2. I numeri coinvolti sono tutti rappresentabili esattamente nella nostra macchina. Supponiamo che ogni operazione aritmetica dia come risultato il valore esatto arrotondato. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 12 / 32
18 Soluzione Eseguiamo le operazioni con x = : fl(x + 2) = fl( ) = fl(( ) 2 = fl( ) = fl( ) = fl( ) = fl( / ) = fl( ) = Il valore esatto è: L errore relativo è: Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 13 / 32
19 Soluzione Esaguiamo le operazioni con x = : fl(x + 2) = fl( ) = fl(( ) 2 = fl( ) = fl( ) = fl( ) = 0.00 fl(0.00/ ) = 0.00 Il valore esatto è: L errore relativo è: = Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 14 / 32
20 Commenti Se x y allora x y ha un errore relativo molto grande che si chiama errore di cancellazione Vedremo più avanti una spiegazione di questo errore. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 15 / 32
21 Commenti Se x y allora x y ha un errore relativo molto grande che si chiama errore di cancellazione Vedremo più avanti una spiegazione di questo errore. Provare a ripetere l esercizio usando x = e x = Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 15 / 32
22 Esempio cancellazione Eseguiamo x + 1 x, utilizzando il sistema floating point dell esercizio precedente e x = : fl(x + 1) = fl( ) = fl( ) = quindi x sarà uguale a zero. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 16 / 32
23 Esempio cancellazione Eseguiamo x + 1 x, utilizzando il sistema floating point dell esercizio precedente e x = : fl(x + 1) = fl( ) = fl( ) = quindi x sarà uguale a zero. Possiamo utilizzare delle formule equivalenti per calcolare la stessa quantità, il sistema floating point darà risultati diversi. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 16 / 32
24 Esempio cancellazione Eseguiamo x + 1 x, utilizzando il sistema floating point dell esercizio precedente e x = : fl(x + 1) = fl( ) = fl( ) = quindi x sarà uguale a zero. Possiamo utilizzare delle formule equivalenti per calcolare la stessa quantità, il sistema floating point darà risultati diversi. Esempio: ( x + 1 x) ( x x) x x = 1 x x L errore relativo è Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 16 / 32
25 Esempio cancellazione Eseguiamo x + 1 x, utilizzando il sistema floating point dell esercizio precedente e x = : fl(x + 1) = fl( ) = fl( ) = quindi x sarà uguale a zero. Possiamo utilizzare delle formule equivalenti per calcolare la stessa quantità, il sistema floating point darà risultati diversi. Esempio: ( x + 1 x) ( x x) x x = 1 x x L errore relativo è Provate ad eseguire i calcoli per esercizio. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 16 / 32
26 Le operazioni con i numeri di macchina non godono di tutte le proprietà di cui godono le corrispondenti operazioni con i numeri reali. Per esempio non valgono più la proprietà associativa e quella distributiva. Esempio N = 10 e t = 2: Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 17 / 32
27 Le operazioni con i numeri di macchina non godono di tutte le proprietà di cui godono le corrispondenti operazioni con i numeri reali. Per esempio non valgono più la proprietà associativa e quella distributiva. Esempio N = 10 e t = 2: ( ) = ( )10 1 = ( ) = = ( )10 1 Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 17 / 32
28 Le operazioni con i numeri di macchina non godono di tutte le proprietà di cui godono le corrispondenti operazioni con i numeri reali. Per esempio non valgono più la proprietà associativa e quella distributiva. Esempio N = 10 e t = 2: ( ) = ( )10 1 = = ( )10 1 = ; ( ) = = ( )10 1 = Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 17 / 32
29 Addizione e Sottrazione Siano x ed y numeri reali tali che x + y è diverso da zero e calcoliamo la somma fl(fl(x) + fl(y)). fl(fl(x) + fl(y)) = (x(1 + ǫ x ) + y(1 + ǫ y ))(1 + ǫ) con ǫ, ǫ x, ǫ y u Calcoliamo l errore relativo trascurando i termini contenenti ǫǫ x ed ǫǫ y, (x + y) (fl(x) + fl(y))(1 + ǫ) x + y = x + y (x + xǫ x + y + yǫ y )(1 + ǫ) x + y x ǫ + ǫ x x + y + ǫ y y x + y. Se x + y non è piccolo l errore relativo è dello stesso ordine degli errori relativi ǫ, ǫ x ed ǫ y. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 18 / 32
