Teoria dei Segnali per Meccanici

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1 Teoria dei Segnali per Meccanici Gibellini Matteo 3 giugno 26 Convertitore Analogico/Digitale Il problema da affrontare é quello di memorizzare un segnale fisico, continuo nel tempo e nei valori, per poterlo ricostruire e visualizzare quando piú fa comodo. Si deve dunque passare da un segnale continuo (in genere una Tensione) ad una tabella di numeri con un numero finito di cifre decimali. L oggetto che compie l operazione é detto Convertitore Analogico/Digitale (A/D Converter) e per svolgere il suo compito deve compiere due discretizzazioni ) Campionamento (Discretizzazione del Tempo): decide ogni quanto tempo memorizzare il valore del segnale. Viene definito dalla frequenza di campionamento ovvero dal numero di campioni presi nell unitá di tempo. Es: F c = Hz campioni registrati ogni secondo. 2) Quantizzazione (Discretizzazione dei Valori): decide il numero di cifre decimali del campione memorizzato. Viene definito dal numero di bit dell ADC che da il numero di intervalli in cui é possibile suddividere il segnale. Es: Quantizzazione a bit 2 = 24 intervalli Se il segnale é compreso fra V minima variazione di tensione riscontrata 24 =.V risoluzione alla seconda cifra decimale. 2 Frequenza di Campionamento E utile sapere quale é la minima frequenza di campionamento necessaria per riuscire a ricostruire un dato segnale. Per ricostruire un segnale, noti i valori campionati, si intende la possibilitá di determinare tramite un calcolo, il valore che aveva il segnale negli istanti diversi da quelli campionati, con la voluta precisione. Il teorema di Shannon ci dice che é possibile ricostruire un segnale se lo si campiona ad una frequenza maggiore del doppio della massima frequenza del segnale stesso. Se si é campionato rispettando tale specifica allora si puó calcolare il valore del segnale in un qualunque istante temporale tramite la formula di interpolazione cardinale, ovvero:

2 s(t ) = n= ( ) t nt c s [n] sinc E da notare che se si rispetta il teorema di Shannon allora la sola conoscenza dei campioni equivale alla conoscenza di tutto il segnale, in quanto é possibile ricostruirlo completamente. Prima di addentrarsi nell interpolazione numerica é necessario definire cosa sia effettivamente la massima frequenza di un segnale e per rispondere a questa domanda si deve fare un viaggio nel magnifico mondo delle Trasformate di Fourier. 3 Sviluppo in Serie e Trasformata di Fourier C e sempre una gran confusione in merito alla differenza fra Sviluppo in Serie e Trasformata di Fourier. Cercheremo di fare un po di chiarezza a riguardo. 3. Sviluppo in Serie di Fourier Fourier ci dice che data una funzione Periodica x(t) di periodo T, e dunque frequenza f = T, é possibile scomporla in una Serie (ovvero una Somma) di Coseni di frequenza multipla di f, ognuno avente una ben determinata ampiezza e sfasati fra di loro di un determinato angolo. Ovvero: T c () in cui: x(t) = A + 2 A k cos(2πkf t + θ k ) k= = A + 2A cos(2πf t + θ ) + 2A 2 cos(2π2f t + θ 2 )+ 2A 3 cos(2π3f t + θ 3 ) + 2A 4 cos(2π4f t + θ 4 ) +... (2) A k Ampiezza del coseno a frequenza kf θ k Sfasamento del coseno a frequenza kf A, corrisponde al valor medio temporale della funzione di partenza x(t). E importante chiarire che una funzione Periodica di periodo T é una funzione che si ripete uguale a se stessa nel tempo e assume lo stesso valore ogni T secondi. La definizione non ammette deroghe, pertanto una funzione periodica non ha un inizio e non ha una fine, ovvero inizia a t = e finisce a t = +. E evidente che un segnale fisico che duri dall inizio dei tempi e rimanga uguale a se stesso fino alla fine dei tempi non puó esistere. Dunque lo sviluppo in serie di Fourier si riferisce solo a funzioni matematiche e non a segnali che si possono trovare nella realtá fisica. Il teorema ci dice dunque che noti i coefficienti A k e θ k é nota la funzione periodica e viceversa, in quanto tali coefficienti sono calcolabili attraverso una formula (non mostrata) che ha come parametro di ingresso la funzione periodica stessa. Dunque vi é una biunivocitá fra la conoscenza dei coefficienti e la conoscenza della funzione. 2

