numeri razionali («con la virgola, e sviluppo finito oppure periodico»)

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1 numeri razionali («con la virgola, e sviluppo finito oppure periodico») Architettura degli elaboratori Numeri binari non interi Come si esprime un numero non intero in binario? Esattamente come in base dieci: = 2x x x x x centinaia + 3 decine + 5 unità + 1 decimi + 3 centesimi. Esempio in base 2: = 1x x x x x x x2-8 = /2 + 1/8 = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori - 3 1

2 Numeri binari non interi oppure: cosi come, in base 10: = 235 unità + 13 centesimi (/10 2 ) (perché sono 2 cifre dopo la virgola) = 235 unità millesimi (/10 3 ) (perché sono 3 cifre dopo la virgola) nello stesso modo, in base 2: = unità / 2 4 = 5 + 9/16 Architettura degli elaboratori Conversione da decimale a binario di numeri frazionari: esempio raddoppio della parte frazionaria (quella dopo la virgola) = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori - 3 2

3 Conversione da decimale a binario di numeri frazionari: esempio raddoppio della parte frazionaria (quella dopo la virgola) = Architettura degli elaboratori Conversione da decimale a binario di numeri frazionari: algoritmo Implementazione dell algoritmo in C int convert (int d[], float v, int k) { i = k-1; while (i>=0) { if (2v >= 1) d[i] = 1; else d[i]=0; v = 2v-d[i]; i--; } Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori - 3 3

4 Note matematiche sullo sviluppo di numeri con la virgola Tutti (e soli) i numeri razionali ( Q, le frazioni) hanno sempre sviluppi che sono o finiti o periodici: finiti: es. ½ = 0.5, ¼ = 0.25 periodici: es 1/3 = /9 = I numeri non razionali ( Q ) hanno sviluppi infiniti e NON periodici es: sqrt(2) = pi = Questo vale a prescindere dalla base ma una stessa frazione puo avere uno sviluppo periodico in una base e finito in un altra es: 1/5 = 0.2 in base 10, 1/5 = in base 2 Architettura degli elaboratori Troncamento e arrotondamento I numeri frazionari possono avere un numero infinito di cifre. Ne scriveremo solo un numero finito k. Troncamento = ignoro tutte le cifre dopo k (quindi, arrotondo sempre per difetto) Arrotondamento = idem, ma prima arrotondo per eccesso o per difetto, per minimizzare l errore dipende solo della prima cifra che scarto (la (k+1)-esima) in base 10: 0,1,2,3,4 per difetto. 5,6,7,8,9 per eccesso in base 2: 0 per difetto 1 per eccesso Es, k = 3, in base 10: arrotondamento di = arrotondamento di = Es, k = 3, in base 2: arrotondamento di = arrotondamento di = = Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori - 3 4

5 Rappresentazione di numeri frazionari «in virgola fissa» Idea: per rappresentare un numero frazionale: converto in base 2 memorizzo la parte intera in k bits, la parte dopo la virgola in h bit (totale bits usati = k + h) arrotondo a h cifre la parte decimale con h e k decisi una volta per tutte Esempio. Su un byte (8 bit), k = 4 e h = 4: = posizione della virgola (implicita e prefissata) rappresentazione di (su 4+4 bits) Architettura degli elaboratori Rappresentazione di numeri frazionari «in virgola fissa»: supporto i numeri in virgola fissa si rappresentano semplicemente come numeri interi dal punto di vista di un architettura, non fa differenza! i numeri in virgola fissa sono numeri interi l unica differenza sta in come vengono interpretati per esempio, 342 memorizzato come intero puo rappresentare: 342 metri 342 euro 342 pecore, patate, persone, formiche, etc oppure anche 342 cm = 342 centesimi di metro = 3.42 metri 342 eurocent = 3.42 euro 342 mm = metri, etc se un numero rappresenta 1/256 (256-esimi) di unità, allora sto usando numeri in virgola fissa con 8 cifre binarie frazionarie (2^8 = 256) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori - 3 5