30 Se x + y è molto piccolo l errore relativo è grande. Esempio x = , y = , t = 5 ed N = 10. Usando l arrotondamento fl(x) = fl(y) = fl(fl(x) fl(y)) = , x y = Le ultime tre cifre della mantissa risultano errate. L errore relativo risultante è: che è piuttosto elevato Fenomeno della cancellazione numerica. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 19 / 32
31 Prodotto Allo stesso modo si può analizzare il prodotto: fl(fl(x) fl(y)) = fl(x(1 + e x ) y(1 + e y )) = x(1 + e x )y(1 + e y )(1 + e ) l errore relativo è: cioè x(1 + e x )y(1 + e y )(1 + e ) xy / xy (1 + e x )(1 + e y )(1 + e ) 1 semplificando ed eliminando i termini che contengono i prodotti di pi uerrori si ottiene: errore relativo nel prodotto e x + e y + e Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 20 / 32
32 Standard IEEE costituisce un insieme di regole definito dall istituto degli ingegneri elettrici e elettronici per la rappresentazione e l elaborazione dei numeri floating point nei computer; Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 21 / 32
33 Standard IEEE costituisce un insieme di regole definito dall istituto degli ingegneri elettrici e elettronici per la rappresentazione e l elaborazione dei numeri floating point nei computer; specifica esattamente cosa sono i numeri floating point e come sono rappresentati nell hardware e ha 4 scopi principali; Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 21 / 32
34 Standard IEEE costituisce un insieme di regole definito dall istituto degli ingegneri elettrici e elettronici per la rappresentazione e l elaborazione dei numeri floating point nei computer; specifica esattamente cosa sono i numeri floating point e come sono rappresentati nell hardware e ha 4 scopi principali; rendere l aritmetica floating point il più accurata possibile; Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 21 / 32
35 Standard IEEE costituisce un insieme di regole definito dall istituto degli ingegneri elettrici e elettronici per la rappresentazione e l elaborazione dei numeri floating point nei computer; specifica esattamente cosa sono i numeri floating point e come sono rappresentati nell hardware e ha 4 scopi principali; rendere l aritmetica floating point il più accurata possibile; produrre risultati sensati in situazioni eccezionali; Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 21 / 32
36 Standard IEEE costituisce un insieme di regole definito dall istituto degli ingegneri elettrici e elettronici per la rappresentazione e l elaborazione dei numeri floating point nei computer; specifica esattamente cosa sono i numeri floating point e come sono rappresentati nell hardware e ha 4 scopi principali; rendere l aritmetica floating point il più accurata possibile; produrre risultati sensati in situazioni eccezionali; standardizzare le operazioni floating point fra i computer; Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 21 / 32
37 Standard IEEE costituisce un insieme di regole definito dall istituto degli ingegneri elettrici e elettronici per la rappresentazione e l elaborazione dei numeri floating point nei computer; specifica esattamente cosa sono i numeri floating point e come sono rappresentati nell hardware e ha 4 scopi principali; rendere l aritmetica floating point il più accurata possibile; produrre risultati sensati in situazioni eccezionali; standardizzare le operazioni floating point fra i computer; Dare al programmatore un controllo sulla manipolazione delle eccezioni; Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 21 / 32
38 Standard IEEE I due tipi di numeri rappresentati sono interi (fixed point) e reali (floating point). Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 22 / 32
39 Standard IEEE I due tipi di numeri rappresentati sono interi (fixed point) e reali (floating point). Un numero reale ha tipo float in c e real in Fortran, Matlab, Scilab, R. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 22 / 32
40 Standard IEEE I due tipi di numeri rappresentati sono interi (fixed point) e reali (floating point). Un numero reale ha tipo float in c e real in Fortran, Matlab, Scilab, R. Nella maggior parte dei compilatori c e in Matlab, R, Scilab un float ha per default 8 byte invece di 4. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 22 / 32
