che coinciderà con la (2) se g[n] = g (n ), condizione verificata dal teorema di Poisson.

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1 La simulazione di sistemi analogici LTI per via digitale si è resa necessaria in quanto permette non solo la perfetta riproducibilità del fenomeno da studiare in situazioni ambientali anche molto diverse, ma perchè consente la manipolazione di questo a livello software e dunque con un notevole risparmio in termini di costi e tecnologie. La simulazione di un segnale f(t) che attraversa un dispositivo LTI dotato di propria riposta impulsiva h(t) può essere suddivisa in 5 passi: 1. campionamento del segnale f(t) e della risposta impulsiva del filtro h(t) così da ottenere le sequenze f(n ) e h(n ) dove n rappresentano il numero di campioni e la durata dell'intervallo di tempo intercorso tra due campioni successivi. La scelta di non è casuale, ma si basa si ottiene dalla frequenza di campionamento che, per il teorema di Nyquist, deve essere almeno doppia della frequenza massima contenuta nello spettro del segnale secondo la formula. Tale vincolo è necessario per evitare il cosiddetto fenomeno dell'aliasing ossia della sovrapposizioni delle repliche dello spettro periodico del segnale campionato. 2. conversione della sequenza di campioni f(n ) e h(n ) in sequenze numeriche f[n] e h[n] mediante un convertitore A-D. 3.calcolo della sequenza in uscita g[n] ottenuta come convoluzione discreta tra f[n] e h[n]. Tale operazione mette in evidenza un vincolo fondamentale di cui bisogna tener conto per la simulazione di tale processo. Se andiamo a considerare le sequenze di campioni f(n ) e h(n ) e ne facciamo la convoluzione otteniamo: g (n ) = (1) se consideriamo la convoluzione delle sequenza numeriche f[n] e h[n] otteniamo: g[n]= (2) in generale e F (ω) sono funzioni aperiodiche estese in un intervallo compreso da - a + mentre e sono funzioni periodiche di periodo 2π. Allora in generale g(n ) ~= g[n]. Per rendere tale equazione verificata si deve utilizzare o un segnale periodico di periodo 2π (ad esempio l'esponenziale complesso ) oppure un segnale a banda limitata in maniera tale che si abbia l'uguaglianza F(ω) = F all'interno della banda e all'esterno di questa i contributi siano nulli. Se è verificata tale condizione la (1) può essere riscritta e avremo: g (n ) =, che coinciderà con la (2) se g[n] = g (n ), condizione verificata dal teorema di Poisson. 4. riconversione della sequenza numerica g [n] in una sequenza di campioni g (n ), possibile alle stesse condizioni viste al punto ricostruzione del segnale in uscita anlogico a partire dai suoi campioni mediante un filtro interpolatore passa-basso che eliminerà le repliche dello spettro periodico della sequenza numerica da cui si ricaverà il segnale in uscita g (t). Per la simulazione presa in esame si è dapprima trattato il segnale a livello analogico ricavando le risposte impulsive o in frequenza mediante la trasformata o antitrasformata di Fourier per segnali aperiodici secondo le formule:, successivamente si è eseguita la simulazione secondo le operazioni prima descritte file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (1 of 20)29/05/

2 Nel caso preso in esame si è utilizzato come spettro del segnale in ingresso un coseno troncato ottenuto attraverso approssimazione polinomiale file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (2 of 20)29/05/

3 file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (3 of 20)29/05/

4 Poichè lo spettro del filtro analogico non è band-limited, rendiamolo tale attraverso un filtro passa-baso ideale con frequenza di taglio pari a quella propria del sistema, ciò in vista della simulazione digitale file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (4 of 20)29/05/

5 Il segnale in uscita sarà ricavabile mediante il teorema della convoluzione che afferma l'equivalenza tra convoluzione di segnali nel dominio temporale e prodotto delle loro trasformte di Fourier nel dominio delle frequenze mediante la formula: f (t) g (t) = F(ω) H(ω). Il segnale sarà poi ricostruito mediante anti-trasformata. file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (5 of 20)29/05/

7 Si può osservare la differenza tra il segnale in ingresso f (t) in blu e quello filtrato g (t) in rosso. Il campionamento del segnale richiede la definizione di un frequenza e di un periodo di campionamento che devono essere scelte rispettando il criterio di Nyquist Si è campionato sia il segnale di ingresso (band-limited) che quello ottenuto dallo spettro tagliato del filtro analogico file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (7 of 20)29/05/

