Prima esercitazione del corso di Sistemi di Telecomunicazione 1 A.A Demodulazione di ampiezza

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1 Prima esercitazione del corso di Sistemi di Telecomunicazione 1 A.A Demodulazione di ampiezza 29th October 2009 Abstract Lo studente deve implementare in MATLAB una funzione per la demodulazione di ampiezza. Il sistema dovrà essere implementato sia con i coefficienti dei filtri espressi in doppia precisione, sia con i coefficienti dei filtri quantizzati a 16 bit (usando sia l implementazione in forma diretta che in cascata). Contents 1 Descrizione del sistema Il segname modulato Schema di demodulazione Cosa deve fare lo studente 2.1 Interfaccia delle funzioni Consigli, avvertenze e altro Avvertenze Quantizzazione dei coefficienti Descrizione del sistema 1.1 Il segnale modulato Sia u : R R un segnale ottenuto sommando le versioni modulate di C segnali di interesse x i : R R, c = 0, 1,...,C 1. Più precisamente, il segnale u è definito come con C 1 u(t) := c=0 x c (t)cos(2π f c t) (1) f c = f 0 + c f (2) 1

2 Table 1: Parametri del sistema Descrizione Simbolo Valore Numero di canali C 9 Banda segnale utile B 4 khz Freq. primo canale f 0 70 khz Spaziatura tra canali f 10 khz Freq. camp. in ingresso F c 336 khz Freq. camp. in uscita F o 16 khz Freq. intermedia w i scelta dallo studente Figure 1: Esempio di trasformata di Fourier del segnale modulato u. (Frequenze normalizzate alla frequenza di campionamento) Per ipotesi ogni segnale x c è non negativo (cioè x c (t) 0 per ogni t R) e limitato in banda tra ±B, ossia f > B X c ( f) = 0 (3) dove X c : R C è la trasformata di Fourier di x c. La Fig. 1 mostra la trasformata di Fourier di un possibile segnale u con C = 4 canali. 1.2 Schema di demodulazione Uno schema del demodulatore è visibile in Fig. 2. Sia c il canale di interesse. Il funzionamento del demodulatore può essere descritto come segue Il demodulatore riceve in ingresso il segnale u d : Z R ottenuto campionando u con una frequenza di campionamento pari a F c, ossia, u d (n) = u(n/f c ) (4) 2

3 u d v c a c r c x c Z(1/Fc) w B B Z(1/Fo) int cos(2 pi d c n) Figure 2: Schema del demodulatore (a) (b) Figure 3: Esempio di costruzione di segnale a frequenza intermedia. Il grafico è relativo al caso con C = 4 canali e suppone che canale di interesse sia l ultimo. I segmenti rossi mostrano le bande di frequenza assegnate al segnale a frequenza intermedia; le curve verdi e blu rappresentano lo spettro mostrato in Fig. 1 traslato di ±d c. (a) Scelta corretta del valore della frequenza intermedia: un solo canale entra nella banda rossa. (b) Scelta scorretta del valore della frequenza intermedia: due canali entrano nella banda rossa. 3

4 Il segnale u d viene moltiplicato per cos(2πd c n), in modo da portare la banda di frequenze che contiene il canale di interesse attorno ad una frequenza intermedia w i. (Si veda la Fig. 3) Sia v c il risultato del prodotto per cos(2πd c n). Il segnale v c viene filtrato con un opportuno filtro passa-banda in modo da isolare il canale di interesse. Sia a c il risultato del filtraggio e si osservi che (nell ipotesi di filtro ideale) si ha ossia, a c è x c modulato con una sinusoide di frequenza w i. a c (n) = cos(2πw i n)x c (n) () Per demodulare a c senza bisogno di estrarre la portante, il segnale a c viene elaborato con la funzione non lineare { g(s) = s +s s se s 0 = (6) 2 0 se s < 0 ottenendo Poiché per ipotesi x c (n) 0, la (7) può essere riscritta dove r c (n) = g(a c (n)) = g(x c (n)cos(2πw i n)) (7) r c (n) = x c (n)g(cos(2πw i n)) = x c (n)p(n) (8) p(n) := g(cos(2πw i n)). (9) Dalla (8) deduciamo che la trasformata di Fourier di r c è la convoluzione tra la trasformata di Fourier di x c e la trasformata di Fourier di p, ossia R c ( f) = X c P( f) (10) L osservazione chiave è che poiché p è una funzione periodica con frequenza w i, la sua trasformata di Fourier è una sequenza di impulsi centrati intorno ai multipli di w i, ossia P( f) = α k δ( f kw i ) (11) k Z dove, in particolare, α 0 0 poiché p è sempre non negativo. Usando la (11) nella (10) si ottiene R c ( f) = α k X c ( f kw i ) k Z = α 0 X c ( f)+ k Z k 0 α k X c ( f kw i ) Dalla (12) si vede che il risultato dell elaborazione non lineare (7) contiene una copia α 0 X c ( f) del segnale che ci interessa, più copie modulate dello stesso segnale (i termini X c ( f kw i )). L ultimo passo consiste nell isolare X c da R c usando un opportuno filtro passa-basso. Infine, l uscita del passa-basso viene sottocampionata a F o. (12) 4

