Capitolo 2 Introduzione allo Strato Fisico:Segnali Analogici e numerici

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1 Capitolo 2 Introduzione allo Strato Fisico:Segnali Analogici e numerici 1

2 Segnali Definizioni (1/2) Concettualmente un segnale x(t) rappresenta l andamento nel tempo t di una grandezza fisica x (tensione, corrente, intensità luminosa, temperatura) Formalmente, un segnale x(t) è una funzione definita in un dominio sottoinsieme di R1 (detto spazio di parametro) e a valori in un codominio sottoinsieme di R1 o C1 (detto spazio dei valori) 2

3 Segnali Definizioni (2/2) Un segnale è detto di durata limitata se è un sottoinsieme [a,b] limitato di R 1 (ossia =[a,b] con e ) Un segnale è detto di durata illimitata se è un sottoinsieme illimitato di R 1 (ossia, oppure oppure ) Un segnale è detto analogico se è un sottoinsieme continuo di R 1 (ossia è costituito da una infinità non numerabile di punti) e è un sottoinsieme continuo di R 1 o C 1 (ossia è costituito da una infinità non numerabile di numeri reali o complessi) Un segnale è detto numerico (o digitale) se è un sottoinsieme continuo di R 1 e è costituito da un numero finito di elementi. 3

4 Segnali-Classificazione Esempio di Segnale Analogico con 5 x(t) t Esempio di segnale numerico con 1 x(t) t 4

5 Segnali analogici e numerici (1/3) Segnali analogici: o o Audio (voce, musica) Video (TV analogica) Segnali numerici (sequenze di digit): o o o o Audio e video digitalizzati Immagini Digitali Sequenze di immagini (videoclip, TV digitale, ) Dati (documenti word/excel, files, ) t Reti analogiche: Broadcast radio/tv, cellulare TACS, cordless analogico Tutte le altre reti sono numeriche (audio e video vengono digitalizzati) 5

6 Segnali analogici e numerici (2/3) Nota bene: il segnale che trasporta un bit è comunque analogico: + 5 V - 5 V Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU t Potenza luminosa entrante in una fibra ottica t Però l informazione ad esso associata è numerica, ovvero 0 od 1. 6

7 Segnali analogici e numerici (3/3) È quindi importante considerare i segnali analogici, facendo riferimento a collegamenti analogici unidirezionali (es. radiodiffusione): Sorgente Analogica S A t Canale di Trasmissione Destinazione Analogica A livello logico si può identificare un collegamento numerico (binario) (es. modem in banda audio): Sorgente Binaria S B Modem Tx t Canale di Tx t Modem Rx t D A Destinazione Binaria D B 7

8 Fondamenti sui segnali analogici- Strato Fisico 8

9 Segnali analogici (1/2) Collegamenti analogici punto-punto unidirezionali (es. radiodiffusione): Sorgente Analogica S A t Canale di Trasmissione t Destinazione Analogica D A Esempi: Voce segnale di pressione acustica Telefono segnale elettrico Video segnale ottico S Trasduttore di emissione Canale fisico (mezzo trasmissivo) Trasduttore di ricezione D 9

10 Segnali analogici (2/2) Segnale: andamento nel tempo di una grandezza perturbata Esempi di segnale continuo, tempo-continuo (analogico): Voce, temperatura ambiente, musica, televisione 10

11 Esempi di segnali analogici (1/3) Sinusoide: A ampiezza; frequenza; fase (radianti); T o =1 / periodo (sec); = pulsazione (rad/sec); T 0 11

12 Esempi di segnali analogici (2/3) Esponenziale reale: Rettangolo: A. 1 12

13 Esempi di segnali analogici (3/3) Triangolo: x ( t ) = tri T 1 t / T ( t ) = 1 + t / T 0 Gradino unitario:

14 I numeri complessi (1/4) (unità immaginaria); Esempio: x 1 x 2 Se b 2 <4ac si ha la radice quadrata di un numero negativo le radici x 1, x 2 sono numeri complessi 14

15 I numeri complessi (2/4) Numero complesso:. Relazioni inverse 15

16 I numeri complessi (3/4) Complesso coniugato: Reciproco di un numero complesso: Somma e prodotto tra numeri complessi: 16

