Analisi armonica su dati campionati

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1 Sistemi di misura digitali Analisi armonica su dati campionati - 1 Analisi armonica su dati campionati 1 - Troncamento del segnale Distorsione di leakage L analisi di Fourier è un metodo ben noto per ottenere informazioni sullo spettro di un segnale e può essere impiegata anche su segnali campionati. Tuttavia occorre soffermarci su alcuni aspetti particolari e mettere in evidenza alcune considerazioni importanti. Si è già visto che l analisi di Fourier si applica formalmente a segnali di durata infinitamente estesa e pertanto anche la sequenza dei campioni che rappresenta il segnale in forma discreta dovrà essere teoricamente di lunghezza infinita. Tale ipotesi non è realizzabile nella pratica, tuttavia può essere approssimata quando si tratti di segnali di durata molto estesa rispetto all intervallo di campionamento. In generale, con riferimento a un processo di campionamento reale, la sequenza dei campioni avrà necessariamente un inizio e una fine, e pertanto il numero dei campioni a disposizione sarà in numero finito. Per esaminare il problema è utile considerare il segnale di durata limitata come una porzione del segnale generico s(t), prelevata attraverso una opportuna finestra temporale w(t) (window), detta anche finestra di troncamento o di osservazione. L effetto del troncamento sul segnale si può rappresentare nel seguente modo: s w ( t) = s( t) w( t) (1.1) La trasformata di Fourier del segnale troncato risulta dalla convoluzione degli spettri: S w ( f ) = S( f ) W ( f ) (1.2) La convoluzione della trasformata S(f) del segnale con la trasformata W(f) della finestra di troncamento introduce un nuovo tipo di distorsione, detta di dispersione (leakage). In pratica se lo spettro del segnale originario S(f) contiene delle transizioni nette, ad esempio componenti armoniche impulsive come nel caso di un segnale periodico nel tempo, tali transizioni vengono smussate e lo spettro del segnale periodico troncato si disperde in frequenza, tanto più quanto più è stretta la finestra di troncamento. Si consideri, per fissare le idee, un segnale sinusoidale s(t) di frequenza f che presenta uno spettro costituito da due impulsi a frequenza ±f. In presenza di troncamento con una finestra rettangolare w(t) di durata T w, la convoluzione degli impulsi in frequenza con la funzione W(f)=sin(x)/x, produce l effetto rappresentato in Fig.1.1. L entità della dispersione in frequenza dipende dalla durata T w della finestra di osservazione e dal suo andamento temporale. In particolare l andamento nel tempo della finestra di troncamento determina l ampiezza dei lobi laterali della dispersione e risulta quindi direttamente responsabile della accuratezza con cui viene stimato lo spettro del segnale

2 Sistemi di misura digitali Analisi armonica su dati campionati - 2 troncato. Sotto questo aspetto, concreti vantaggi possono essere ottenuti utilizzando finestre temporali non rettangolari, ma con transizione più graduale delle estremità (smoothing windows). Tali finestre infatti sono caratterizzate da spettri con lobi laterali meno pronunciati. Fig Dispersione dello spettro per un segnale sinusoidale troncato. Segnale campionato e troncato Si consideri ora il campionamento di un segnale troncato, osservato attraverso la finestra rettangolare w(t) di durata T w =NT c, essendo N il numero di impulsi considerati e T c l intervallo di campionamento. In tale ipotesi il segnale campionato e troncato sarà individuato dai campioni: s( itc ) ( i =,1, 2,..., ) (1.3) e può essere analiticamente rappresentato nella forma (vedi Fig.1.2): N 1 c, w( t) = s( itc ) δ( t itc ) s (1.4) La trasformata di Fourier della sequenza di campioni risulta, applicando la proprietà di traslazione nel tempo: S j2π f it c c, w ( f ) = s( itc ) e (1.5) Questa espressione costituisce un altro modo di rappresentare lo spettro a repliche di un segnale campionato. Tale spettro può essere inteso come una serie di funzioni esponenziali, nel dominio della frequenza, pesate con le ampiezze dei vari campioni. Fig Segnale campionato e troncato.

