Trasformata di Fourier

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1 Trasformata di Fourier Filtri lineari Filtri lineari Gli operatori locali che operano su una immagine mediante la convoluzione con maschere di pesi possono essere descritti mediante la teoria dei segnali ed in particolare dei sistemi lineari: Trasformata di Fourier Prodotto di convoluzione Sistemi lineari

2 Immagine digitale Una immagine digitale è una funzione digitale del tipo: f : D [0,255] dove D è un dominio discreto, costituito da coppie di coordinate x,y. D è chiamato griglia di campionamento Funzione immagine Una immagine è una funzione digitale in due dimensioni: i valori rappresentano il livello di grigio di un determinato pixel di coordinate (x,y) O x y

3 Immagine come segnale Segnale: variazione di una grandezza fisica rispetto al tempo e/o allo spazio cioè Valore della grandezza ad ogni istante di tempo (spazio) Un segnale è una funzione dipendente da una o più variabili Le immagini stazionarie dipendono dalle coordinate spaziali: si parla di studio nel dominio dello spazio La funzione immagine considerata un segnale bidimensionale può essere studiata anche nel dominio delle frequenze tramite la trasformata di Fourier Dominio delle frequenze Ampiezza della trasformata di Fourier nel dominio delle frequenze (u,v) con origine nel centro O u v

4 Trasformata di Fourier Fondamenti Serie di Fourier: una funzione periodica può essere rappresentata come somma di funzioni seno e coseno di differenti frequenze, moltiplicate per differenti coefficienti Trasformata di Fourier: le funzioni non periodiche possono essere rappresentate come integrale di funzioni seno/coseno moltiplicate per dei coefficienti 1D Discrete Fourier Transform -DFT Trasformata discreta di Fourier- DFT : un segnale digitale di estensione finita può essere rappresentato mediante la trasformata discreta di Fourier - Sia f(x) -- {f (0), f (1),, f ( - 1) } un segnale monodimensionale di lunghezza Ssi definiscono la trasformata diretta e quella inversa DFT diretta DFT inversa 1 x= 0 ux F( u) = f ( x)exp( j2π ) u=0,1,,-1 1 ( x) = 1 u= 0 F( u)exp( j2 ux ) f π x=0,1,,-1

5 ucleo della trasformata di Fourier Formula di Eulero φ e j = cosφ + j sinφ ucleo o base della trasformata diretta - kernel e ux j2π ucleo della trasformata inversa ux ux ux = exp( j2π ) = cos(2π ) j sin(2π ) e j ux π 2 u=0,1,,-1 x=0,1,,-1 2D Discrete Fourier Transform -DFT Trasformata discreta di Fourier- 2-D DFT : un segnale digitale bidimensionale di estensione finita può essere rappresentato mediante la trasformata discreta di Fourier 2-D Sia f(x,y) x= 0,1,, M -1, y= 0,1,, - 1 una immagine di M x pixel; si definiscono la trasformata diretta e quella inversa bidimensionali

6 2D Discrete Fourier Transform Sia f(x,y) una immagine digitale, si definisce Trasformata discreta di Fourier: DFT diretta 2-D F DFT indiretta -2D 1 M ( u, v) = f ( x, y) per u = 0,1,2,..., M f M 1 1 ( x, y) = F( u, v) u= 0 v= 0 M 1 1 x= 0 y= 0 per x = 0,1,2,..., M 1 e v = 0,1,2,..., 1 1 e e e ux vy j2π + M ux vy j 2π + M y = 0,1,2,..., 1 Considerazioni Ogni termine della trasformata di Fourier F(u,v) è ottenuto come combinazione lineare di tutti i valori della funzione f(x,y) I valori f(x,y) sono moltiplicati per le funzioni base seno e coseno di frequenze diverse Il dominio (u,v) è noto come dominio delle frequenze I coefficienti F(u,v) sono detti componenti in frequenza della trasformata o coefficienti di Fourier