17 I numeri complessi (4/4) Rapporto tra due numeri complessi: Formule di Eulero: 17

18 Segnali complessi (1/2) Coppia di segnali reali, associati come parte reale x R (t) e parte immaginaria x I (t) di un segnale complesso x(t) = x R (t) + j x I (t) Esempio - esponenziale complesso: parte reale parte immaginaria 18

19 Segnali complessi (2/2) A 19

20 Operazioni sui segnali (1/2) Poiché i segnali sono funzioni, tutte le operazioni tra funzioni possono essere anche applicate ai segnali. In particolare: Somma, Prodotto: Prodotto per costante: (amplificazione, attenuazione) Ribaltamento: ribaltamento 20

21 Operazioni sui segnali (2/2) Traslazione t t t t Dilatazione e contrazione t t t 21

22 Energia di un segnale (1/3) Def: Def: Segnale di energia : Def: Segnale impulsivo : 22

23 Energia di un segnale (2/3) Esempio: esponenziale negativo unilatero t 0 t< 0 di energia impulsivo 23

24 Energia di un segnale (3/3) Esempio: esponenziale decrescente bilatero Impulsivo e di energia 24

25 Potenza di un segnale Def: Def: Segnali di potenza : Esempio: segnale costante 25

26 Segnale periodico (1/3) t (periodo principale) Formule di calcolo della potenza di un segnale periodico Un segnale periodico è un segnale di potenza 26

27 Segnale periodico (2/3) Esempio: sinusoide 27

28 Segnale periodico (3/3) Esempio: treno di impulsi rettangolari t 28

29 Relazione tra segnali di energia, impulsivi e di potenza Segnali di energia Segnali impulsivi Segnali di potenza Segnali periodici 29

30 Attraversamento di un sistema tempo-continuo da parte di un segnale analogico Un sistema S è un blocco che trasforma un segnale di ingresso x(t) in uno di uscita y(t)=f(x(t)) S 30

31 Attraversamento di un sistema tempo-continuo da parte di un segnale analogico Classificazione dei sistemi: Sistema Lineare: Sistema Permanente: (sovrapposizione degli effetti) (invarianza nel tempo) Un sistema lineare e permanente (LP) è detto filtro 31

32 L impulso matematico Rappresenta un segnale di durata brevissima (al limite, zero) e di ampiezza elevatissima (al limite, infinita) il cui integrale è unitario area 1 1 t t 32

33 Proprietà fondamentali dell impulso matematico 1. (l impulso matematico ha area unitaria) (proprietà di campionamento dell impulso matematico) 33

34 Risposta impulsiva di un sistema lineare e permanente x(t)= (t) Filtro y(t)=h(t) La risposta impulsiva h(t) di un sistema lineare e permanente (filtro) è definita come l uscita y(t) del sistema quando all ingresso è applicato l impulso unitario x(t)=d(t) Proprietà elementari di h(t) Permanenza Linearità 34

35 Convoluzione Definizione (1/6) x(t) h(t) y(t) Se il sistema è LP con risposta impulsiva h(t), allora l uscita y(t) corrispondente ad un generico segnale di ingresso x(t) è pari a L integrale precedente è detto integrale di convoluzione tra l ingresso x(t) e la risposta impulsiva h(t) del filtro. 35

36 Convoluzione Calcolo (2/6) 1. Poiché per ogni fissato valore di t, l integrale è nella variabile, conviene innanzitutto graficare i due segnali da convolvere x(.) e y(.) come funzioni di ottenendo così,,. 2. Il segnale va poi ribaltato rispetto all asse, ottenendo quindi. 36

37 Convoluzione Calcolo (3/6) 3. Il segnale così ottenuto va poi traslato della quantità t lungo l asse ottenendo così. A questo riguardo quando t>0 allora va traslato di t verso destra. Quando invece t<0, va traslata di t verso sinistra 4. Per ogni valore di si calcola il prodotto 5. Si integra rispetto a la funzione e cioè si calcola l area sottesa dalla funzione. La suddetta area è proprio il valore y(t) assunto dalla convoluzione all istante t. 37