6 Rappresentazione di numeri frazionari «in virgola fissa»: proprietá nota: arrotondo = commetto un errore (precisione numerica limitata) Limiti: Max numero esprimibile: 2 k (quasi) 1 = (quasi) 2 k Min numero esprimibile > 0 : 2 -h ( la «precisione»!) (i numeri più piccoli sono arrotondati a 0!) Questi limiti sono molto stretti. Vorremmo poter rappresentare numeri sia MOLTO più grandi che MOLTO più vicini a zero. Vediamo una rappresentazione più potente ed espressiva Architettura degli elaboratori Rappresentazione dei numeri reali I numeri reali sono nell intervallo (- + Nella pratica ci interessa un intervallo magari non infinito ma molto esteso, per es: dalla massa dell elettrone 9.1 x grammi alla massa del sole: 1.9 x grammi Nota: anche se questi numeri cadono in un intervallo di circa 60 ordini di grandezza, nessuno in pratica usa mai numeri di 60 cifre. Il motivo è che la precisione richiesta è bassa ad es. nessuno sa quale sia la cifra giusta corrispondente alle tonnellate quando si esprime la massa del sole. Ne consegue che di solito si adotta la notazione scientifica quella usata anche qui sopra: es: 1.9 x scrivibile anche come: 1.9e33 Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori - 3 6

7 Notazione scientifica o esponenziale (in base 10) v = f 10 e Usata nelle discipline tecniche e scientifiche: Soddisfa alla necessità di manipolare numeri di ordini di grandezza diversi Il nome virgola mobile (o floating point) indica che la presenza dell esponente sposta la posizione della virgola. Esempi: v = f 10 e = 0.1*f 10 e+1 = 10*f 10 e = = = I numeri sono espressi nella forma: XXX.YYY 10 EEE XXX: parte intera (qualsiasi numero di cifre) YYY: parte frazionaria (qualsiasi numero di cifre) XXX.YYY: mantissa EEE: esponente Architettura degli elaboratori Notazione scientifica: forma normalizzata (in base 10) La forma normalizzata prevede che la mantissa sia un valore compreso tra 0 e 10 esclusi: 0 < M < 10 (eccetto che per in numero 0) (o in generale fra 0 e B esclusi, quando uso la base B) Cioè la parte intera della mantissa è una cifra sola, ma non 0 L esponente lo chiamiamo allora «ordine di grandezza» Esempi di valori in forma normalizzata (in base 10) sono: = = = In forma normalizzata è più facile paragonare fra loro i numeri Es: qual è maggiore fra: , , ? Se li riscrivo in forma normalizzata, diviene evidente: > > (è maggiore quello di ordine di grandezza maggiore; a parità, conta la mantissa) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori - 3 7

8 Notazione scientifica: forma normalizzata (in base 2) In base 2, B=2, la prima cifra è fra 0 e 2 esclusi è per forza 1! Cioè i numeri in forma normalizzata (eccetto lo 0) sono sempre ±1.XXX 2 ±YYY Dove XXX e YYY sono sequenze di 0 e 1 Architettura degli elaboratori Virgola mobile Terminologia: N = M * B E M: mantissa B: base E: esponente Sia la mantissa che l esponente hanno un segno es: numeri negativi di valore assoluto grande (mantissa negativa ed esponente positivo) es: numeri positivi vicini allo zero (mantissa positiva ed esponente negativo) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori - 3 8

9 Virgola mobile capacità di rappresentazione Una considerazione fondamentale (per quanto ovvia) è che i numeri reali sono infiniti, mentre sappiamo che utilizzando k bit possiamo rappresentare solo 2 k valori. Ne consegue che dobbiamo rassegnarci a priori a una rappresentazione approssimata e limitata dei numeri reali. Ad esempio, esisterà una configurazione corrispondente ad un numero M più grande di quelli rappresentati dalle altri configurazioni: i numeri ancora più grandi di M non saranno rappresentabili Alcuni numeri reali (come p o 2 1/2 o 1/3) non sono rappresentabili con un numero finito di cifre. Saranno approssimati. Del resto tra due reali qualunque ce ne sono infiniti altri, mentre tra due configurazioni no. NB: bastano i razionali a mettere in difficoltà la precisione di rappresentazione con un numero finito di bit Architettura degli elaboratori Virgola mobile limiti di rappresentazione Per capire meglio le limitazioni, pensiamo ad una rappresentazione decimale normalizzata con mantissa di tre cifre (più segno) ed esponente di due cifre (più segno). Possiamo rappresentare numeri come Limitazioni: non possiamo rappresentare numeri aventi le seguenti caratteristiche Troppo grandi (> ) o troppo piccoli (< ) Troppo piccoli in valore assoluto (positivi < o negativi > ) NB: questi numeri non possono proprio essere rappresentati: un tentativo in tal senso porterebbe ad un overflow. Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori - 3 9