7 Esponenziale complesso e ux j2π ux ux ux = exp( j2π ) = cos(2π ) j sin(2π ) Parte reale Parte immaginaria F(u,v) è una funzione complessa; si può quindi esprimere in coordinate polari F jφ ( u, v) ( u, v) = F( u, v) e Trasformata in 2D f(x,y) funzione reale. La trasformata complessa- si può esprimere in termini di ampiezza e fase: P 2 2 ( u, v) = R ( u, v) + I ( u, v) I ( ) ( u, v) u, v = arctg R( u, v) ( u, v) = F( u, v) 2 F ϕ jφ ( u, v) = F( u v) e F, Spettro o ampiezza Angolo di fase spettro di potenza Le variabili u e v vengono chiamate variabili di frequenza

8 Visualizzazione della trasformata di Fourier La trasformata di Fourier non può essere visualizzata essendo una funzione complessa Si visualizzano separatamente l ampiezza o la fase. Per l ampiezza si utilizza la funzione logaritmica D u,v = log 1+ F u,v ( ) ( ) ( ) Infatti l ampiezza decresce piuttosto rapidamente all aumentare della frequenza Le componenti di alta frequenza tenderebbero ad essere scure se visualizzate direttamente La funzione log è non negativa e preserva il valore 0

9 Trasformata di Fourier diretta I coefficienti F(u,v) di Fourier sono in relazione con alcune caratteristiche della immagine F(0,0) è proporzionale al valore di brillanza medio della immagine f(x,y) I coefficienti F(u,v) in corrispondenza di valori elevati di u,v alte frequenze spaziali- sono in relazione alle brusche variazioni di livello di grigio edge pixel I coefficienti F(u,v) in corrispondenza di valori bassi di u,v, vicino all origine basse frequenze spaziali- sono in relazione a regioni abbastanza uniformi Esempio input fft output Smoothing filter

10 ghepardo Ampiezza della trasformata del ghepardo

11 Fase della trasformata del ghepardo Zebra

12 Ampiezza della trasformata della zebra Fase della trasformata della zebra

13 Curiosità sulla FT di immagini Le ampiezze della FT delle immagini naturali sono abbastanza simili tra loro L informazione è elevata vicino alle basse frequenze, si va attenuando verso le alte frequenze La maggior parte della informazione è nella fase e non nell ampiezza on è molto chiaro perchè sia quasi sempre così Ricostruzione con la fase della zebra e l ampiezza del ghepardo

14 Ricostruzopne con la fase del ghepardo e l ampiezza della zebra Proprietà fondamentali La trasformata di Fourier gode delle seguenti proprietà: separabilità traslazione periodicità simmetria linearità convoluzione correlazione

15 Traslazione Una traslazione effettuata sulla funzione originale comporta una modifica della fase per la trasformata, e viceversa: F f ( u u, v v ) f ( x, y) 0 u0x+ v0 y j2π ux0 + vy0 j2π ( x x, y y ) F( u, v) e e Traslazione f(x,y)exp[j2π(u 0 x+v 0 y)/] F(u-u 0, v-v 0 ) Il prodotto di f(x,y) per un termine esponenziale produce nella trasformata F(u,v) una traslazione di (u 0,v o ). Si ha cioè che l origine del piano (u,v) trasla nel punto (u 0, v 0 ) In particolare se u 0 = v 0 = /2, si ha che l origine (0,0) trasla al centro del piano exp[j2π(u 0 x+v 0 y)/] = e jπ(x+y) = (-1) x+y f(x,y)(-1) x+y F(u-/2, v-/2)

16 Traslazione E possibile traslare l origine della trasformata di Fourier di f(x,y) nel centro del piano (u,v) moltiplicando f(x,y) per (-1) x+y ed effettuando quindi la trasformata di Fourier È da notare che questa traslazione non influenza il modulo della trasformata: [ j2π ( ux + vy )/ ] F( u v) F u, v)exp, ( 0 0 = se u 0 = v 0 = /2 Separabilità Potendo esprimere la funzione esponenziale complesso come prodotto lungo le due direzioni: è possibile separare la Trasformata di Fourier lungo le due direzioni: F e j2π ( ux+ vy) j2πux j2πvy. 1 ( u, v) = e f ( x, y) x= 0 j 2πux = e 1 y= 0 e e j 2πvy Vantaggio: la trasformata può essere calcolata mediante due successive applicazioni della trasformata monodimensionale ( x v) F,