3 Sistemi di misura digitali Analisi armonica su dati campionati - 3 Si osserva che lo spettro del segnale campionato e troncato risulta ancora una funzione continua nella frequenza (Fig.1.2), formata da repliche dello spettro in banda base. Tuttavia a causa del troncamento del segnale nel tempo, sarà in generale presente nello spettro in banda base una distorsione più o meno pronunciata di leakage. In conseguenza di questo fatto nascerà anche una distorsione di aliasing nel replicare lo spettro. Si vedano in Fig.1.2 le code delle repliche in S c,w (f). 2 - Analisi per segnali periodici campionati e troncati Trasformata discreta di Fourier (DFT) Dal punto di vista della conoscenza dell informazione sullo spettro di un segnale campionato e troncato (quindi caratterizzato da N numeri) sarebbe strettamente sufficiente conoscere l andamento dello spettro solo nell intervallo di ripetizione in frequenza ( f c ). La trasformata discreta di Fourier (Discrete Fourier Transform, DFT) consente di valutare il contenuto armonico in tale intervallo mediante un numero N di componenti discrete. Il passaggio a una rappresentazione discreta dello spettro risulta concettualmente semplice, osservando che la sequenza finita di N campioni nel tempo può essere considerata appartenente a una successione di sequenze di periodo T w =NT c che si ripetono indefinitamente dando luogo a un segnale periodico s c,p (t) con frequenza f w =1/T w (Fig.2.1). Lo spettro S c,p (f) della sequenza di campioni replicata nel tempo con periodo T w, risulta allora uno spettro a righe, spaziate di f w =1/T w. La ripetizione dello spettro in frequenza dipende dal campionamento nel tempo, così come il campionamento in frequenza è dovuto alla periodicità del segnale nel tempo. Il legame di trasformazione fra i campioni nel tempo s i =s(it c ) e i campioni in frequenza S k =S(kf w ) è dato dalla trasformata discreta diretta e inversa di Fourier. Fig Corrispondenza fra sequenze nel tempo e nella frequenza. Poichè le trasformazioni discrete di Fourier (diretta e inversa) coinvolgono solo campioni (sia nel dominio del tempo che della frequenza) vengono definite in forma normalizzata rispetto a

4 Sistemi di misura digitali Analisi armonica su dati campionati - 4 variabili indipendenti di tipo adimensionale: pertanto la variabile tempo diventa l indice i, mentre la variabile frequenza diventa l indice k. La definizione delle componenti armoniche a frequenze multiple di f w, cioè multiple di f c /N, è la seguente: S k = 2π j k i j2π k f f w itc N c s( itc ) e = s( itc ) e con fw = (2.1) N In pratica, di tutte le possibili armoniche di ordine k, solo le prime N/2 sono significative e portano informazione (le successive N/2 risultano speculari rispetto alla frequenza di folding f c /2 e coniugate). Spesso si definisce, per comodità, l operatore: W = 2π j N e Quindi la trasformata discreta di Fourier (DFT) risulta, in forma compatta: k i Sk = si W ( k =,1, 2,... ) In modo analogo viene definita la trasformata inversa (IDFT): (2.2) (2.3) N 1 1 = k i si Sk W ( i =,1, 2,... ) (2.4) N = k Si osservi infine che taluni Autori adottano altre definizioni per la trasformazione diretta e inversa, per esempio scambiando il segno meno all esponente di W oppure scambiando in fattore 1/N, fra le due definizioni. Ciò non cambia il senso della trasformazione. Utilizzando la tipica struttura di queste relazioni sono stati messi a punto algoritmi efficienti per il calcolo veloce delle diverse componenti armoniche. Qualora il numero di campioni risulti una potenza di due, gli algoritmi FFT (Fast Fourier Transform) risultano particolarmente utili e sono ormai consolidati nell analisi armonica dei segnali tramite elaboratore o microprocessori dedicati. DFT di segnali periodici I segnali periodici sono di particolare interesse pratico. In tali casi, l analisi armonica mediante DFT richiede una certa cautela, soprattutto in relazione alla scelta della finestra di troncamento e al fatto che la frequenza di campionamento sia o meno sincronizzata con la frequenza fondamentale del segnale da analizzare. Per comprendere tali aspetti, si consideri, come esempio, un segnale sinusoidale di frequenza f e si supponga che venga campionato alla frequenza f c sufficiente a garantire il rispetto del teorema del campionamento. Riferendosi alla Fig.2.2, si possono sottolineare le seguenti relazioni generali: la finestra di osservazione T w contiene un numero m di periodi T del segnale da analizzare: T w = mt (dove m può essere intero o frazionario); detto N il numero totale di campioni che cadono in tale finestra, la frequenza di campionamento risulta f c = Nf w = Nf /m. Per il caso particolare rappresentato nella Fig.2.2 si verifica facilmente che: m=6 è intero e pertanto T w = 6T ; N=24 e pertanto f c = 24f w = 4f.

5 Sistemi di misura digitali Analisi armonica su dati campionati - 5 In tal caso, ripetere la finestra di osservazione T w indefinitamente nel tempo, significa riprodurre in forma esatta la funzione periodica. Fig Spettro di una sinusoide campionata e troncata: T w = 6T e T = 4T c. E infatti il calcolo della DFT per le diverse componenti kf w fornisce componenti tutte nulle tranne proprio l unica componente armonica effettivamente presente alla frequenza f = 6f w, come rappresentato nello spettro di Fig.2.2. Si consideri ora un secondo esempio, rappresentato in Fig.2.3, dove la finestra di osservazione T w non risulta un multiplo intero m del periodo T e sia T w = 6,5T, quindi f = 6,5f w. Fig Spettro di una sinusoide campionata e troncata: T w = 6,5T e T = (24/6,5)T c. Per agevolare il confronto dei due esempi, la durata di osservazione T w è stata assunta uguale nei due casi, pertanto risultano anche uguali gli step f w nel dominio della frequenza. Supponiamo inoltre che nel tempo T w si prelevino ancora N=24 campioni, allora la frequenza di campionamento risulta: f c = 24f w = (24/6,5)f = 3,692f. In pratica, con le ipotesi fatte, la frequenza di campionamento f c è uguale a quella del caso precedente, ma è cambiato il suo rapporto con la frequenza f del segnale sinusoidale. In questo caso, la ripetizione nel tempo del segnale campionato e troncato non riprodurrà esattamente la funzione periodica originaria, con una conseguente distorsione nello spettro. Questo fatto trova riscontro nella DFT, che evidenzierà, in tal caso, componenti armoniche non presenti nello spettro del segnale periodico originario, come si vede in Fig.2.3. Per concludere l analisi di questo esempio, si consideri ora la Fig.2.4. La finestra di osservazione ha ancora durata T w mentre vengono prelevati N=26 campioni. In tal caso, la frequenza di campionamento è f c = 26f w = (26/6,5)f = 4f ma le cose non cambiano, con riferimento alla dispersione delle righe spettrali, come si osserva nella Fig.2.4.

6 Sistemi di misura digitali Analisi armonica su dati campionati - 6 Dall esame dei semplici casi riportati, si conclude che, per una corretta analisi armonica di segnali periodici mediante DFT, riveste particolare importanza la scelta della finestra di troncamento e il fatto che la frequenza di campionamento sia sincronizzata con la frequenza fondamentale del segnale da analizzare. Fig Spettro di una sinusoide campionata e troncata: T w = 6,5T e T = (26/6,5)T c. Qualora non si riesca a rendere la finestra di osservazione esattamente multipla del periodo del segnale, un modo per limitare l inconveniente può essere quello di impiegare finestre molto ampie rispetto al periodo della fondamentale e soprattutto del tipo con transizione graduale delle estremità (smoothing windows). Infine, per concludere, si deve tenere presente che: Il concetto di armoniche si riferisce a condizioni di regime; quindi il segnale deve essere stazionario, per ottenere risultati accurati nell uso della DFT. La forma d onda non deve contenere frequenze interarmoniche, cioè componenti con frequenze che non sono multipli interi della frequenza fondamentale.