Elaborazione numerica dei segnali: analisi delle caratteristiche dei segnali ed operazioni su di essi. Mauro Biagi

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1 Elaborazione numerica dei segnali: analisi delle caratteristiche dei segnali ed operazioni su di essi Mauro Biagi

2 Outline Dall analogico al digitale Quantizzazione dell inormazione Trasormate di Fourier Filtraggio digitale Conclusione Elaborazione numerica dei segnali 01/06/16 Pagina 2

3 Dall analogico al digitale Un segnale x(t) rappresenta la variazione temporale di una grandezza isica (tensione, corrente, temperatura) Formalmente x(t) è una unzione x(t) : T D Elaborazione numerica dei segnali 01/06/16 Pagina 3

4 Dall analogico al digitale Analog signal (example) 5 x(t) D [ 5,5] e T [0,10] t Digital signal (example) D { 1,1} e T [ 10,10] 1 x(t) t Elaborazione numerica dei segnali 01/06/16 4

5 Dall analogico al digitale Segnali analogici: o o Audio (voce, musica) Video (TV analogica) t Segnali numerici (sequenze di digit): o o o o Audio e video digitalizzati Immagini Digitali Sequenze di immagini (videoclip, TV digitale, ) Dati (documenti word/excel, iles, ) Reti analogiche: Broadcast radio/tv, cellulare TACS, cordless analogico Tutte le altre reti sono numeriche (audio e video vengono digitalizzati) Elaborazione numerica dei segnali 01/06/16 5

6 Dall analogico al digitale Segnale analogico x(t) Sequenza dei suoi campioni: x( n) x( t) tnt t x(0) T x(1) 2T T.... t T intervallo di campionamento (sec) Campionatore: 1 T requenza di campionamento (Hz) x (t) x(n) Trasmissione a distanza, o immagazzinamento Elaborazione numerica dei segnali 01/06/16 6

7 Dall analogico al digitale Se è limitato in banda, con banda intorno allorigine, e se x (t) ±W 2W (criterio di Nyquist), allora il segnale ricostruito risulta uguale all originale, ossia: x R (t) x R ( t) x( t) c 2 per W Elaborazione numerica dei segnali 01/06/16 7

8 Dall analogico al digitale Spiegazione intuitiva: se x(t) varia lentamente, e se la si osserva abbastanza requentemente, allora il suo andamento completo è perettamente ricostruibile tramite interpolazione delle osservazioni { x( nt ), n 0, ± 1, ± 2,...} Elaborazione numerica dei segnali 01/06/16 8

9 Dall analogico al digitale La proprietà ondamentale che sta alla base del teorema del campionamento è la seguente: 1 n FT ( t nt ) ( ) n T n T 9

10 Dall analogico al digitale Nel dominio della requenza: X() 2W 1 X '( ) X ( k / T ) T k 2 H ( ) X R ( ) X ( ) 2 c 2W 2 W W 1 2 2T 10

11 Dall analogico al digitale X ( ) 2W X '( ) Sotto-campionamento: < 2W 2 X R ( 2 ) 1) Manca una parte dello spettro 2) La parte mancante si ripiega e si somma al resto c è dell altro ( alias ) nello spettro ricostruito 11

12 Dall analogico al digitale Ricostruzione, con treno di impulsi matematici: x'( t) x( nt ) ( t nt ) n x(t) x(1) x(0) T 2T T t x' ( t) Filtro LP: H ( ) x R (t) Segnale ricostruito x(1) 12

13 Dall analogico al digitale Ricostruzione ideale, con treno di impulsi matematici: x '( t) x( n) ( t nt ) n H ( ) T rect ( ) T 1/ T h( t) sinc( t / T ) 1 2T 1 2T T T 2T t 2T 13

14 Dall analogico al digitale x(1) x(0) xr ( t) x( nt )sinc( ( t nt ) / T ) x(1) n x(2) x(3) 14

15 Quantizzazione dell inormazione x(t) Sampling x(n) Q Quantizer 1 0 b bit, che rappresentano: xˆ ( n ) x( n ) ADC: Analog-to-Digital Converter xˆ ( n ) x( n ) q( n ) x( n ) q(n): errore di quantizzazione, che svanisce all aumentare di b, ovvero del numero di bit impiegati nella conversione A/D 15

16 Quantizzazione dell inormazione x max = x q (L-1) xˆ( n) -x max x max x q (2) x q (i) L x(n) Passo di quantizzazione Livello di restituzione rappresentato con b bits Numero dei livelli di quantizzazione x q (1) -x max =x q (0) 16

17 Quantizzazione dell inormazione b bits Generatore di livelli di restituzione xˆ( n ) Generatore di orma d onda xˆ ( n )rectt ( t nt ) xˆ( n ) DAC: Digital-to-Analog Converter nt T t 17

