Trasformata di Fourier per Immagini Digitali

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1 A.a. 008/009 Trasormata di Fourier per Immagini Digitali

2 + j [ ] Segnali Continui -D π i ( ) I i ( ) = ie ( ) d= I( ) I( ) spettro di ampiezza + i( ) =I [ I( ) ] = I( ) e j π d ( ) ( ( )) I I( ) tan R I spettro di ase Il segnale è esprimibile come una somma ininita di unzioni armoniche aventi dierente requenza: jπ e = π + j π cos( ) sin( )

3 [ ] Segnali Continui -D + + j π ( + ) i(, ) I i(, ) = i(, ) e dd = I(, ) + + j π ( + ) (, ) =I (, ) = (, ) i I I e d d Il segnale è esprimibile come una somma ininita di unzioni armoniche D aventi dierenti requenze orizzontali e verticali: jπ ( + ) e = cos π + + jsin π + ( ( )) ( ) ( )

4 Funzioni Armoniche -D () e ( ) jπ + unzione periodica che varia in una ben precisa direzione del piano (, ) La unzione varia con requenza % = + nella direzione θ = tan θ v =

5 Funzioni Armoniche -D () θ v = cosθ sinθ = sinθ cosθ cosθ = sinθ = + + = +

6 Funzioni Armoniche -D (3) = + = + = + + ( ) ( ) e ( ) + + ( ( ) + ( + )) jπ jπ = e e + ( + ) jπ = e ( ) + jπ Armonica che varia con requenza nella direzione % θ

7 Trasormata di Fourier e Convoluzione i (, )* h (, ) =I I(, ) H(, ) H(, ) Ove con è stata indicata la trasormata di Fourier della risposta impulsiva dell operatore. Nel caso della correlazione: i(, ) o h(, ) = i(, )* h(, ) Se (, ) è reale h [ ] * I h(, ) = H (, ) * i(, ) o h(, ) = i(, )* h(, ) =I I(, ) H (, )

8 Segnali Discreti -D () i( ) Segnale continuo 0 s ( ) 0 Impulsi di campionamento ( ) = ( ) ( ) i% i s Segnale campionato 0

9 Segnali Discreti -D () ( ) I% ( ) =I i% Trasormata di Fourier del segnale campionato ma ma + I% ( ) = I j= j ma il segnale continuo può essere completamente ricostruito dai suoi campioni (Teorema del Campionamento).

10 DFT () La ormula nella slide precedente non consente di esprimere la trasormata del segnale campionato in unzione dei valori dei campioni. La DFT (Discrete Fourier Transorm) consente di calcolare campioni della trasormata del segnale campionato a partire da campioni del segnale: m= 0 um jπ Iu %( ) = ime ( ), u= 0K La trasormata inversa di ricostruire i campioni del segnale a partire da quelli della trasormata: um jπ im ( ) = Iue % ( ), m= 0 u= 0

11 DFT () 0 Gli campioni della trasormata corrispondono al campionamento dell intervallo dell asse delle requenze con passo pari a [ ] 0, ( ) u Iu I = = % % 0 (0) u I u I u I I u I = = = = = % % % % % ( ) = = > u I u I u I u ~ ~ ~

12 Segnali Discreti -D () Impulsi di campionamento Segnale campionato (, ) = (, ) (, ) i% i s,

13 Segnali Discreti -D () Trasormata di Fourier del segnale campionato ma ma + + j I% ( ) = I, j= k= k ma ma il segnale continuo può essere completamente ricostruito dai suoi campioni (Teorema del Campionamento).

14 -D DFT () Come nel caso dei segnali -D, la ormula nella slide precedente non consente di esprimere la trasormata del segnale campionato in unzione dei valori dei campioni. La -D DFT consente di calcolare N campioni della trasormata del segnale campionato a partire da N campioni del segnale: N um vn jπ + N Iuv %(, ) = imne (, ), u= 0K, v= 0KN m= 0 n= 0 La trasormata inversa di ricostruire i campioni del segnale a partire da quelli della trasormata: N um vn jπ + N imn (, ) = Iuve % (, ), m= 0K, n= 0KN N u= 0 v= 0

15 -D DFT () Gli N campioni della trasormata corrispondono al campionamento della porzione del piano delle requenze [ 0, ], [ 0, ] con passo orizzontale pari a e passo verticale pari N u v Iuv % (, ) = I% =, = N N N N N N ~ u >, v > I ~ ~ u v N ( u, v) = I u, v = I, u = 0, v= 0 I% (0, 0) u =, v = I%, N N N u =, v = I%, = I%, N N u =, v = N I%, N

16 -D DFT (3) La -D DFT viene sovente visualizzata come un immagine. Per ottenere una visualizzazione centrata nell origine di immediata interpretazione è necessario riordinare i campioni della DFT. 4 3 N

17 Fast Convolution/Correlation Applicazioni () Sono stati sviluppati algoritmi molto eicienti (FFT: Fast Fourier Transorm) per il calcolo della DFT: ( N ) N N log Di conseguenza può risultare conveniente eseguire la convoluzione/correlazione nel dominio delle requenze piuttosto che nel dominio del segnale: i( m, n) h( m, n) FFT FFT IFFT o( m, n) Ciò accade tipicamente quando il kernel dell operatore ha dimensioni elevate. Va evidenziato che l esecuzione di convoluzione/correlazione nel dominio delle requenze richiede operazioni aritmetiche loating-point.

18 Applicazioni () Filtraggio nel dominio delle requenze Un operatore LSI può essere deinito mediante la sua risposta in requenza, H(u,v). E così possibile deinire iltri passa basso (smoothing), passa alto. Ciò è particolarmente conveniente quando si vogliono deinire iltri che agiscono selettivamente su alcune requenze (intervalli di requenze), ad esempio notch ilters per l eliminazione dall immagine di ben precise componenti periodiche di intererenza. (vedi ad esempio, Gonzalez, Woods Digital Image Processing, 3 Edition) Restoration Sia l immagine disponibile, i P (m,n), aetta da un processo, P, che degrada la qualità dell immagine ideale, i(m,n) e sia P modellabile come un operatore LSI avente risposta in requenza P(u,v): I p ( u, v) = I i ( m, n) [ ], I( u, v) = I i( m, n) p [ ] i ( m, n) = I [ I ( u, v) ] = I [ I( u. v) P( u, v) ] Se è possibile derivare analiticamente o stimare la P(u,v) : I [ ( u, v) P( u, v) ] = I [( I( u, v) P( u, v) ) P( u, v) ] = I [ I( u, v) ] = i( m, n) I p P e.g. : eliminazione del blur dovuto al movimento dell oggetto o della camera durante il tempo di esposizione. P

19 Applicazioni (3) Individuazione dell orientazione di pattern periodici Le 3 igure successive mostrano un'immagine binaria di testo dattiloscritto, la sua DFT (spettro d'ampiezza) ed il risultato di un'operazione di sogliatura sullo spettro d'ampiezza che ha l'obiettivo di evidenziare le armoniche principale.

20 Applicazioni (4) Ruotiamo ora l'immagine ed eseguiamo le stesse operazioni della slide precedente: La armoniche principali della DFT hanno subito la stessa rotazione dell'immagine. L'analisi dello spettro d'ampiezza della DFT può quindi essere utilizzata al ine di determinare e compensare una rotazione ignota.