10 Virgola mobile limiti di rappresentazione Possono essere rappresentati, ma con limitazioni, i numeri appartenenti agli intervalli citati. Per questi numeri, i limiti sono dati dalla precisione con cui possiamo rappresentarli. Il valore 1/3 verrà rappresentato come Naturalmente è solo un arrotondamento di 1/3. Il valore p verrà rappresentato come Di nuovo, un arrotondamento. In generale questo genere di arrotondamenti non causano grossi problemi (soprattutto se si dispone di più cifre per la mantissa). Però bisogna tenerne conto: 1/3 3 = 1, ma ( ) ( ) = che è diverso da 1. Architettura degli elaboratori Virgola mobile Nei calcolatori si usa la forma normalizzata (0 M < 1) perché consente una migliore precisione (non si sprecano bit della mantissa) ed è più facilmente gestibile. L esponente è espresso generalmente in offset Nota: l esponente è interpretato come potenza di 2, non di 10 per facilitare la normalizzazione: spostare la virgola equivale a decrementare o incrementare l esponente XX.YY * 2 e = X.XYY * 2 e+1 = XXY.Y * 2 e-1 La mantissa è espressa in modulo e segno. Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori

11 Lo standard IEEE 754 È lo standard (quasi) universalmente adottato per la rappresentazione di numeri in virgola mobile (floating point) Definisce alcuni formati, fra cui i più usati: Singola precisione (32 bit) --- spesso detti float Doppia precisione (64 bit) --- speso detti double segno esponente mantissa Singola precisione 1 bit 8 bit 23 bit segno esponente mantissa Doppia precisione 1 bit 11 bit 52 bit Architettura degli elaboratori Lo standard IEEE 754 Include numeri in virgola mobile a 32 bits («singola precisione») e a 64 bits («doppia precisione») Il bit di segno è 0 per i positivi e 1 per i negativi L esponente singola precisione: 8 bit, in «eccesso 127» doppia precisione: 11 bit, in «eccesso 1023» Le configurazioni degli esponenti fatte di tutti 0 e tutti 1 hanno significati speciali: +/- infinito, +/- zero, NAN (not a number), numero-non-normalizzato La mantissa è espressa come una sequenza di cifre binare dopo 1.0 Per esprimere la mantissa 1.XXXXX scrivo solo XXXXX la parte «1» prima della virgola è un bit sottointeso) eccetto che per i numeri non-normalizzati detti «subnormali» (vedere, chi a voglia) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori

12 Lo standard IEEE 754 Comprende la rappresentazione normalizzata e altre quattro rappresentazioni. Normalizzato Subnormale +/- Zero +/- Infinito Not A Number +/- 0 < esp < Max qualsiasi combinazione +/- 0 qualsiasi combinazione 0 +/ / / qualsiasi combinazione 0 esponente mantissa Architettura degli elaboratori Numeri denormalizzati (o subnormali) Quando un calcolo dà un risultato inferiore al più piccolo (in valore assoluto) numero rappresentabile, prima dello standard IEEE 754 c erano due possibilità: Azzerare il risultato (un numero molto piccolo è quasi 0) Causare un eccezione di «underflow» Entrambi gli approcci sono poco soddisfacenti: lo standard IEEE 754 introduce i numeri denormalizzati (o subnormali) per rappresentare numeri più piccoli (vicini allo zero). Per i numeri denormalizzati non vale la regola «assumiamo la mantissa cominci con un 1 implicito» (scriviamo solo gli bit della mantissa esplicitamente) Serve a poter rappresentare numeri molto piccoli, per es segno mantissa esponente (il minimo) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori

13 Paragonare numeri in virgola mobile fra loro Disequazioni: tutto ok, funziona bene maggiore a>b minore a<b maggiore o uguale a>=b minore o uguale a<=b Ugualianze secche: a==b non ha molto senso: due numeri in floating-point possono essere diversi solo come conseguenza di minuscole approssimazioni Molto piu robusto testare se la differenza fra i due sia QUASI zero: -epsilon < (a-b) < epsilon, con un epsilon piccolo es: ( -1e-10 < a-b ) AND ( a-b < 1e-10 ) Architettura degli elaboratori Operazioni in virgola mobile Somma e sottrazione: si uguagliano gli esponenti le mantisse vengono sommate rinormalizzazione della mantissa (con aggiustamento dell esponente) Moltiplicazione e divisione: si moltiplicano o si dividono le mantisse in modo consueto si sommano o si sottraggono gli esponenti si normalizza (si riporta in forma normale) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori

14 Configurazioni speciali Alcuni valori speciali sono rappresentati da configurazione apposita. Sono cinque: 0+ («zero positivo», o «+0», o semplicemente «0», «ZERO») rappresenta: lo 0 esatto oppure un valore positivo molto piccolo (non altrimenti rappresentabile) 0- («zero negativo», o «-0») rappresenta: un valore negativo molto piccolo (non altrim. rappresent.) +INF («più infinito») rappresenta: infinito, oppure un valore positivo molto grande (non altr. rappr.) -INF («meno infinito») rappresenta: meno infinito oppure un valore negativo molto grande in modulo NAN (o «NaN», o «Not-A-Number» è risultato di una operazione illecita o dal risultato non determinabile Architettura degli elaboratori Configurazioni speciali: ZERO+, ZERO-, +INF, -INF, +INF e INF sono il risultato di operazioni che generano overflow +0 e -0 possono essere il risultato di operazioni che generano underflow (nota: il segno viene calcolato correttamente!) Quando vengono usati nelle operazioni matematiche o nei confronti, ci si aspetta che questi valori si comportino in modo sensato per es: INF == +INF VERO 3.1 / 0+ +INF 3.1 / 0- -INF 3.2 / +INF 0+ +INF INF 0+ == 0- VERO (nota!) < +INF VERO 0- < 0+ VERO Architettura degli elaboratori INF + +INF +INF +INF x 2.0 +INF -3.1 / 0+ -INF -3.1 / 0- +INF / -INF 0- -INF < +INF VERO < 0+ FALSO Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori

15 Configurazioni speciali: NAN (Not-A-Number) E il risutato di una operazione illecita oppure intederminata, esempi: sqrt( -5.0 ) NAN (radice quadrata di meno 5) +INF + -INF NAN 0+ / 0+ NAN +INF - +INF NAN Le operazioni numeriche che coinvolgo NAN fanno sempre NAN NAN NAN qualunque espressione che NAN x 0 NAN includa un NAN vale NAN 3.1 / NAN NAN NAN si propaga senza fine NAN - NAN NAN in tutti i conti Le condizioni booleane ( vero, falso) che coinvolgo NAN fanno FALSO NAN < 5.3 FALSO NAN >= 0 FALSO 3.1 == NAN FALSO NAN == NAN FALSO (nota! vale solo per x=nan che x non sia uguale a x) Architettura degli elaboratori / 0- NAN +INF / +INF NAN I numeri reali nei linguaggi di programmazione In molti linguaggi (C, Java ) si possono dichiarare variabili in singola o doppia precisione Singola precisione (tipicamente FLOAT-32): float x; Doppia precisione (tipicamente FLOAT-64): double x; I letterali frazionari sono double per default: 0.5 literal in doppia precisione. Per indicare che un literal è a singola precisione (float) si appone una f: 0.5f literal in precisione singola. Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori

16 Operazioni in virgola mobile Operazioni in virgola mobile assai più complesse delle op sui numeri interi (con o senza segno) spesso anche più ottimizzate in molti contesti, sono le op più utili e comuni dell elaborazione Potenza di calcolo matematica: spesso espressa in FLOPS FLoating-pont OPeration per Second (operazioni in virgola mobile al secondo) K-FLOPS (kilo-flops) : migliaia di op al sec (anni 50) M-FLOPS (mega-flops): milioni di op al sec (anni 60-70) G-FLOPS (giga-flops): miliardi di op al sec (anni 80-90) T-FLOPS (tera-flops): migliaia di miliardi di op al sec (anni 2000) P-FLOPS (peta-flops): milioni di miliardi di op al sec (anni 2010) Architettura degli elaboratori Architettura degli elaboratori - Rappresentazione dell'informazione nei calcolatori