8 Lo spettro del segnale campionato si è ottenuta utilizzando la DTFT secondo la formula: dove Ω = ω. Si può osservare come X(Ω) sia periodica di periodo 2π fornendo, dunque, infinite repliche dello spettro. file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (8 of 20)29/05/

9 La sequenza in uscita è stata calcolata mediante convoluzione discreta secondo la formula: file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (9 of 20)29/05/

10 La trasformata sarà calcolata mediante DTFT L'operazione di riconversione della sequenza digitale g (n) nel segnale analogico g (t) potrà essere fatto utilizzando un filtro passa-basso che eliminerà ogni replica dello spettro. Il segnale in uscita g (t) si potrà ricavare cui mediante l'antitrasformata di Fourier. Poichè anche l'antitrasformata può essere vista come il prodotto delle risposte impulsive per la costante si può osservare come l'antitrasformata del filtro passa-basso prima descritto risulti essere una Sinc, ossia una funzione definita nell' intervallo -, + e dunque non causale e non utilizzabile per rappresentare sistemi fisici reali file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (10 of 20)29/05/

12 La non causalità del filtro prima descritto fa sì si debbano usare filtri che interpolino la sequenza g [n] in entrata per ottenere il segnale g (t) in uscita. Il primo filtro interpolatore è quello Sampling & Hold la cui risposta impulsiva è: g (t) sarà ottenuto attraverso la convoluzione di g [n] e della risposta impulsiva prima descritta. Si può osservare come tale filtro mantenga il segnale ad un livello costante, pari all'ultimo valore campionato, fino all'arrivo del successivo campione e le differenze tra il segnale ricostruito (rosso) e quello originale (blu) evidenti soprattuto intorno al picco della funzione file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (12 of 20)29/05/

13 Un altro tipo di filtro interpolatore è quello lineare la cui risposta impulsiva è: g (t) sarà ottenuto attraverso la convoluzione di g [n] e della risposta impulsiva prima descritta. file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (13 of 20)29/05/

14 Tale filtro congiunge con un segmento due campioni successivi. Come per il filtro S&H si possono osservare delle differenze tra il segnale ricostruito e quello originale anche in questo caso concentrati intorno al picco della funzione file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (14 of 20)29/05/

15 L'ultimo tipo di filtro interpolatore preso in esame è quello cubico. La risposta impulsiva di tale filtro è ottenuta ricostruendo il lobo centrale e i due laterali di una Sinc ottenuta con la stessa frequenza. Per eseguire ciò ci si è serviti di un' approssimazione polinomiale ottenuta da due polinomi di terzo grado (t/t) = + + per 0 <= t/t <= 1 (t/t) = + + per 1<= t/t <= 2 con le seguenti condizioni: (t/t) = 1 per t=0 (t/t) = 0 per t/t =1, 2, 3,... Derivata prima di (t/t) continua per t/t =1 Derivata prima di (t/t) nulla per t/t = 0 e per t/t =±2 da cui si ottiene: (0) = 1 ; (1) = 0 ; (0) = 0 (1) = 0 ; (2 ) = 0 ; (2 ) = 0 (1) = (1) si ricava dunque un sistema di 7 equazioni in 8 incognite, risolvibile definendo il parametro libero a2 file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (15 of 20)29/05/

17 Un confronto tra i tre filtri può essere fatto rappresentando contemporaneamente le funzioni ottenute mediante la differenza tra g (t) e il filtro S&H (blu), il filtro lineare (rosso) e quello cubico (nero) da cui si possono notare come il primo comporti delle alterazioni notevoli del segnale mentre l'interpolatore cubico si dimostri il più affidabile, quello lineare invece può rappresentare un compromesso tra il basso numero di calcoli che richiede il S&H e l'efficacia dell'interpolatore cubico. file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (17 of 20)29/05/

18 Un ulteriore confronto può essere fatto con il filtro passa-basso ideale precedentemente descritto file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (18 of 20)29/05/

19 Anche in questo caso si pu; notare come le differenze risiedino soprattutto nel valore della funzione al suo massimo e non nell'andamento complessivo. Si può osservare anche come dal confronto dei quattro filtri ( S&H (blu), lineare (rosso), cubico (verde), passa-basso(nero) ) file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (19 of 20)29/05/

20 A parte le differenze già esposte si può notare come il filtro interpolatore cubico e quello passa-basso hanno un andamento molto simile come dimostra l'ultimo grafico. Converted by Mathematica file:///c /Documents%20and%20Settings/The%20Boss/Desktop/Simul_AD/index1.html (20 of 20)29/05/