41 Standard IEEE I due tipi di numeri rappresentati sono interi (fixed point) e reali (floating point). Un numero reale ha tipo float in c e real in Fortran, Matlab, Scilab, R. Nella maggior parte dei compilatori c e in Matlab, R, Scilab un float ha per default 8 byte invece di 4. Il formato IEEE sostituisce la base 10 con la base 2 per rappresentare il numero. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 22 / 32
42 Aritmetica con gli interi Un intero viene rappresentato in 4 byte. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 23 / 32
43 Aritmetica con gli interi Un intero viene rappresentato in 4 byte. Vi sono quindi interi a 32 bit che coprono l intervallo da a Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 23 / 32
44 Aritmetica con gli interi Un intero viene rappresentato in 4 byte. Vi sono quindi interi a 32 bit che coprono l intervallo da a Addizione, sottrazione e moltiplicazione sono fatte esattamente se la risposta e compresa nell intervallo. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 23 / 32
45 Aritmetica con gli interi Un intero viene rappresentato in 4 byte. Vi sono quindi interi a 32 bit che coprono l intervallo da a Addizione, sottrazione e moltiplicazione sono fatte esattamente se la risposta e compresa nell intervallo. La maggior parte dei computer danno risultati imprevedibili se il risultato è fuori dal range (overflow). Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 23 / 32
46 Aritmetica con gli interi Un intero viene rappresentato in 4 byte. Vi sono quindi interi a 32 bit che coprono l intervallo da a Addizione, sottrazione e moltiplicazione sono fatte esattamente se la risposta e compresa nell intervallo. La maggior parte dei computer danno risultati imprevedibili se il risultato è fuori dal range (overflow). Lo svantaggio dell aritmetica con gli interi è che non possono essere rappresentate le frazioni e l intervallo dei numeri è piccolo. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 23 / 32
47 Numeri Reali Parola a 32 bit interpretata come un numero floating point il primo bit è il bit del segno, s = 0 equivale a + s = 1 equivale a -. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 24 / 32
48 Numeri Reali Parola a 32 bit interpretata come un numero floating point il primo bit è il bit del segno, s = 0 equivale a + s = 1 equivale a -. I successivi 8 bit formano l esponente. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 24 / 32
49 Numeri Reali Parola a 32 bit interpretata come un numero floating point il primo bit è il bit del segno, s = 0 equivale a + s = 1 equivale a -. I successivi 8 bit formano l esponente. I rimanenti 23 bit determinano la mantissa. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 24 / 32
50 Numeri Reali Parola a 32 bit interpretata come un numero floating point il primo bit è il bit del segno, s = 0 equivale a + s = 1 equivale a -. I successivi 8 bit formano l esponente. I rimanenti 23 bit determinano la mantissa. Vi sono 2 possibili segni, 256 esponenti (che variano da 0 a 255) e milioni di possibili mantisse. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 24 / 32
51 Numeri Reali Esponenti negativi - convenzione: lo zero è nella posizione 127, dopo ci sono i numeri positivi e prima i numeri negativi. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 25 / 32
52 Numeri Reali Esponenti negativi - convenzione: lo zero è nella posizione 127, dopo ci sono i numeri positivi e prima i numeri negativi. In memoria viene rappresentato q = q Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 25 / 32
53 Numeri Reali Esponenti negativi - convenzione: lo zero è nella posizione 127, dopo ci sono i numeri positivi e prima i numeri negativi. In memoria viene rappresentato q = q Il primo bit della mantissa, che rappresenta γ 0, è sempre uguale a 1, quindi non vi è necessità di memorizzarlo esplicitamente. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 25 / 32