38 Convoluzione Esempio di Calcolo (4/6) t t -3+t t t t -3+t t 38

39 Proprietà di base della Convoluzione (5/6) 1. L operazione di convoluzione è commutativa, ossia 2. L operazione di convoluzione è associativa, cioè 3. L operazione di convoluzione è distributiva rispetto alla somma di segnali 4. La convoluzione di trasla di t 0, ossia Ossia 5. Dati due segnali, di durata,il segnale convoluto ha durata pari alla somma 39

40 Risposta di un sistema LP-Prova (6/6) Filtro h(t) può essere espresso come Permanenza Linearità 40

41 Causalità e stabilità di un filtro Def: Filtro causale: il sistema risponde solo dopo che è stato eccitato Def:Filtro stabile: Ingressi limitati, corrispondano uscite limitate 41

42 Trasformazioni istantanee (senza memoria) Ritardo Moltiplicazione per costante Quadratore c Lineare Segno 42

43 Sviluppo in serie di Fourier (SdF) per segnali periodici (1/7) Segnale periodico, periodo T: frequenza fondamentale: Armonica n-esima Sviluppo in serie di Fourier Coefficienti dello sviluppo è una rappresentazione di 43

44 Sviluppo in serie di Fourier (SdF) per segnali periodici (2/7) x ( t ) segnale reale e periodico di periodo T R I n n = 1 T 1 = T T / 2 x ( t ) cos( 2 f ) (pari) M M T / 2 n t dt = R n n = n T / 2 x ( t ) sin( 2 f ) (dispari) T / 2 n t dt = I n n = n (pari) (dispari) X n = X * n (simmetria coniugata) 44

45 45 Sviluppo in serie di Fourier (SdF) per segnali periodici (3/7) [ [ ampiezza e fase) (solo coseni di opportuna ) 2 ( cos 2 ( ) e periodico di periodo T: ( ) one Ricostruzi ) 2 ( ) 2 ( n n n n n f t j n f t j n n f t j n f t j n t f M R e M e M R e X e X X x t reale x t n n n n n n + + = = + + = = + + = + = + = + + = ] ]

46 Sviluppo in serie di Fourier (SdF) per segnali periodici (4/7) 46

47 Sviluppo in serie di Fourier (SdF) per segnali periodici (5/7) Esempio di sviluppo in serie di Fourier t n 47

48 Sviluppo in serie di Fourier (SdF) per segnali periodici (6/7) 48

49 Sviluppo in serie di Fourier (SdF) per segnali reali e periodici (7/7) n Spettro di ampiezza (complessa) fondamentale Spettro di potenza n 49

50 Trasformata di Fourier (1/7) Def: Un segnale x(t) è impulsivo se FT : FT -1 : X(f) è una rappresentazione di x(t) nel dominio della frequenza (dominio spettrale ) anziché del tempo 50

51 Trasformata di Fourier (2/7) X(f) = R(f) + j I(f) = M(f)e j R(f) M(f) f f I(f) (f) f f 51

52 Trasformata di Fourier di segnali reali (3/7) segnale reale: Simmetria coniugata: 52

53 Trasformata di Fourier di segnali reali (4/7) Conseguenza : Per segnali reali si può fare riferimento alle sole frequenze positive della X(f) M(f) M(f) f f (f) (f) f f 53

54 Trasformata di Fourier Banda di un segnale di banda base (4/7) Un segnale reale x(t) si dice limitato nella banda [-W,W] se la sua trasformata di Fourier X(f) è identicamente nulla per f apple[-w,w] X(f) -W W f La quantità W si misura in Hz (o suoi multipli) e costituisce la Larghezza di Banda del segnale x(t) Poiché X(f)apple0 in un intorno [-W,W] di f=0, il segnale x(t) si dice segnale di banda base 54

55 Trasformata di Fourier Banda di un segnale di banda base (6/7) Un segnale reale x(t) si dice limitato in banda, con banda 2W centrata intorno alla frequenza f 0 (Hz) se: 1) f 0 >W; 2) X(f) è identicamente nulla per f apple[- f 0 -W,- f 0 +W]U [f 0 -W,f 0 +W] X(f) -f 0 -W -f 0 W-f 0 -W+f 0 f 0 f 0 +W f La quantità 2W (Hz) costituisce la larghezza di banda del segnale x(t) Poiché X(f)apple0 in un intorno di applef 0 non adiacente all origine f 0, il 55 segnale x(t) si dice segnale in banda traslata.