17 F(u,v) = 1 1 F(x,v)exp x= 0 [ j2π2πux] dove 1 = 1 F(x,v) f(x,v)exp y= 0 [ j2π2πvy] (0, 0) (-1) f(x,y) -1 y (0, 0) Trasf. 1D lungo righe; * (-1) (0, 0) v -1 Trasf. 1D lungo F(x,v) colonne (-1) F(u,v) -1 v x x u F(u,v) o f(x,y) possono essere valutate in 2 passi mediante l applicazione ripetuta della trasformata monodimensionale o della sua inversa Rotazione Se f(x,y) è ruotata di un angolo θ anche F(u,v) è ruotata dello stesso angolo θ In maniera analoga una rotazione della trasformata F(u,v) causa una rotazione della funzione f(x,y) dello stesso angolo

18 Periodicità La trasformata di Fourier è periodica. F = ( u, v) = F( u +, v) = F( u, v + ) = F( u +, v + ) La traformata discreta di fourier è periodica con periodo Simmetria coniugata Sia f(x,y) una funzione reale. La trasformata equivale alla trasformata complessa coniugata con F * ( u, v) = F ( u, v) ( u, v) complessa coniugata di F( u v) * F, L ampiezza della trasformata è simmetrica rispetto all origine F ( u, v) = F( u, v)

19 Linearità La Trasformata di Fourier è lineare: a f 1 a F 1 ( x, y) + b f ( x, y) c ( u, v) + b F ( u, v) L operatore T F che genera la trasformata di Fourier è lineare: T ( af + bf ) = at ( f ) bt ( ) F 1 2 F 1 + F f2 2 2 Sistemi lineari e filtraggio lineare Un processo che accetta una immagine I ( segnale ) in input e la trasforma mediante una convoluzione è detto sistema lineare Immagine I Filtro digitale caratterizzato dalla risposta impulsiva H Output - Image J = I*H Goals del filtraggio lineare è di migliorare la qualità della immagine, enfatizzando oppure attenuando alcune caratteristiche

20 Obiettivi Smoothing rimuove il rumore dovuto alla trasmissione, acquisizione.. Enhancement migliora la qualità delle immagini o enfatizza feature significative, come gli edge Deblurring migliora la nitidezza ( sharpness) delle immagini sfocate (blurred) Sistemi lineari Un sistema lineare può essere caratterizzato in uno dei 2 modi equivalenti mediante Risposta impulsiva: risposta del sistema all impulso unitario Risposta in frequenza: descrive come il sistema elabora ogni componente in frequenza in una immagine Le componenti in frequenza sono amplificate oppure attenuate

21 Spatial Filtering Il filtraggio nel dominio spaziale può essere rappresentato come: g ( m, n) = T[ f ( m, n)] Immagine filtrata Transformation Immagine iniziale La trasformazione T è lineare nel caso dei sistemi lineari Linear Shift-Invariance Una trasformazione T{} is Lineare se: T(a g(x,y)+b h(x,y)) = a T{g(x,y)} + b T(h(x,y)) Shift invariant se: ella ipotesi T(f(x,y)) = g(x,y) Risulta T{f(x-x 0, y- y 0 )} = g(x-x 0, y-y 0 )