54 Numeri Reali Esponenti negativi - convenzione: lo zero è nella posizione 127, dopo ci sono i numeri positivi e prima i numeri negativi. In memoria viene rappresentato q = q Il primo bit della mantissa, che rappresenta γ 0, è sempre uguale a 1, quindi non vi è necessità di memorizzarlo esplicitamente. Nei bit assegnati alla mantissa viene memorizzato m e m = 1.m. Un numero floating point positivo ha quindi il valore x = ±(1.m ) 2 2 q 127 e la notazione (1.m ) 2 indica che 1.m è interpretata in base 2. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 25 / 32
55 Esempio Il numero = 2752 può essere scritto: 2752 = = = 2 11 ( ) = = 2 11 (1 + (0.01) 2 + (0.0001) 2 + ( ) 2 )) = = 2 11 ( ) 2 allora la rappresentazione di questo numero avrebbe segno + esponente q = q = 138 = ( ) 2 e m = ( ) 2. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 26 / 32
56 Eccezioni Il caso q = 0 ( che corrisponde a ) e il caso q = 255 (che corrisponde a ) hanno una interpretazione differente e complessa che rende la IEEE diversa dagli altri standard. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 27 / 32
57 Eccezioni Il caso q = 0 ( che corrisponde a ) e il caso q = 255 (che corrisponde a ) hanno una interpretazione differente e complessa che rende la IEEE diversa dagli altri standard. Se q = 0 il valore del numero memorizzato è x = ±(0.m ) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 27 / 32
58 Eccezioni Il caso q = 0 ( che corrisponde a ) e il caso q = 255 (che corrisponde a ) hanno una interpretazione differente e complessa che rende la IEEE diversa dagli altri standard. Se q = 0 il valore del numero memorizzato è x = ±(0.m ) Questo è chiamato underflow graduale (l underflow è la situazione in cui il risultato di una operazione è diversa da zero ma è più vicina a zero di qualsiasi numero floating point). Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 27 / 32
59 Eccezioni Il caso q = 0 ( che corrisponde a ) e il caso q = 255 (che corrisponde a ) hanno una interpretazione differente e complessa che rende la IEEE diversa dagli altri standard. Se q = 0 il valore del numero memorizzato è x = ±(0.m ) Questo è chiamato underflow graduale (l underflow è la situazione in cui il risultato di una operazione è diversa da zero ma è più vicina a zero di qualsiasi numero floating point). I numeri corrispondenti vengono chiamati denormalizzati. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 27 / 32
60 Eccezioni Il caso q = 0 ( che corrisponde a ) e il caso q = 255 (che corrisponde a ) hanno una interpretazione differente e complessa che rende la IEEE diversa dagli altri standard. Se q = 0 il valore del numero memorizzato è x = ±(0.m ) Questo è chiamato underflow graduale (l underflow è la situazione in cui il risultato di una operazione è diversa da zero ma è più vicina a zero di qualsiasi numero floating point). I numeri corrispondenti vengono chiamati denormalizzati. L underflow graduale ha la conseguenza che due numeri floating point sono uguali se e solo se sottraendone uno dall altro si ha esattamente zero. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 27 / 32
61 Eccezioni Se esludiamo i numeri denormali allora il più piccolo numero positivo floating point è a = realmin = q 126, il successivo numero positivo b ha q = 1 e m = , la distanza fra a e b è 2 23 volte più piccola, della distanza fra a e zero. Senza l underflow graduale ci sarebbe un gap fra zero ed il numero floating point più vicino. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 28 / 32
62 Eccezioni Se esludiamo i numeri denormali allora il più piccolo numero positivo floating point è a = realmin = q 126, il successivo numero positivo b ha q = 1 e m = , la distanza fra a e b è 2 23 volte più piccola, della distanza fra a e zero. Senza l underflow graduale ci sarebbe un gap fra zero ed il numero floating point più vicino. L altro caso è q = 255 che ha due sottocasi, Inf se m = 0 e NaN se m 0. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 28 / 32
63 Eccezioni Se esludiamo i numeri denormali allora il più piccolo numero positivo floating point è a = realmin = q 126, il successivo numero positivo b ha q = 1 e m = , la distanza fra a e b è 2 23 volte più piccola, della distanza fra a e zero. Senza l underflow graduale ci sarebbe un gap fra zero ed il numero floating point più vicino. L altro caso è q = 255 che ha due sottocasi, Inf se m = 0 e NaN se m 0. Molti linguaggi di programmazione stampano Inf o NaN quando si stampa una variabile floating point che contiene questo risultato. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 28 / 32