56 Trasformata di Fourier Unità di misura della larghezza di banda (7/7) La larghezza di banda W (2W) di un segnale x(t) di banda base (di banda traslata) si misura in o in suoi multipli 56

57 Trasformata di Fourier e Teorema di Parseval E possibile calcolare l energia di un segnale impulsivo o di energia x(t) mediante la sua trasformata X(f). In particolare, vale il seguente risultato noto come Teorema di Parseval per segnali impulsivi e/o di energia : 57

58 Trasformata di Fourier: Esempi (1/4) essendo 1 t f 58

59 Trasformata di Fourier: Esempi (2/4) 1) 1 t f 2) 1 t S f 59

60 Trasformata di Fourier: Esempi (3/4) 3) 4) t f t f 60

61 Trasformata di Fourier: Esempi (4/4) 5) t f piccolo: t f 61

62 Relazioni tempo/frequenza Segnali brevi (in t) banda larga (in f) Segnali lunghi (e lenti) banda stretta (in f) Segnali rapidamente varianti in t banda larga (in f) t f t 62 f

63 1) Linearità: Proprietà della trasformata di Fourier 2) Ritardo: 3) Modulazione: 4) Derivazione: 63

64 TdF di un segnale periodico (segnale periodico) SdF: n TdF: f 64

65 Proprietà fondamentale della convoluzione La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle trasformate dove 65

66 Risposta in frequenza di un sistema LP (filtro) Convoluzione (nel tempo): Prodotto (in frequenza): : risposta impulsiva del filtro : risposta in frequenza del filtro o funzione di trasferimento del filtro 66

67 Filtraggio analogico (1/2) Meccanismo di filtraggio: Filtro passa-basso: (LP, low-pass) f f Filtro 1 Filtro passa-alto (HP, high-pass) f f Filtro passa-banda (BP, band-pass) f f 67

68 Filtraggio analogico (2/2) reale (simmetria coniugata) E sufficiente conoscere solo per le frequenze positive, perché le f negative si deducono dalla simmetria coniugata f f 68

69 Risposta di un filtro al segnale sinusoidale Le sinusoidi sono largamente impiegate nelle trasmissioni (esempi: fax, tastiera telefono, GSM, ) t 69

70 Proprietà duale della FT Proprietà della FT: alla convoluzione in t corrisponde il prodotto in f La convoluzione in t aumenta la durata temporale del segnale Proprietà duale: al prodotto in t corrisponde la convoluzione in f Il prodotto in t aumenta la banda (occupazione in frequenza) del segnale 70

71 Segnale aleatorio (Gaussiano) Segnale aleatorio: t Funzione densità di probabilità di una variabile: esprime la probabilità che la variabile assume un valore nell intorno di x. Densità di probabilità gaussiana: (media nulla, varianza ) Sono più probabili i valori piccoli e meno probabili i valori grandi (positivi e negativi in ugual misura) 71

72 Segnale aleatorio (Gaussiano)- Esempi Esempi di segnale con distribuzione Gaussiana: o o o Voce umana Suoni rumore caotico (voci da stadio, radio fuori sintonia, ) I segnali aleatori sono tipicamente segnali di potenza 72

73 Fondamenti sui segnali numerici- Strato Fisico 73

74 Sequenza numerica- Definizione Una sequenza numerica è una stringa ordinata di numero reali o complessi il cui indice di posizione n può assumere solo i valori interi (positivi e/o negativi) Esempio La sequenza graficamente come in 1 può essere rappresentata n Una sequenza numerica è detta di durata finita N>0 se ammette valori diversi da zero solo in corrispondenza di N valori dell indice n. 74

75 Campionamento Segnale analogico Sequenza dei suoi campioni: t.... t intervallo di campionamento (sec) frequenza di campionamento (Hz) Campionatore: Trasmissione a distanza, o immagazzinamento 75

76 Ricostruzione (1/3) Ricostruzione, con treno di impulsi matematici: t Filtro LP: Segnale ricostruito 76

77 Ricostruzione (2/3) Ricostruzione ideale, con treno di impulsi matematici: f t 77

78 Ricostruzione (3/3) 78

79 Teorema del campionamento (1/4) Se è limitato in banda, con banda intorno all origine, e se (criterio di Nyquist), allora il segnale ricostruito risulta uguale all originale, ossia: 79

80 Teorema del campionamento (2/4) Spiegazione intuitiva: se varia lentamente, e se la si osserva abbastanza frequentemente, allora il suo andamento completo è perfettamente ricostruibile tramite interpolazione delle osservazioni 80

81 Teorema del campionamento (3/4) La proprietà fondamentale che sta alla base del teorema del campionamento è la seguente: 81

82 Teorema del campionamento (4/4) Nel dominio della frequenza: X(f) 2W f f f 82

83 Aliasing da sotto-campionamento 2W f Sotto-campionamento: f f 1) Manca una parte dello spettro 2) La parte mancante si ripiega e si somma al resto c è dell altro ( alias ) nello spettro ricostruito 83

84 Campionamento e quantizzazione (conversione A/D) x(n) Q b bit, che rappresentano: Sampling Quantizer ADC: Analog-to-Digital Converter q(n): errore di quantizzazione, che svanisce all aumentare di b, ovvero del numero di bit impiegati nella conversione A/D 84

85 Relazione ingresso-uscita di un quantizzatore uniforme Passo di quantizzazione x max = x q (L-1) -x max x max x q (2) x q (i) L x(n) Livello di restituzione rappresentato con b bits Numero dei livelli di quantizzazione x q (1) -x max =x q (0) 85

86 Ricostruzione (conversione D/A) b bits Generatore di livelli di restituzione Generatore di forma d onda DAC: Digital-to-Analog Converter 86

87 Schema completo di campionamento e ricostruzione Campionatore + quantizzatore b bits P/S Convertitore parallelo/serie flusso binario (bits/sec) Trasmissione flusso binario, bit/sec S/P Convertitore serie/parallelo b bits Convertitore analogicodigitale Filtro LP Con banda [-W,W] 87

88 Esempi Esempio: digitalizzazione del segnale telefonico (PCM, Pulse Code Modulation) Esempio: brano musicale di 3 minuti 88

89 Rumore di quantizzazione nel PCM (1/3) L intervalli di quantizzazione, L valori ( livelli ) di quantizz. 89

90 Rumore di quantizzazione nel PCM- Prestazioni del quantizzatore (2/3) L errore di quantizzazione può assumere tutti i valori da Modello probabilistico: q è una variabile aleatoria con distribuzione (densità di probabilità) uniforme tra e, e a media nulla campione quantizzato Il valore massimo del modulo dell errore q è: a zero al crescere di b campione originale errore di quantizzazione a, e va Sul segnale ricostruito l errore di quantizzazione viene percepito come un disturbo (rumore) sommato al segnale originale 90

91 Rumore di quantizzazione nel PCM- Prestazioni del quantizzatore (3/3) o Supponiamo che x possa assumere solo valori in [-x max, x max ] o Supponiamo che l intervallo [-x max, x max ] sia suddiviso in L=2 b intervalli di quatizzazione di estensione Si può dimostrare che il valore medio E{q 2 } del quadrato dell errore di quantizzazione q vale Quindi E{q 2 } va a zero in maniera esponenziale al crescere di 2b 91

92 Elaborazione numerica dei segnali- Strato Fisico 92

93 Sequenza numerica può essere quantizzata oppure no può essere la sequenza dei campioni di un segnale analogico, oppure può nascere proprio come sequenza (esempi: indicatori economici, distribuzione di temperatura) Sequenza numerica di durata finita (N elementi): 93

94 Trasformata discreta di Fourier per sequenze di durata finita (DFT) DFT: Discrete Fourier Transform k 94

95 Trasformata discreta di Fourier per sequenze di durata finita (DFT) La DFT {X k,k=0,,n-1} costituisce una rappresentazione di nel dominio k delle frequenze discrete. Infatti vale la seguente formula di ricostruzione 95

96 Proprietà elementari della DFT i. Linearità: ii. Simmetria: se è a valori reali, allora 96

97 Filtraggio numerico(1/9) Definiamo come impulso discreto la sequenza numerica che vale 1 in n=0 ed è nulla altrove, ossia n 97