3 Funzione Periodica di periodo T = 2 sec Figura : Esempio di Funzione Periodica di Periodo T = 2sec. Tali coefficienti sono in genere rappresentati con due diagrammi distinti che vengono detti Spettri di Ampiezza e di Fase che sono detti a Righe perché presentano valore non nullo solo per frequenze multiple di f. Si nota che i coefficienti sono infiniti e dunque non sono memorizzabili, tuttavia si ha che il valore di A k (ampiezza del coseno a frequenza kf ), diminuisce dopo una certa frequenza, fino a rendere mano a mano sempre piú trascurabile il contributo dei coseni a frequenza piú elevata. E dunque possibile definire (in modo piú o meno arbitrario) una frequenza oltre la quale il contributo del coseno relativo non é piu significativo alla ricostruzione della funzione. Tale frequenza verra detta Massima Frequenza della Funzione. Si ha inoltre che piú la funzione varia bruscamente e piú questa frequenza sará elevata. 3

4 3.2 Trasformata di Fourier Per riassumere il paragrafo precedente si puó dire che una funzione periodica é scomponibile come somma infinita di coseni il cui contributo diviene sempre meno importante all aumentare della frequenza e che si puó troncare per una frequenza che definiamo come massima frequenza della funzione, che risulta tanto piú alta quanto piú la funzione di partenza varia bruscamente. A questo punto ci si chiede se esiste qualcosa di simile per i segnali fisici di interesse che non sono periodici ma hanno una durata temporale ben definita, cioé sono nulli fino a un certo istante, hanno una certa evoluzione nel tempo e tornano nulli fino alla fine dei giorni. Segnale Reale Figura 2: Esempio di un segnale Reale. La risposta sta nella trasformata di fourier che é definibile solo per segnali limitati nel tempo. In particolare si ha che un segnale s(t) limitato nel tempo é rappresentabile dalla seguente formula: s(t) = 2 S(f)e j2πft df (3) ove S(f) é una funzione complessa della frequenza, detta appunto trasformata di Fourier, ed é rappresentabile tramite due funzioni reali della frequenza: con: S(f) = S(f) e j S(f) (4) 4

5 S(f) Spettro di Ampiezza del segnale S(f) Spettro di Fase del segnale Cio che é importante per definire la massima frequenza del segnale é lo spettro di ampiezza, ovvero il modulo della trasformata. Esso cala all aumentare della frequenza fino a diventare trascurabile per la ricostruzione del segnale Massima Frequenza del Segnale. Ampiezza Frequenza [Hz] Figura 3: Spettro di Ampiezza. 3.3 Interpolazione Ora che sappiamo cosa é la massima frequenza di un segnale supponiamo di aver campionato il nostro segnale secondo i dettami del teorema di Shannon. A questo punto é possibile ricostruire il segnale attraverso la formula di interpolazione cardinale, ovvero, il valore del segnale all istante generico t é dato da: s(t ) = n= ( ) t nt c s [n] sinc ove la funzione sinc, detta seno cardinale, é definita come: T c (5) ed ha il seguente andamento: sinc(τ) = sin(πτ) πτ 5 (6)