64 Eccezioni Se esludiamo i numeri denormali allora il più piccolo numero positivo floating point è a = realmin = q 126, il successivo numero positivo b ha q = 1 e m = , la distanza fra a e b è 2 23 volte più piccola, della distanza fra a e zero. Senza l underflow graduale ci sarebbe un gap fra zero ed il numero floating point più vicino. L altro caso è q = 255 che ha due sottocasi, Inf se m = 0 e NaN se m 0. Molti linguaggi di programmazione stampano Inf o NaN quando si stampa una variabile floating point che contiene questo risultato. Il computer produce Inf se il risultato di una operazione è più grande del più grande numero rappresentabile. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 28 / 32
65 Eccezioni Se esludiamo i numeri denormali allora il più piccolo numero positivo floating point è a = realmin = q 126, il successivo numero positivo b ha q = 1 e m = , la distanza fra a e b è 2 23 volte più piccola, della distanza fra a e zero. Senza l underflow graduale ci sarebbe un gap fra zero ed il numero floating point più vicino. L altro caso è q = 255 che ha due sottocasi, Inf se m = 0 e NaN se m 0. Molti linguaggi di programmazione stampano Inf o NaN quando si stampa una variabile floating point che contiene questo risultato. Il computer produce Inf se il risultato di una operazione è più grande del più grande numero rappresentabile. Operazioni invalide che producono come risultato NaN sono: Inf /Inf, 0/0, Inf Inf. Operazioni con Inf hanno il significato usuale: Inf + finito = Inf, Inf /Inf = NaN, Finito/Inf = 0, Inf Inf = NaN. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 28 / 32
66 Accuratezza L accuratezza delle operazioni Floating Point è determinata dalla grandezza degli errori di arrotondamento. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 29 / 32
67 Accuratezza L accuratezza delle operazioni Floating Point è determinata dalla grandezza degli errori di arrotondamento. Questo errore di arrotondamento è determinato dalla distanza di un numero dal numero floating point più vicino. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 29 / 32
68 Accuratezza L accuratezza delle operazioni Floating Point è determinata dalla grandezza degli errori di arrotondamento. Questo errore di arrotondamento è determinato dalla distanza di un numero dal numero floating point più vicino. Eccetto che per i numeri denormalizzati, i numeri floating point differiscono di un bit, l ultimo bit di m. Cioè in singola precisione. Questo è l errore relativo e non l errore assoluto. Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 29 / 32
69 IEEE - singola precisione Occupa 4 byte = 32 bits 8 23 s q m segno esponente mantissa Esso rappresenta ( 1) s 2 q 127 (1.m) Si noti che γ 0 = 1 nella mantissa non deve essere esplicitamente memorizzato, quindi m = γ 1 γ 2...γ t. Range di numeri positivi normalizzati da a (da a ) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 30 / 32
70 IEEE - doppia precisione Occupa 8 byte = 64 bits s q m segno esponente mantissa Esso rappresenta ( 1) s 2 q 1023 (1.m) Range di numeri positivi normalizzati da a (da a ) Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 31 / 32
71 IEEE - Eccezioni aritmetiche e risultati di default tipo di esempio risultato eccezione di default operazione 0/0 0 NaN invalide 1 (Not a number) Overflow ± Divisione Numero finito non nullo/0 ± per zero Underflow numeri denormali Francesca Mazzia (Univ. Bari) Numeri floating point 32 / 32
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Capitolo 2 Analisi degli errori 2.1 Rappresentazione dei numeri L utilizzo in modo corretto del calcolatore per fare calcoli di tipo scientifico, richiede la conoscenza di come sono rappresentati i numeri
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Capitolo 1 Analisi degli errori 1.1 Rappresentazione dei numeri L utilizzo in modo corretto del calcolatore per fare calcoli di tipo scientifico, richiede la conoscenza di come sono rappresentati i numeri
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