Corso di SEGNALI a.a Corso di SEGNALI. anno accademico Trasformata di Fourier: esercizi d esame

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1 Corso di SEGNLI a.a Corso di SEGNLI anno accademico rasormata di Fourier: esercizi d esame. Successivamente si calcoli il valore di () per 0, ±/ e ±/. Per calcolare la trasormata di questo segnale si può operare almeno in due modi diversi. Il metodo più diretto prevede di applicare la deinizione di trasormata attraverso l applicazione dell integrale. Ciò presuppone però di scrivere il segnale di igura + B B come: x() t t rect () t F. Benedetto Ottobre 008 (Rev. Marzo 009)

2 Corso di SEGNLI a.a L integrale della trasormata è un classico integrale risolvibile per parti con estremi / e /, ottenendo quindi il risultato inale con un procedimento poco complesso ma decisamente laborioso, ovvero : + B B B jπ jπ ( ) sin c( ) + cos( π ) sin c( ) Il secondo metodo prevede invece l utilizzo delle proprietà della trasormata di Fourier, in particolare l applicazione del metodo della derivata. Inatti, derivando il segnale x(t) si ottiene il segnale d(t) rappresentato in igura: L integrale da sviluppare è rappresentato da: + B B ( ) sin c( ). t e jπt dt enendo conto della simmetria dell intervallo e risolvendo con una integrazione per parti, con pochi calcoli si arriva a scrivere la soluzione inale. F. Benedetto Ottobre 008 (Rev. Marzo 009)

3 Corso di SEGNLI a.a NO: per calcolare la derivata di un segnale x(t) lineare a tratti, lo si percorre da sinistra a destra ed in corrispondenza di una discontinuità si trova una delta di Dirac con area pari all ampiezza della discontinuità. L ampiezza dell impulso sarà positiva se la unzione è crescente, negativa in caso contrario. In corrispondenza di un tratto lineare si avrà una rect di altezza pari alla pendenza (coeiciente angolare) del tratto. La sua trasormata D() è ora acilmente ottenibile come trasormata di unzioni notevoli. Inine, lo spettro () è calcolato come () (jπ) - D(): ( ) e jπ Be jπ jπ ( B) sin c( ) jπ + B sin c( ) + B cos jπ B jπ ( π ) sin c( ) + B ( 0) ± m ( B) jπ 3 ± ± ( B) j4π Il risultato inale è stato ottenuto con delle semplici manipolazioni algebriche (ovvero somme e dierenze di medesime quantità) per evidenziare ancora meglio l equivalenza dei due metodi risolutivi: Si noti come la () possa scriversi in ininiti modi diversi, (come combinazione lineare di dierenti unzioni) a seconda del procedimento scelto per la risoluzione dell esercizio, ma il valore numerico dello spettro risulta essere lo stesso per ogni. F. Benedetto Ottobre 008 (Rev. Marzo 009)

4 Corso di SEGNLI a.a Successivamente si calcoli il valore di () per 0, ±/ e ±/. 4 Per calcolare la trasormata di questo segnale si può operare almeno in due modi diversi. Ciò presuppone però di scrivere il segnale di igura come: x t () t rect () t L integrale della trasormata è un classico integrale risolvibile per parti con estremi / e /, ottenendo quindi il risultato inale con un procedimento poco complesso ma decisamente laborioso, ovvero: ( ) jπ e jπ sin c jπ ( ) F. Benedetto Ottobre 008 (Rev. Marzo 009)

5 Corso di SEGNLI a.a Il secondo metodo prevede invece l utilizzo delle proprietà della trasormata di Fourier, in particolare l applicazione del metodo della derivata. Inatti, derivando il segnale x(t) si ottiene il segnale d(t) rappresentato in igura: La sua trasormata D() è ora acilmente ottenibile come trasormata di unzioni 5 notevoli. Inine, lo spettro () è calcolato come (jπ) - D(): ( ) jπ e jπ sin c jπ ( ) ( 0) ± jπ ± j4π NO: per calcolare (0) si ricordi che questo valore eguaglia l area sottesa al segnale x(t). F. Benedetto Ottobre 008 (Rev. Marzo 009)

6 Corso di SEGNLI a.a () () t t rect t x π cos Successivamente si calcoli il valore di () per 0, ±/ e ±/. Innanzitutto graichiamo il segnale x(t), per semplicità ponendo grande pari ad, e immediatamente ci accorgiamo che si tratta di un segnale pari! Nei conti della trasormata utilizzeremo poi il valore parametrico. 6 Senza applicare la deinizione di trasormata tramite integrale ma ricordando il teorema della modulazione, otteniamo immediatamente: ( ) ( ) c c c sin sin sin δ δ ( ) π 4 0 ± π 3 4 ± π 5 4 F. Benedetto Ottobre 008 (Rev. Marzo 009)

7 Corso di SEGNLI a.a Successivamente si calcoli il valore di () per 0, ±/ e ±/, con θ3. 7 Senza applicare la deinizione di trasormata tramite integrale ma ricordando il teorema della traslazione nel tempo, otteniamo immediatamente: ( ) sin c ( j) sin( πθ ) j sin c sin( πθ ) ( 0 ) 0 ± 0 4 j π 4 + j π F. Benedetto Ottobre 008 (Rev. Marzo 009)

8 Corso di SEGNLI a.a Il segnale x(t) è un treno di N rettangoli di ampiezza, base e periodo τ, ovvero: x N n 0 () t rect ( t nτ ) La sua trasormata vale, per la proprietà di linearità: N ( ) ( ) sin c n 0 e jπnτ F. Benedetto Ottobre 008 (Rev. Marzo 009)