6 .5 Sinc tau [sec] Figura 4: Sinc. Essa ha valore unitario per τ = e un andamento sinusoidale decrescente in modo iperbolico con il tempo. La formula di interpolazione moltiplica ogni campione per una sinc traslata nel suo istante di campionamento cosicché il contributo del campione sia massimo nel suo istante di campionamento e nullo in tutti gli alti istanti. Negli istanti che non sono di campionamento il valore viene determinato come somma di tutti i contributi dei singoli campioni che si affievoliscono mano a mano che ci si allontana dal campione stesso. Spesso per comoditá ci si accontenta di prendere in considerazione solo il contributo dei campioni limitrofi all istante considerato. Ció viene fatto approssimando il lobo principale della sinc o con due rette, ottenendo una interpolazione lineare, o con un polinomio del terzo ordine, detto spline cubica. Ricostruendo un segnale qualunque, campionato secondo il teorema di di shannon, ci si accorge che l interpolazione tramite spline é piú precisa di quella lineare ma possono verificarsi oscillazioni non realistiche vicino ai punti di variazione repentina del segnale. Si vede inoltre che le tecniche utilizzate sono sufficienti a ricostruire adeguatamente il segnale tranne nei punti di discontinuitá della derivata del segnale, ove il contributo delle alte frequenze, supposte irrilevanti dall analisi di Fourier, si fa sentire maggiormente. Dalla Fig. 6 si nota come l istante di discesa del segnale sia ricostruibile con un incertezza minima pari al periodo di campionamento. 6

7 Interpolazione tramite Sinc Figura 5: Interpolazione tramite Sinc..2 Ricostruzione Segnale reale Interpolaz. Lin. Interpolaz. Spline Figura 6: Confronto fra tipi di Interpolazione. 7

8 3.4 Aliasing Come visto per poter ricostruire in maniera fedele il segnale di interesse é necessario campionarlo rispettando il teorema di Shannon. Il problema é che non si sa quale sia la massima frequenza del segnale, e dunque quale frequenza di campionamento utilizzare, fino a quando non lo si é acquisito e se ne sia calcolata la trasformata di fourier. Il problema che sembra insolubile viene eliminato inserendo prima del convertitore A/D un filtro, detto filtro Anti-Aliasing, che ha il compito di limitare le brusche variazioni del segnale e dunque la sua frequenza massima. Pertanto data una certa frequenza di campionamento del convertitore, si inserisce a monte un filtro fisico che elimina tutte le frequenze maggiori della metá di questa. Il problema del filtro é che essendo un filtro fisico, realizzato tramite resistenze, condensatori e operazionali, non é ideale ovvero non elimina tutte le componenti del segnale sopra un certa frequenza e le lascia inalterate al di sotto ma necessita di un certo range per poter operare. Ad esempio con una frequenza di campionamento di Hz, se voglio che il segnale sia attenuato di volte, (ovvero 4dB) a 5Hz debbo iniziare a filtrare, con un filtro del primo ordine, a una frequenza di Hz mentre con un filtro del secondo a Hz, con forti limitazioni sulla dinamica del segnale campionato. Aumentando l ordine del filtro si riescono ad ottenere prestazioni migliori ma questo comporta complicazioni circuitali e quindi un aumento del costo. Diagrammi di Bode 2 Attenuazione [db] Filto Ideale Filto Ordine Filto 2 Ordine Frequenza [Hz] Figura 7: Confronto fra tipi di Filtri. Qualcuno potrebbe pensare di non mettere tale filtro perché sa che i segnali che deve acquisire sono comunque lenti rispetto alla frequenza di campionamento, e dunque il filtro non serve. Lo sprovveduto non ha fatto i conti con il rumore che é sempre presente 8

9 durante una misura. Supponiamo di avere un segnale a cui si sovrappone un rumore a frequenza elevata e di campionarlo rispettando il teorema di shannon solo per la parte del segnale di interesse..2 Ricostruzione con rumore ad alta frequenza Segnale reale Rumore Segnale Ricostruito Figura 8: Ricostruzione con segnale rumoroso. La ricostruzione ha portato ad un segnale molto diverso da quello originale a causa del rumore che una volta campionato é stato riportato nella banda di campionamento che comprende la banda del segnale. Si ha dunque che tale rumore non é piú eliminabile con un filtro digitale una volta che lo si é campionato male. Tutto cio ci dice che il filtro anti aliasing, prima del campionatore, é necessario se non si vuole rischiare di ottenere dati falsati durante la ricostruzione dei segnali. 9