98 Filtraggio numerico (2/9) Un sistema numerico S è un sistema che trasforma una sequenza di ingresso in una di uscita in accordo ad una specifica relazione ingresso-uscita. S Un sistema numerico è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti, ossia Un sistema numerico è permanente se il suo comportamento non varia nel tempo, ossia 98

99 Filtraggio numerico (3/9) Un sistema numerico lineare e permanente è un filtro numerico Si definisce come risposta impulsiva del filtro numerico la sequenza di uscita dal filtro quando all ingresso è applicata la sequenza impulso discreto Filtro Numerico 99

100 Filtraggio numerico (4/9) CLASSIFICAZIONE DEI FILTRI NUMERICI Un filtro numerico è causale se h n =0 per ogni n<0 Un filtro numerico è FIR (Finite Impulse Response) se {h n } è diversa da zero solo per un numero finito di valori di n. Un filtro numerico è IIR (Infinite Impulse Response) se {h n } è diversa da zero per un numero infinito di valori di n 100

101 Filtraggio numerico Convoluzione discreta (5/9) Filtro h n Dato un filtro numerico con risposta impulsiva {h n }, la sequenza di uscita {y n } ottenuta in corrispondenza di una generica sequenza di ingresso {x n } si ottiene mediante la convoluzione discreta di {x n } e {h n }, ossia come in: 101

102 Calcolo della convoluzione discreta (6/9) Per calcolare la convoluzione discreta si procede come segue: i. Poiché per ogni fissato valore di n, la sommatoria è nell indice m, conviene innanzitutto graficare le due sequenze da convolvere come funzioni di m, ottenendo {x m } e {h m }. ii. La sequenza {h m } va poi ribaltata rispetto all asse delle ascisse, ottenendo quindi la sequenza {h -m } 102

103 Calcolo della convoluzione discreta (7/9) iii. La sequenza {h -m } va poi traslata della quantità n lungo l asse m, ottenendo così {h n-m, m=0, apple1, apple2, }. A questo riguardo quando napple0, allora {h -m } va traslata di n verso destra quando n<0, allora {h -m } va traslata di n verso sinistra v. Per ogni valore di m, si calcola il prodotto x m h n-m, m=0, apple1, apple2 vi. Si sommano rispetto all indice m tutti i prodotti {x m h n-m, m=0, apple1, apple2 } ottenendo il valore y n delle sequenza convoluta al passo n. 103

104 Calcolo della convoluzione Discreta (8/9) 2 x m h m 1 h -m m 0 1 m 1 h n- m -1 0 m 1 h n- m n-1 n m -1+n n m 2 x m h n-m 2 x m h n-m 1+n n m -1+n n m 104

105 Proprietà della convoluzione discreta (9/9) i. La convoluzione discreta è communtativa, ossia: ii. La convoluzione discreta è associativa, ossia: iii. La convoluzione discreta è distributiva rispetto alla somma, ossia: vii. Se {x m,m=0,..,m-1} è una sequenza lunga M e {h n,n=0,,l-1} è una sequenza lunga L, allora la convoluzione discreta y n =x n *h n è una sequenza lunga L+M-1 105

106 Filtri FIR (Finite Impulse Response) (1/2) Def: un filtro numerico è detto FIR se la sua risposta impulsiva {h n,n=0,,l-1} ha lunghezza finita L<+apple Ritardo di 1 passo (delay) Ritardo di 1 passo (delay) Ritardo di 1 passo (delay) Linea di ritardo digitale.. L uscita all istante n è pari alla combinazione lineare di L valori di ingresso immagazzinati nella linea di ritardo digitale 106

107 Filtri FIR (Finite Impulse Response) (2/2) Esempio di filtro FIR media mobile su 2 istanti: Altro esempio: 107

108 Filtri IIR (Infinite Impulse Response) (1/2) Un filtro è detto IIR (Infinite Impulse Response) se la sua risposta impulsiva {h n } è non nulla in un numero infinito di istanti. 108

109 Filtri IIR (Infinite Impulse Response) (2/2) Esempio di filtro IIR D 109