Corso di Laurea in Ingegneria Informatica (Laurea on Line)

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1 Milano 30/11/07 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica (Laurea on Line) Corso di Fondamenti di Segnali e Trasmissione Prima prova Intermedia Carissimi studenti, scopo di questa prima prova intermedia è quello di verificare il vostro grado di apprendimento sulla prima parte del corso. Il testo della prova vi viene reso disponibile nella serata di Venerdì 30 Novembre Il file Word contenente le risposte ai quesiti deve essere consegnato, per essere valido, sulla piattaforma LOL (consegna esercizi), entro le ore 24 di Lunedì 3 Dicembre Il file con le risposte deve avere come nome FST_1_cognome_nome.doc. Dove cognome e nome vanno sostituiti con gli effettivi cognome e nome di ciascun studente. Non vi è possibilità, da parte del docente e dei tutor, di controllare se si realizzino soluzioni collettive od avvengano copiature. Il poter dare un valore a questa prova intermedia è lasciato quindi alla Vostra correttezza. La prova è articolata in 7 domande che coprono gli argomenti trattati. Ad ognuna di esse dovrete dare una risposta motivandola quanto meglio possibile (nel caso dobbiate scrivere formule usate l equation editor). E essenziale che siate precisi e concisi ed ordinati nello svolgimento. E anche possibile non rispondere ad una o più domande. All inizio di ciascuna riposta andrà indicato il numero del quesito a cui essa si riferisce. A ciascuna risposta verrà dato un punteggio che varia fra 2 (risposta errata) a +5 (risposta completamente corretta). Ad un quesito senza risposta verrà attribuito un punteggio pari a 0. Il punteggio assegnato a ciascun quesito potrà essere influenzato anche dal tempo di consegna sul sito Laurea on Line. La prova verrà ritenuta sufficiente quando il punteggio totale accumulato risulterà superiore o uguale a 18. Buon lavoro a tutti, Marco Marcon, Davide Onofrio, Stefano Tubaro

2 Esercizio 1 Si consideri il segnale: t 2 2t s() t = rect e e si risponda alle seguenti domande: a) rappresentare graficamente il segnale; b) calcolare l energia e la potenza media del segnale e discutere se s(t) è un segnale a energia finita o a potenza finita. c) scrivere l espressione analitica e rappresentare graficamente i segnali: z( t) = s( t) v t = s 4 + t () ( ) Esercizio 2 Si calcoli la funzione di trasferimento del sistema in figura (T rappresenta un ritardo di T secondi). Si rappresenti tale funzione di trasferimento in termini di modulo e fase. Considerando come ingresso al sistema un segnale i(t) triangolare di lunghezza 2T centrato intorno a T ed ampiezza unitaria. a) Quale sarà l'andamento del tempo dell'uscita? b) Quale sarà la sua trasformata di Fourier? u(t) Esercizio 3 Calcolare la trasformata di Fourier del segnale: st () = tri 6t+ 24 cos πt ( ) ( ) Esercizio 4 Il segnale s(t) riportato in Figura 1 è stato prodotto da un eccessivo campionamento che produce un notevole spreco di banda. Si vuole fare in modo di eliminare questo spreco. A questo scopo sia dato il sistema di figura 1 in cui è rappresentato lo spettro S(f) del segnale s(t) in cui 1/T0 = 1MHz, 1/T1=3MHz. (a) Si ricavi l andamento del segnale nel tempo. (b) Si proponga anche un filtro ideale H(f) che filtri tutte le repliche spettrali tranne quella in banda base.

3 s(t) H(f) Convertitore A/D S(f) /T 1-1/T 0 +1/T 0 +1/T 1 f Figura 1 Esercizio 5 Si progetti un convertitore analogico/digitale in modo tale che il segnale u(t) opportunamente filtrato al punto precedente, avendo eliminato tutte le sue repliche venga campionato senza aliasing. Si rappresenti quindi lo spettro delle ampiezze di fourier del segnale campionato. s(t) H(f) u(t) Convertitore A/D U(f) /T 0 +1/T 0 f Esercizio 6 Quanti bit sono necessari affinché il rapporto segnale-rumore dovuto esclusivamente alla quantizzazione (uniforme) prodotta dal convertitore analogico digitale sia > di 50dB? Esercizio 7 Si consideri il processo stocastico x k, t = Acos 2π f t+ θ ( ) ( 0 ) Con la variabile aleatoria θ distribuita uniformemente nell intervallo [ π, π ] media e autocorrelazione del processo x( kt, ).. Calcolare

