Esercitazione ENS su periodogramma (27 e 28 Maggio 2008) Esercizio 1: Autocorrelazione e stima della densità spettrale di potenza

Transcript

1 sercitazione S su periodogramma (7 e 8 Maggio 008 D. Donno sercizio : Autocorrelazione e stima della densità spettrale di potenza Si consideri la sequenza x n di lunghezza = 8 campioni. x n è somma di due processi: una sinusoide (ampiezza A = V, fase casuale θ, pulsazione ω 0 e rumore w n gaussiano bianco x n = A sin (ω 0 n + θ + w n = y n + w n θ U[ π, π; [θ = 0 w n C ( 0, σ a Si calcoli l autocorrelazione r x ( della sequenza x n e la densità spettrale di potenza del processo. b Si definisca uno stimatore ˆr x ( della funzione di autocorrelazione del processo x n e si verifichi se tale stimatore è polarizzato. c Si definisca il periodogramma della sequenza x n, si calcoli il valore atteso per ogni cella e si trovi quali sono i valori della pulsazione ω 0 per i quali il periodogramma risulta essere non polarizzato. d Si calcoli la varianza del periodogramma in assenza di polarizzazione. e Si definisca uno stimatore della potenza della sinusoide a partire dal periodogramma e si calcoli la media dello stimatore. f Si definisca uno stimatore della potenza del rumore a partire dal periodogramma e si calcoli la media dello stimatore. g Se lo stimatore della potenza della sinusoide considerato nel punto e risulta polarizzato, come depolarizzarlo? Soluzione a La funzione di autocorrelazione r x ( è (sapendo che i processi y n e w n sono incorrelati r x ( = [x n x n+ = [(y n + w n (y n+ + w n+ = = [y n y n+ + [w n w n+ = r y( + r w ( = r y ( + σ δ( r y ( = [y n y n+ = [A sin (ω 0 n + θ A sin (ω 0 n + ω 0 + θ = = A [sin (α sin (β = (usando le formule trigonometriche di Werner = A [cos (α β cos (α + β = = A [cos (ω 0 cos (ω 0 n + ω 0 + θ = = (il secondo termine è uguale a 0 perché [cos θ = 0 = A [cos (ω 0 = A cos (ω 0 Si noti che la funzione di autocorrelazione della sequenza y n non dipende dalla fase iniziale θ. La funzione di autocorrelazione r x ( risulta essere r x ( = r y ( + r w ( = A cos (ω 0 + σ δ(

2 La densità spettrale di potenza del processo è S x (f = F{r x (} = A 4 [δ(f f 0 + δ(f + f 0 + σ b Potendo disporre di = 8 campioni della sequenza x n, uso la media campionaria per avere uno stimatore ˆr x ( della funzione di autocorrelazione: ˆr x ( = n=0 x n x n+ dove x n+ = 0 per n + > e n + < 0. Quindi solo campioni della sommatoria sono diversi da zero quando faccio il prodotto tra x n e x n+. Il valore atteso di questo stimatore è: [ˆr x ( = 80 n=0 [ ( x n x n+ = ( r x( = r x ( = w B (r x ( Quindi lo stimatore è polarizzato in quanto il suo valore( atteso [ˆr x ( è pari alla funzione di autocorrelazione r x ( finestrata con una finestra triangolare w B ( =. el dominio delle frequenze, il valore atteso dello stimatore è pari a dove [Ŝ(f = S x (f W B (f = A 4 [W B(f f 0 + W B (f + f 0 + σ W B (f = ( sin(πf sin(πf c Il periodogramma è Ŝ ( = X dove la trasformata di Fourier discreta di x n è Ŝ ( = F{ˆr x (} f= X = Y + W = Ŝ(f f=

3 con Y = A [δ 0 + δ +0 W C ( 0, σ I valori di ω 0 per cui il periodogramma risulta essere non polarizzato sono ω 0 = πf 0 = π 0 = π 0 8 con 8 0 numero intero. Quindi scelgo 0 = 3, 9, 7 e questa scelta mi garantisce che la sinusoide in ω 0 cade in una sola cella 0 e in tutte le celle per 0 il contributo della sinusoide è nullo. el caso di assenza di polarizzazione (quando 0 = 3, 9, 7, il periodogramma è W ± 0 (oppure 0, 0 Ŝ ( = Y + W +Re(Y W = ± 0 Il valore atteso del periodogramma quando 0 = 3, 9, 7 è [Ŝ ( = S x (f W B (f f= = A 4 [δ 0 + δ +0 + σ 3