18 Quantizzazione dell inormazione x(t) 2W Campionatore + quantizzatore b bits P/S lusso binario b b (bits/sec) Trasmissione Convertitore parallelo/serie lusso binario, bit/sec b S/P b bits Convertitore analogicodigitale 2W Filtro LP Con banda [-W,W] x R (t) Convertitore serie/parallelo 18

19 Quantizzazione dell inormazione t x MAX x MAX L 1 0 L intervalli di quantizzazione, L valori ( livelli ) di quantizz. x (0) ( L 1) q,..., x q b b bit per campione L 2 intervalli di quantizzazione ampiezza intervallo: 2 x / L (2 x )2 x(t) l'i-esimo livello quantizzazione x è posto al centro dell'i-esimo intervallo di quantizzazione. MAX (i) q MAX b 19

20 Quantizzazione dell inormazione xˆ x q campione quantizzato campione originale errore di quantizzazione L errore di quantizzazione può assumere tutti i valori da / 2a / 2 Modello probabilistico: q è una variabile aleatoria con distribuzione (densità di probabilità) uniorme tra e, e a media nulla Il valore massimo del modulo dell errore q è: zero al crescere di b / 2 / 2 2 (2xMAX ) Sul segnale ricostruito l errore di quantizzazione viene percepito come un disturbo (rumore) sommato al segnale originale b p(q), e va a 2 q 20

21 Quantizzazione dell inormazione xˆ x q o Supponiamo che x possa assumere solo valori in [-x max, x max ] o Supponiamo che l intervallo [-x max, x max ] sia suddiviso in L=2 b intervalli di quantizzazione di estensione Δ 2 x / L 2 x / 2 b max max Si può dimostrare che il valore medio E{q 2 } del quadrato dell errore di quantizzazione q vale ( x ) 2 Δ E{q } max 2b Quindi E{q 2 } va a zero in maniera esponenziale al crescere di 2b 21

22 Trasormate di Fourier x, n 0, ± 1, ± 2,.. n può essere quantizzata oppure no può essere la sequenza dei campioni di un segnale analogico x( t ) x( t) x( ntc ) tnt, oppure può nascere proprio come sequenza (esempi: indicatori economici, distribuzione di temperatura) x n c Sequenza numerica di durata inita (N elementi): x, n 0, 1,..., N 1 n x 0, x 1,..., x N 1 22

23 Trasormate di Fourier De: Un segnale x(t) è impulsivo se x( t) dt FT : X( ) x( t )e j2t dt FT x( t ), FT -1 : x( t) X ( ) e j 2t d FT 1 X ( ), t X() è una rappresentazione di x(t) nel dominio della requenza (dominio spettrale ) anziché del tempo 23

24 Trasormate di Fourier X() = R() + j I() = M()e j x( t) M ( ) e j(2t ( )) d R() M() I() () 24

25 Trasormate di Fourier x (t) segnale reale: X ( ) x( t)cos(2t ) dt j x( t)sin(2t ) dt Simmetria coniugata: R( ) R( ) I( ) I( ) M ( ) M ( ) ( ) ( ) X ( ) X * ( ) 25

26 Trasormate di Fourier DFT: Discrete Fourier Transorm X k N1 x n n0 e j 2 n N k X X 0, 1,..., X N 1 k 0,1,..., N 1 k 0 N 1 26

27 Trasormate di Fourier La DFT {X k,k=0,,n-1} costituisce una rappresentazione di x n nel dominio k delle requenze discrete. Inatti vale la seguente ormula di ricostruzione -1 DFT N 1 k 1 j 2 n N xn X ke n 0,..., N 1 N k 0 27

28 Filtraggio digitale La convoluzione discreta è data dalla seguente relazione y x h n n m nm m si può procedere al calcolo o passare per il dominio della requenza (discreta) Teorema della convoluzione. Yk=HkXk ± ±, 0, 1, 2,... 28

29 Filtraggio digitale De: un iltro numerico è detto FIR se la sua risposta impulsiva {h n,n=0,,l-1} ha lunghezza inita L x x n n1 xnl 1 Ritardo di 1 passo (delay) Ritardo di 1 passo (delay) Ritardo di 1 passo (delay) Linea di ritardo digitale h 0 h.. h 1 L 1 L uscita y n x n x nl,..., 1 y n L 1 m0 h m x nm all istante n è pari alla combinazione lineare di L valori di ingresso immagazzinati nella linea di ritardo digitale 29

30 Filtraggio digitale Un iltro è detto IIR (Ininite Impulse Response) se la sua risposta impulsiva {h n } è non nulla in un numero ininito di istanti. y n m0 h m x mn n m x m h nm h n a 1 a n 0 n 30

31 Conclusione Che cosa are in laboratorio? Matlab..-> Matlab.->Matlab Filtraggio passa basso e passa alto di un segnale Filtraggio notch e isolatore Eetto dell echo (multipath!) Elaborazione numerica dei segnali 01/06/16 Pagina 31