Campionamento ideale e segnali a banda limitata campionamento la ricostruzione perfetta di un segnale analogico banda limitata

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1 Campionamento ideale e segnali a banda limitata Il campionamento di una grandezza analogica è ottimale se non comporta perdita di informazioni, ovvero se è possibile ricostruire perfettamente la grandezza analogica originaria a partire dai suoi campioni. E' possibile dimostrare che la ricostruzione perfetta (senza perdita di informazioni) di un segnale analogico a partire dai suoi campioni è possibile solo nel caso in cui il segnale di partenza ha una banda limitata. In altre parole, è possibile campionare e ricostruire fedelmente a partire dai campioni, solo un segnale con un numero limitato di armoniche che cadono entro una determinata banda di frequenze. Esempio E' possibile il campionamento perfetto di una sinusoide, perché il suo spettro contiene una sola armonica e dunque la sua banda è limitata. Viceversa non è possibile il campionamento perfetto di un'onda quadra, perché essa ha infinite armoniche e una banda non limitata. Teorema del campionamento di Shannon applicato a una sinusoide Il teorema del campionamento afferma che, per campionare correttamente (senza perdita di informazioni) un segnale a banda limitata, è sufficiente campionarlo con una frequenza di campionamento pari almeno al doppio della massima frequenza del segnale. Esempio Supponiamo di voler campionare un segnale sinusoidale con f = 1KHz e periodo T = 1/f = 1ms. Il teorema del campionamento afferma che per campionare correttamente tale segnale occorre usare una frequenza di campionamento almeno doppia della frequenza di segnale 1KHz. Dunque fcamp > 2KHz e Tcamp < 0.5ms. Come si può notare, questo valore corrisponde a campionare il segnale due volte per ogni periodo, come mostrato in figura:

2 Può sembrare sorprendente che occorrano così pochi campioni per rappresentare correttamente una sinusoide. In realtà il risultato del teorema di Shannon, così come è stato esposto, è puramente teorico, per diverse ragioni e la principale è la seguente: la condizione fcamp = 2 fsegnale vale solo se il segnale è rigorosamente a banda limitata, cioè se è possibile individuare nel suo spettro una frequenza massima; a parte le sinusoidi, nessun segnale reale di interesse pratico ha una banda limitata. Spettro di un segnale campionato Consideriamo ora un ipotetico segnale periodico a banda limitata, costituito da 5 righe spettrali con frequenze 100, 200, 300, 400 e 500Hz. Il periodo del segnale è il reciproco della frequenza della prima armonica (la fondamentale), perciò T = 1/100 = 10ms. In base al teorema del campionamento di Shannon, per campionare correttamente tale segnale occorre usare una frequenza di campionamento fcamp tale che sia fcamp > 2 fmax, dove fmax è la massima frequenza delle armoniche del segnale. Nel nostro caso fmax = 500Hz e dunque la frequenza di campionamento dev'essere pari o superiore a 1000Hz. Se scegliamo fcamp = 2KHz, tale frequenza corrisponde a un periodo di campionamento Tcamp = 0,5ms, cioè a 20 campioni per ogni periodo del segnale. Nella figura seguente i campioni sono rappresentati dalle righe rosse verticali (idealmente con durata brevissima o zero). Attenzione a non confondere tali impulsi di campionamento con le righe dello spettro, che sono tutt'altra cosa.

3 Si può dimostrare che lo spettro del segnale campionato è formato da una serie di repliche dello spettro del segnale periodico originario. Tali repliche sono centrate intorno a multipli della frequenza di campionamento (cioè nel nostro caso 2KHz). La figura seguente mette in evidenza come è fatto lo spettro del segnale campionato. Alle basse frequenze (fino a 500Hz) esso è identico allo spettro del segnale originario. Intorno alla frequenza di campionamento di 2000Hz troviamo due repliche dello spettro del segnale originario, una capovolta specularmente (da 1500 a 1900Hz) e l'altra semplicemente traslata in frequenza (da 1600 a 2500Hz).

4 La situazione si ripete identica alle frequenze più alte, in corrispondenza del doppio, triplo eccetera della frequenza di campionamento. Ricostruzione del segnale campionato In base allo spettro del segnale campionato, sarà possibile ricostruire perfettamente il segnale originario utilizzando un filtro passa-basso, in grado di filtrare le armoniche fino a 500Hz (nell'esempio riportato), eliminando tutte le armoniche a frequenza superiore (che sono state prodotte dal campionamento).

5 La possibilità di ricostruire il segnale originale a partire dai suoi campioni è interessante dal punto di vista teorico in quanto ci consente di dimostrare la validità del Teorema del Campionamento.