22 g( m, n) = h( m, n) f ( m, n) = = Come specificare T Se l operatore T è lineare e invariante per traslazione (LSI), caratterizzato dalla risposta impulsiva h(m, n), la risposta g(m,n) può essere ottenuta dal prodotto di convoluzione: l= k= l= k= h( m, n ) =0 for (m,n) h( m k, n l) f ( k, l) f ( m k, n l) h( k, l) In pratica h( n, m ) è di estensione finita: La maschera h(m,n) è invertita rispetto agli assi x,y Dove è il più piccolo insieme (detto intorno) in cui h èdiversada0. è anche detto il supporto di h g( m, n) = h( m, n) f ( m, n) = a b l= ak = b Correlazione h( m, n) f ( m + k, m + l) L equazione è detta correlazione della maschera h e della immagine f Quando h(m,n) è simmetrica l operazione di correlazione è uguale a quella di convoluzione

23 Teorema di convoluzione el dominio delle frequenze il prodotto di convoluzione può essere rappresentato come: G(u, v ) = H (u, v). F (u, v ) Dove H (u, v) and F (u, v ) sono trasformate di Fourier ottenute dopo operazioni di zero-padding cornice di zeri L operatore. indica la moltiplicazione punto a punto delle 2 matrici Molte operazioni LSI possono essere interpretate nel dominio delle frequenze come operazioni di filtraggio: ad esempio lasciare passare di certe componenti di frequenza e non lasciare passare altre componenti Lowpass filter Filtro che attenua le frequenze, meno quelle più basse Utile per un processo di smoothing cioè attenuare il rumore o sfocare i dettagli di una immagine, in modo da conservare le caratteristiche più evidenti

24 Highpass filter Filtro che attenua le frequenze, meno quelle più alte Utile per un processo di enhancement cioè evidenziare i dettagli di una immagine ed il contrasto rimuovere lo sfocamento Bandpass filter Filtro che attenua le frequenze e fa passare le frequenze in una paricolare intervallo di frequenze (banda di frequenze)

25 Operatori locali w(i,j) è una maschera 3 x 3 h = w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 Finestra immagine di dimensione 3 x 3 f(x-1,y-1) f(x,y-1) f(x+1,y-1) f(x-1,y) f(x,y) f(x+1,y) w 7 w 8 w 9 f(x-1,y+1) f(x,y+1) f(x+1,y+1) x (x,y) y Il valore del pixel centrale è calcolato come somma pesata di f secondo i coefficienti w i : g( x, y) = w + w w 7 f ( x 1, y 1) + w f ( x, y 1) + w f ( x + 1, y 1) + w 5 2 f ( x 1, y) + w f ( x, y) + w 8 6 f ( x, y + 1) f ( x + 1, y) + w 3 9 f ( x 1, y + 1) f ( x + 1, y + 1) Come si calcola il prodotto di convoluzione L output g(m, n) è calcolato facendo scorrere la maschera su ogni pixel della immagine f(m, n) Attenzione particolare richiedono i pixel del bordo della immagine f(m, n) 1. La maschera è troncata al bordo (free boundary) e l immagine è estesa con degli zeri. In una dimensione si ha: ~ f ( ) f ( x) = x 0 0 x < ( L / 2) + 1 x < 0 x < + ( L / 2) 1

26 Prodotto di convoluzione 2. L immagine è estesa aggiungendo ai bordi righe e colonne extra cornice. L estensione è fatta ripetendo la prima/ultima riga/colonna oppure mediante valori costanti (fixed boundary). In una dimensione si ha: f (0) ~ f ( x) = f ( x) f ( 1) ( L / 2) + 1 x < 0 0 x < x < + ( L / 2) 1 Prodotto di convoluzione 3. L immagine è estesa in modo periodico (periodic boundary). In una dimensione si ha: ~ f (( x + ) mod ) f ( x) = f ( x) f ( x mod ) ( L / 2) + 1 x < 0 0 x < x < + ( L / 2) 1

27 Prodotto di convoluzione In ogni caso l output finale g(m, n) è ristretto al supporto dell immagine originale f(m, n) Low-pass, Band-pass, High-pass filters low-pass: band-pass:

28 2D convolution theorem example f(x,y) F(s x,s y ) * h(x,y) H(s x,s y ) g(x,y) G(s x,s y ) Slide by Steve Seitz