4 d Ora calcolo la varianza del periodogramma var[ŝ( in ogni cella, nel caso di assenza di polarizzazione (quando 0 = 3, 9, 7. var[ W = ( σ = σ 4 ± 0 [ var[ŝ( = var[ W + var[re ( A W = = ( σ + A var[re (W = = ± 0 = σ 4 + A σ dove nel calcolo della varianza var[ŝ( ho considerato che var[ Y = 0 perché Y è deterministica, e inoltre var[re(w = σ poiché w n C ( 0, σ e W C ( 0, σ (, quindi Re(W C 0, σ. e Per stimare la potenza della sinusoide a partire dal periodogramma, considero il periodogramma nella cella 0 e definisco lo stimatore ˆP S = Ŝ( 0 Calcolo il valor medio dello stimatore ˆP S per determinare se è uno stimatore polarizzato [ ˆPS = [Ŝ(0 = A + σ = 4 P S + σ Questo stimatore è polarizzato. Uno stimatore migliore di questo è: ˆP S = Ŝ( 0 [ ˆP S = [Ŝ(0 = P S + σ Anche questo stimatore è polarizzato, ma è migliore del primo ˆP S perché tende a uno stimatore non polarizzato per (in questo caso si dice che lo stimatore è consistente. f Per stimare la potenza del rumore a partire dal periodogramma, uso tutte le celle del periodogramma in cui non ho la sinusoide (tutte quelle per ± 0, che sono in tutto ˆP w = =0, ± 0 Ŝ( Calcolo il valor medio dello stimatore ˆP w per determinare se è uno stimatore polarizzato [ [ ˆPw = Ŝ( = [Ŝ( = σ Questo stimatore è non polarizzato. Si noti che [Ŝ( indica la media della cella -esima del periodogramma, per ± 0, da cui [Ŝ( = σ. g Per depolarizzare lo stimatore calcolato al punto e uso la stima della potenza del rumore ˆP w, per sottrarla alla stima del periodogramma nella cella 0 dove ho sia segnale che rumore. Definisco il nuovo stimatore: P S = ˆP S ˆP w Il suo valor medio è: [ [ PS = ˆP S [ ˆPw = P S + σ σ = P S 4

5 Posso concludere che questo stimatore della potenza della sinusoide è non polarizzato. sercizio : Periodogramma polarizzato e non polarizzato Si consideri il segnale discreto ottenuto campionando, con frequenza di campionamento = 40Hz (T = /, il processo: x(t = A cos (πf 0 t + w(t = s(t + w(t con f 0 = 0Hz e potenza della sinusoide σs = A = W e potenza del rumore σ w = 40W. a Si supponga di avere = 40 campioni della sequenza x n. Si definisca il periodogramma della sequenza x n, si calcoli il valore atteso per ogni cella. b Ripetere le richieste nel punto a supponendo di conoscere = 50 campioni della sequenza x n. In particolare si precisi quali celle risentono maggiormante del contributo della sinusoide e si calcoli il valore atteso del periodogramma in quelle celle. c Si supponga di avere una seconda sinusoide a frequenza f =, 5Hz di uguale potenza σs = B = A della sinusoide a frequenza f 0. Il nuovo segnale è x (t = s(t + y(t + w(t = A cos (πf 0 t + B cos (πf t + w(t. Calcolare il numero minimo di campioni della realizzazione in modo che il periodogramma non sia polarizzato in presenza di entrambe le sinusoidi. Soluzione a L asse delle frequenze da 0 a è diviso in intervalli. Il periodogramma è Ŝ ( = X Il valore atteso di questo stimatore è [Ŝ ( = [F{ˆr x (} = F{ [ˆr x (} = ( = F{r x ( } = = T [S x (f W B (f f = dove W B (f è la trasformata della finestra triangolare W B (f = ( sin(πf T sin(πft In pratica, è come se faccio la convoluzione nel continuo di S x (f con il sinc periodicizzato e poi campiono in f =. [( A [Ŝ ( = T 4 [δ(f f 0 + δ(f + f 0 + σw f W B (f = f c = [ A = T 4 W B(f f 0 + A 4 W B(f + f 0 f }{{} primo termine + T σ w W B (f f }{{} secondo termine 5

