La trasformata di Fourier multidimensionale

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1 1 La trasformata di Fourier multidimensionale La trasformata di Fourier bidimensionale F(ω x,ω y ) = F 2 {f(x,y)} di una funzione bidimensionale reale f(x,y) è una funzione complessa che esprime l ampiezza e la fase delle componenti sinusoidali spaziali (ω x,ω y ). x y x y 2.1) F( ω, ω ) = f( x, y) exp[ j ( ω x+ ω y)] dx dy Si consideri dapprima una f(x,y)=f(x) invariante lungo la nuova dimensione y. E ovvio da quanto visto per la trasformata monodimensionale che una scomposizione possibile è costituita da funzioni cos(ω x x) e sin(ω x x) più una componente costante. Si tratta di funzioni a tettoia come quella mostrata in figura

2 2 La stessa funzione a tettoia è mostrata vista dall alto: Si noti che la integrazione lungo la direzione y nel calcolo della trasformata bidimensionale non ha in questo caso nessun effetto integrando valori costanti al variare di y e che coincidono con il profilo sinusoidale della tettoia incontrato spostandosi in direzione x. Lo studio della trasformata di Fourier monodimensionale ci assicura che combinando cos(ω x x) e sin(ω x x) con varie pulsazioni possiamo ottenere qualsiasi profilo in direzione x. E anche già stato detto che una scomposizione in esponenziali immaginarie exp(jω x x) è del tutto equivalente e rappresenta nei suoi coefficienti le sinusoidi in modulo e fase.

3 3 Passando ad una f(x,y) generale appare evidente che in questo modo si riescono a rappresentare le ondulazioni che si incontrano muovendosi lungo la direzione x non quelle lungo le altre direzioni. Consideriamo allora una tettoia cos(ω θ x θ ) che abbia un asse x inclinato di un angolo θ rispetto all asse x. Nella figura θ = 30. x θ θ=30 x Le formule di rotazione degli assi cartesiani forniscono 2.2) x θ = cos(θ) x + sin(θ) y nel sistema di coordinate (x,y) sostituendo la (2.2) si ha cos(ω θ x θ ) = cos(ω θ [cos(θ) x + sin(θ) y]) = cos(ω x x + ω y y) ω x = cos(θ) ω θ ω y = sin(θ) ω θ Tettoie di inclinazione θ diversa sono fra loro ortogonali infatti sfasandosi nel piano (x,y) interferiscono ora positivamente ora negativamente con media nulla, come mostrato in figura:

4 4 Vale così il principio di scomposizione in somma di componenenti ortogonali visto per la trasformata mono-dimensionale. Il passaggio ad esponenziali immaginarie si ottiene applicando banalmente le formule di Eulero su cos(ω θ x θ ) e sin(ω θ x θ ) e quindi le formule di rotazione degli assi; si ottengono così sempre le coordinate del piano (ω x, ω y ). La posizione angolare di (ω x, ω y ) è pari a θ mentre quella radiale rappresenta ω θ. F(ω x,ω y ) esprime in modulo e fase rispettivamente la ampiezza e la fase di ogni sinusoide spaziale. L antitrasformata è: ) f( xy, ) = F( ωx, ωy) exp[ j( ωxx+ ωyy)] dωx dω y π

5 θ = 0 ; f θ = 2π ω θ =

6 θ = 90 ; f θ = 2π ω θ =

7 7 θ = 30 ; f θ = 2π ω θ = 0.3. ω y ω θ ω x Esempi di Trasformata bidimensionale: Gonzales ewoods Fig.3.6 Young et al Tab.51.4

8 8 Data la sua struttura la trasformata di Fourier bidimensionale gode di tutte le proprietà della trasformata mono-dimensionale più alcune altre legate alla spazialità bidimensionale. Linearità La linearità fa corrispondere a combinazioni lineari nel dominio (x,y) combinazioni lineari nel dominio (ω x, ω y ). Ad esempio questa è la trasformata della cosinusoide con frequenza 0.2 lungo l asse x e di quella con frequenza 0.3 ed inclinazione 30 : ω y ω θ ω x Si noti la sovrapposizione delle componenti armoniche.

9 9 Trasformazione separabile rispetto agli assi ortogonali. Considerando la (2.1) si vede che si può integrare dapprima in dx portando fuori dal segno di integrale il contributo moltiplicativo exp(-jω x x) che è costante ad x fissato. L integrale interno è così espresso: 2.4) F( x, ω ) = fxy (, ) exp( jω y) dy e quindi y y x y y x 2.5) F( ω, ω ) = F( x, ω ) exp( jω x) dx La (2.4) esprime la trasformazione eseguita sulle sezioni ad x fissato parallele cioè ad y. La (2.5) considera ad ω y fissato le oscillazioni in queste trasformate che si osservano spostandosi in direzione x. Questa proprietà è molto comoda per calcolare la trasformata bidimensionale attraverso due serie di trasformate mono-dimensionali. E di fatto utilizzata nel campo discreto per sfruttare l algoritmo di Fast Fourier Transform (FFT) in campo multi-dimensionale. L ordine di trasformazione può essere invertito ottenendo come passaggio intermedio una F(ω x,y). Questo risultato verrà utilizzato per considerare una importante proprietà della proiezione integrata di f(x,y) su un asse x θ o profilo, g θ (x θ ), considerato in una ricostruzione tomografica. La trasformata di questo fornisce infatti la F(ω x, ω y ) valutata lungo un asse di pari inclinazione.

10 10 Simmetria complessa coniugata 2.6) F 2 {f * (x, y)} = F * (-ω x, -ω y ) Questa proprietà si riferisce al fatto che la f(x,y) può in generale avere valori complessi: la trasformata della sua coniugata f * (x,y) è la funzione simmetrica e coniugata rispetto all origine della trasformata di f(x,y). Per f(x,y) reale, come nel caso di una immagine, la (2.6) esprime la simmetria coniugata della trasformata 2.7) F(-ω x, -ω y ) = F * (ω x, ω y ) (per f(x,y) reale) come già mostrato nel caso mono-dimensionale partendo da somme di coseni e seni. Variazioni di scala 2.8) F 2 {f(a x, b y)} = (1/ab) F(ω x /a, ω y /b) Dilatare le scale significa avere frequenze più basse. Traslazione 2.9) F 2 {f(x-a, y-b)} = F(ω x, ω y ) exp[j(aω x + bω y )] Una traslazione non cambia le ampiezze ma aggiunge un contributo in fase proporzionale alla traslazione ed alla pulsazione. Infatti, una data traslazione va rapportata al periodo e quindi lo sfasamento è proporzionale alla frequenza.

11 11 Convoluzione 2.10) F 2 {f(x, y)*h(x, y)} = F(ω x, ω y ) H(ω x, ω y ) L operazione di convoluzione nel campo (x,y) equivale ad una moltiplicazione frequenza per frequenza nel campo delle trasformate. Questa operazione è complessa in quanto coinvolge l integrazione mostrata qui sotto: 2.11) f( xy, )* hxy (, ) = fxy (, ) h( ξ x, η y) d ξ d η Questa può essere interpretata in queste tre fasi per ogni (x,y): 1) trasla una maschera m simmetrica rispetto ad h, m(ξ,η)=h(-ξ,-η) intorno ad (x,y); 2) moltiplica punto a punto f ed m traslata; 3) somma. Viceversa: 2.12) F 2 {f(x, y) h(x, y)} = (1/4π 2 ) [F(ω x, ω y )*H(ω x, ω y )] Teorema di Parseval 2.13) (,) fxy 2 1 dxdy = 2 F( ωx, ωy) 2 dωx dω 4π L energia di f(x,y) può essere ottenuta integrando il suo valore quadratico oppure sommando l energia di tutte le componenti armoniche. Per questo motivo F(ω x,ω y ) 2 è detto spettro di energia, mostrando infatti la densità spettrale con cui l energia si distribuisce. y

12 12 Spettro di potenza La definizione di trasformata richiede l integrabilità assoluta della f(x,y); cosa non vera per funzioni stocastiche, r(x,y), quali il rumore sovrapposto ad una immagine. Per questi si considera la funzione di auto-correlazione che valuta il valore atteso del prodotto fra r(x,y) e un punto traslato di una distanza (a,b): 2.14) c(a,b) = E[r(x, y),r(x+a, y+b) Questa è trasformabile fornendo così lo spettro di potenza: 2.15) S(ω x,ω y ) = F 2 {c(a,b)} Vediamo come lo spettro di potenza si lega al contenuto armonico di quanto osservato del processo su un campo limitato. Per ergodicità si può calcolare c(a,b) come media spaziale su un campo limitato A al tendere di questo all infinito: 1 cab (,) = lim ra(,) x y ra( a+ x, b+ x) dx dy= A A lim A 1 [ A r A( x, y )* r A( x, y )] dove r A (x,y) è la r(x,y) limitata al campo A e l integrale (effetti di bordo a parte) si limita a considerare questa regione. Per ottenere una stima di c(a,b) l operazione di limite viene troncata ad un valore di A finito (l immagine a disposizione). Considerando la trasformata di Fourier ed della convoluzione, il teorema di convoluzione nel campo spaziale e la proprietà di simmetria coniugata otteniamo (approssimando per A finito): 2.16) S(ω x,ω y ) = (1/A) R(ω x,ω y ) R*(ω x,ω y ) =(1/A) R(ω x,ω y ) 2

13 13 dove R(ω x,ω y ) è la trasformata di Fourier di r(x,y) sul campo considerato. Quindi a meno di una costante e della necessaria approssimazione la trasformata di Fourier della funzione di auto-correlazione, vale a dire lo spettro di potenza del processo stocastico bi-dimensionale, è dato dallo spettro di energia calcolato su di un campo limitato. Componenti armoniche ed impulsi E importante ricordare che ad una componente armonica in (x,y) corrisponde una coppia di impulsi simmetrici e coniugati in (ω x,ω y ). Viceversa ad una componente periodica in (ω x,ω y ) corrispondono due impulsi opportunamente traslati in (x,y). Moltiplicare una funzione per una componente armonica (modulandola in ampiezza) significa convolvere lo spettro per i relativi impulsi nel dominio (ω x,ω y ). Quindi lo spettro viene replicato e traslato intorno a detti impulsi. Analogo il discorso invertendo i due domini. Da questo trucco seguono numerose proprietà applicate in varie occasioni: 1) modulazione 2) separabilità moltiplicativa: F 2 {f x (x) f y (y)}= F x (ω x ) F y (ω y ) 3) campionamento come vedremo trattando di immagini digitali.