5 2 Cosa deve fare lo studente Lo studente deve 1. Completare il progetto del demodulatore determinando, ad esempio, la frequenza intermedia ed i coefficienti dei filtri. Per il progetto dei filtri lo studente può usare le tolleranze 1 δ P = δ A = Scrivere tre funzioni MATLAB implementanti lo schema di demodulazione in tre versioni diverse: (a) Una versione con i filtri con i coefficienti in virgola mobile. Il nome della funzione con questa versione saràdemodula. (b) Una versione con i filtri implementati usando la funzione filter di MATLAB, ma con i coefficienti approssimati a 16 bit. Il nome della funzione con questa versione sarà demodula_diretta. (c) Una versione con i filtri implementati usando la forma in cascata e dove ogni cella ha i coefficienti approssimati a 16 bit. Il nome della funzione con questa versione sarà demodula_cascata. 3. Provare le tre funzioni di decodifica sul segnale di prova fornito dal docente 4. Documentare e discutere sia la procedura di progetto che i risultati trovati. 2.1 Interfaccia delle funzioni La funzionedemodula avrà la seguente interfaccia dove output = demodula(input, canale) input è un vettore contenente il segnale u campionato a F c, ossia input(n) = u((n 1)T) ; T = 1/F c (13) canale è un intero compreso tra 0 e C 1 (estremi inclusi) e rappresenta il canale da demodulare output è un vettore contenente il segnale x canale campionato a F o. Le funzionidemodula_diretta edemodula_cascata avranno la stessa interfaccia didemodula, fatto salvo per il nome della funzione. 1 In altre parole, il modulo della risposta in frequenza dei filtri progettati dallo studente deve essere compreso tra 1 e 1 δ A in banda passante e deve essere non superiore a δ P in banda attenuata.

6 3 Consigli, avvertenze e altro 3.1 Avvertenze Attenzione alla scelta della frequenza intermedia: come risulta evidente dalla Fig. 3, se la frequenza intermedia non è scelta correttamente, può capitare che più di un canale entri nella banda del segnale a frequenza intermedia. Attenzione: come già detto a lezione, la spiegazione del demodulatore contiene un imprecisione; più precisamente, viene data per scontata una proprietà che non è detto sia sempre verificata. Lungi da essere un mero problema tecnico di dimostrazione, se detta proprietà non è verificata, il segnale ricostruito può risulatare essere molto distorto. Il problema può essere evitato scegliendo con cura i parametri del demodulatore. Suggerimento: il problema nasce perché il demodulatore lavora con segnali a tempo discreto, se il sistema fosse a tempo continuo il problema non si porrebbe. 3.2 Quantizzazione dei coefficienti Per capire cosa vuol dire quantizzare i coefficienti del filtro a 16 bit è conveniente pensare a come verrebbe implementato un filtro su un microprocessore dotato di aritmetica in virgola fissa a 16 bit. Su un tale dispositivo, sia i campioni del segnale che i coefficienti del filtro devono essere rappresentati con interi a 16 bit e somma e prodotto devono essere implementati usando le corrispondenti operazioni tra interi. La rappresentazione dei campioni con interi a 16 bit di solito non è un problema e di solito si riduce a cambiare l unità di misura usata per i campioni. Per esempio, in alcuni casi può essere sufficiente aggiustare il valore di riferimento di un eventuale ADC in modo tale che i campioni letti attraverso il convertitore siano compresi tra 2 1 e Per quanto riguarda i coefficienti del filtro, il trucco del cambio di unità non funziona più 2 e bisogna ricorrere ad un altro approccio. Una possibile soluzione è approssimare i coefficienti a k con numeri della forma â k = α k 2 l k (14) dove α k è un intero compreso tra 2 1 e e l k è un intero (solitamente positivo). All interno del programma scritto per il microcontrollore il coefficiente a k sarà rappresentato dalla coppia di interi (α k,l k ) e il prodotto y = â k x verrà implementato con un codice simile a int_16 alpha_k, ell_k, x, y; y = (alpha_k * x) >> ell_k; Si osservi come lo spostamento a destra di ell_k posizioni di alpha_k * x introduca l errore di calcolo associato al prodotto in virgola fissa. La scelta di α k e l k relativi ad un dato coefficiente a k è (leggermente) complicata dal fatto che per ogni a k possono esistere molte scelte possibili per α k e l k. Per esempio, π può essere approssimato come 2 Ad onor del vero, se il filtro è FIR, si possono moltiplicare tutti i coefficienti del filtro per un fattore di scala e compensare tale moltiplicazione all uscita del filtro. 6

7 π = π 0.14 (1a) π = π 0.14 (1b) π = π 0,108 (1c) π = π + 0,016 (1d) π = π (1e) Si osservi che non possiamo approssimare π con poiché il numero non è rappresentabile come intero con segno a 16 bit. Dalla (1) è facile vedere come la scelta migliore (nel senso che il coefficiente approssimato è più vicino al coefficiente vero ) sia quella per l = 13. Più in generale, possiamo dire che se fissiamo un valore di l k, la miglior approssimazione di a k è data da â k = 2 l k 2 l kak (16) }{{} α k e che il modulo â k a k dell errore di approssimazione sarà sempre non superiore 3 a 2 l k/2. Tale osservazione suggerirebbe di scegliere l k molto grande; purtroppo se scegliamo l k troppo grande possiamo ottenere un intero α k = 2 l ka k non rappresentabile con 16 bit. La ricetta per rappresentare a k con un intero a 16 bit è 1. Scegli per l k il più grande intero tale che 2. Scegli α k secondo la (16) 2 l k ak { 2 1, ,...,2 1 1} (17) 3. Il valore approssimato di a k è â k = α k 2 l k (18) 3 In effetti, la (16) è la quantizzazione di a k con passo 2 l k. 7