6 risolvo il secondo termine passando nei tempi dove la convoluzione diventa una moltiplicazione, e poi tornando nel dominio delle frequenze: secondo termine = T σw W B (f f ( T σwδ(n n = T σwδ(n T σw Per quanto riguarda il primo termine, per = 40 la larghezza di ogni cella è Cerco la cella dove cade la sinusoide: f = = Hz f = f 0 = 0Hz = = 0 In questo caso la spaziatura della sinusoide coincide con la spaziatura del sinc periodicizzato. Quindi il contributo della sinusoide è nullo ovunque (= assenza di polarizzazione tranne che nelle celle corrispondenti a f 0 ( = 0 e f 0 ( = 30. Il valore atteso in questo caso diventa: [Ŝ ( = b Con = 50 campioni ho T A 4 + T σw = A 4 + σ w fc = mw/hz = 0, 30 T σ w = σ w fc = mw/hz 0, 30 f = = 0, 8Hz f = f 0 = 0Hz = =, 5 Quindi non esiste un intero che soddisfi la relazione. In questo caso la sinusoide in f 0 cade nel mezzo di un intervallo ( =, 5. Il periodogramma è polarizzato perché gli zeri del sinc periodicizzato sono in posizioni diverse rispetto alla spaziatura f, quindi il contributo della sinusoide sporca tutte le celle del periodogramma (si veda la figura sopra. Le celle in cui i contributi della sinusoide sono più forti sono =, 3 e = 37, 38. In questo caso il valore atteso del periodogramma in ogni cella è [ A [Ŝ ( = T 4 W B(f f 0 + A 4 W B(f + f 0 f= f c + T σw 6

7 Facendo delle approssimazioni (prima approssimo il sinc periodico con quello aperiodico e poi il sinc aperiodico col suo denominatore trovo: [ W B (f f 0 = f f sin(π 0 sin(π f f 0 = [ sin(π/ ( π/ π [ sin(π f f 0 (π f f 0 poiché f f 0 = ( = = 3, 5 = 0.5 Invece W B (f + f 0 0 è trascurabile in quanto sono i contributi relativi alle componenti più lontane del sinc. Da cui trovo che in questo caso il valore atteso del periodogramma in ogni cella è pari a [Ŝ ( = A 4 ( π + σw fc =, 4mW/Hz =, 3, 37, 38 T σ w = σ w fc = mw/hz, 3, 37, 38 c In presenza di due sinusoidi non si ha polarizzazione se è tale che { f = =, 5Hz f 0 = 0 = 0Hz Per minimizzare si devono scegliere gli interi minimi e 0 che soddisfano la relazione 0 = f 0 = 0 f, 5 = 0 3 Il valore minimo di si ottiene scegliendo = 3, 0 = 0, = 80. Soluzioni con maggiore si ottengono come multipli di questi valori. sercizio 3: Riduzione della varianza del periodogramma Si consideri una sequenza x n da rumore bianco x n C ( 0, σ n = 0,,, a Si supponga di avere = 000 campioni della sequenza x n. Si definisca il periodogramma della sequenza x n, si calcoli il valore atteso e la varianza per ogni cella. b Si supponga ora di avere L = 0 sottosequenze della sequenza x n da = 00 campioni ciascuna. Si definisca il periodogramma della sequenza x n in questo caso e si calcolino il valore atteso e la varianza per ogni cella. Soluzione a La trasformata discreta di Fourier della sequenza x n è X C ( 0, σ 7

8 In questo caso periodogramma, il suo valore atteso e la varianza sono pari a: Ŝ( = X [Ŝ( = [ X = σ = σ var [Ŝ( = var [ X = [ ( X σ = = σ 4 b In questo caso, il periodogramma per la sottosequenza l-esima con l =,, L è Ŝ (l ( = X(l Il periodogramma totale somma dei periodogrammi delle singole sottosequenze: Ŝ L, ( = L L l= Ŝ (l ( Il valore atteso del periodogramma è [Ŝ(l ( = [ X (l = σ [ŜL, ( = L [Ŝ(l L ( = σ = σ Quindi l effetto della suddivisione del periodogramma in sottosequenze lascia inalterato il valore atteso. Per quanto riguarda la varianza, invece: [Ŝ(l var ( = [ ( var X (l σ = = σ 4 [ var [ŜL, ( = L L var Ŝ (l ( = L var [Ŝ(l L ( = σ4 L = σ4 0 l= Si noti che rispetto al caso analizzato al punto a, la varianza è stata ridotta di un fattore 0. 8