4 Soluzioni Soluzione esercizio 1 a) Il primo fattore che compone il segnale (la funzione rect) è riportata in figura: Il segnale comprensivo dell esponenziale decrescente è riportato in figura b) Per il calcolo dell energia e della potenza si applicano le definizioni: S 1 2 PS = lim s() t dt T + T T /2 Si verifica facilmente che il segnale s(t) è un segnale ad energia finita e, quindi, a pontenza nulla, infatti: () E = s t dt 2 + T /2 4 4t t e e 1 1 ES = s() t dt = e dt = = T / t PS = lim s() t dt lim e dt lim ES 0 T + T = T + T = = T + T T /2 0 c) Le espressioni analitiche dei segnali diventano:

5 ( t) 2 t 2 zt () = s( t) = rect e = rect e 2( t) 2t ( t + 4) 2 2( t+ 4) t 2 2( t+ 4) + v() t = s( t+ 4) = rect e = rect e Soluzione esercizio 2 Per quanto riguarda il sistema descritto dallo schema a blocchi si ha: j2πft j2πft / 2 jπ H ( f ) = 1 e = 2 j sin( π ft ) e = 2 sin( πft ) e ( ft 1/ 2) La trasformata u(t), U(f), può essere ottenuta con la relazione U(f)=I(f)H(f) o trasformando direttamente u(t). 2 sin( π ft ) j2π ft j2π f 2T U( f) = T ( e e ) π ft Soluzione esercizio 3 Il segnale può pensarsi come il prodotto tra un triangolo s 1 ed una sinusoide s 2 Il segnale s1 = tri( 6t+ 24) è un triangolo di durata 1/3 ampiezza 1 e anticipato di 4. mentre il segnale s2 = cos( πt) è un coseno di periodo 1/2 t st () = tri cos 2π t 1/6 2 La trasformata di Fourier di s 1 è: j2 4 f S1( f) = sinc f e π 6 6 La moltiplicazione per un coseno, esprimibile come somma di due esponenziali complessi, equivale alla convoluzione con due impulsi nelle frequenze e quindi la trasformata di Fourier del segnale complessivo è: 1 2 f 1 2 j8π( f 1 2) 2 f j8π( f + 1 2) S( f) = sinc e sinc e Soluzione esercizio 4 (a) Il segnale rappresentato in figura può essere visto come la serie della somma di due componenti: S( f) = S ( f n/ T ) + S ( f n/ T) = 5 rect ( f n/ T) + 10 tri ( f n/ T) / T0 1 2/ T0 1 n n n n

6 La antitrasformata del segnale è la antitrasformata del segnale in banda base campionata con tempo di campionamento pari a T 1 (b) Un filtro adatto allo scopo ha funzione di trasferimento pari a: H ( / T0 f ) = rect 2 ( f ) Soluzione Esercizio 5 Per questo basta campionare il segnale ad un rate maggiore o uguale a 2MHz. Soluzione Esercizio 6 La prima cosa da fare è calcolare la potenza del segnale in ingresso, per questo possiamo anche utilizzare la nota formula di Parseval: La formula per il calcolo dell errore di quantizzazione è nota e pari a: P Q = ΔV 2 /12 A questo punto un semplice calcolo fornisce il risultato voluto. Soluzione Esercizio 7 Si ricorda che le definizioni di media e autocorrelazione per un generico processo stocastico x(k,t) sono: In particolare per l esercizio proposto: La densità di probabilità f θ ( θ ) nel caso considerato vale 12π nell intervallo [ π, π ] altrove, si ottiene quindi: e 0

7 Per il calcolo dell autocorrelazione si ha: Si noti che nel secondo termine della precedente espressione non compare più l operatore di valore atteso E dato che si è persa la dipendenza dalla variabile aleatoria. Per quanto riguarda il primo termine si verifica facilmente che risulta pari a 0: