M557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

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1 Pag. / Sessione ordinaria 6 Seconda prova scritta M557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Tema di: MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Un ilo metallico di lunghezza viene utilizzato per delimitare il perimetro di un aiuola rettangolare. a) Quale è l aiuola di area massima che è possibile delimitare? Si pensa di tagliare il ilo in due parti e di utilizzarle per delimitare un aiuola quadrata e un altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il ilo ainché: b) la somma delle due aree sia minima? c) la somma delle due aree sia massima? Una aiuola, una volta realizzata, ha la orma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del % ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno? PROBLEMA Si considerino le unzioni e g determinate da ( ) log e g ( ) a, essendo a un parametro reale e il logaritmo in base e.. Si discuta, al variare di a, l equazione log a e si dica, in particolare, per quale valore di a i graici di e g sono tra loro tangenti.. Si calcoli, posto a, l area della parte di piano delimitata dai graici delle unzioni e g e dalle rette e.. Si studi la unzione h( ) log a scegliendo per a un valore numerico maggiore di e e se ne disegni il graico.

2 Pag. / Sessione ordinaria 6 Seconda prova scritta M557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Tema di: MATEMATICA QUESTIONARIO. Si narra che l inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, ino alla 6 a casella. Assumendo che chicchi pesino circa 8g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall inventore.. I poliedri regolari noti anche come solidi platonici sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l ottaedro, il dodecaedro e l icosaedro. Sai dimostrarlo?. Un oglio di carta deve contenere: un area di stampa di 5 cm, margini superiore e ineriore di cm e margini laterali di cm. Quali sono le dimensioni del oglio di carta di area minima che si può utilizzare?. La capacità di un serbatoio è pari a quella del cubo inscritto in una sera di un metro di diametro. Quanti sono, approssimativamente, i litri di liquido che può contenere il serbatoio? n 5. Si dimostri che la somma dei coeicienti dello sviluppo di ( a + b) è uguale a n per ogni n N. 6. L equazione risolvente un dato problema è: k cos 5k + dove k è un parametro reale e ha le seguenti limitazioni: 5 < < 5. Si discuta per quali valori di k le radici dell equazione siano soluzioni del problema. soddisa le condizioni del teorema di Lagrange nell intervallo 7. La unzione ( ) [,]? Se si, trova il punto ξ che compare nella ormula ( b) ( a) ( ξ ) b a 8. La unzione ( ) tg assume valori di segno opposto negli estremi dell intervallo π I, π, eppure non esiste alcun I tale che ( ). È così? Perché? si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, e ( ). Puoi determinare ( )? π π asen + bcos ha un estremo relativo per ed è. 9. Della unzione ( ) ancora, che: ( ) ( ). La unzione ( ) Si trovino a e b e si dica quale è il periodo di ( ). Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema.

3 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 SOLUZIONE DI DE ROSA NICOLA a) L area è: A( ) *, Calcoliamo la derivata prima e seconda : A A A I II ( ) ( ) ma > < < è l'ascissa A ma 6 del massimo, per cui ( ) A cioè l'area massima la si ha in corrispondenza di un quadrato

4 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 Ora suddividiamo il perimetro in due: è il perimetro dell'aiuola circolare e pq quello del quadrato p circ Con queste convenzioni si ha che il lato del quadrato è per cui l'area è A ( ) π mentre il raggio del cerchio sarà per cui l'area sarà A ( ) per cui l area totale sarà b) A tot π Ora si calcolano le derivate della unzione ( ) c π ( ) +, A tot : π π q A A I tot II tot ( ) 8 π ( ) + > + + π 8 π ( π + ) π π > > 8π π + La situazione è sotto rappresentata:

5 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 Dal graico soprastante si evince che l area minima la si ha per quale si ricava A tot,min π π A π + π + π + π π + + ( π + ) ( π + ) π in corrispondenza della π + π ( π + ) ( π + ) ( π + ) c) Vediamo l area massima: in tal caso il massimo lo si raggiunge agli estremi dell intervallo cioè per,. Ora Per cui l area massima la si ha per A A tot tot ( ), 6 π 6 ( ) > A ( ) ed è A tot, ma d) Il volume di un parallelepipedo è dato dal prodotto delle tre dimensioni, cioè π tot V parallelep ipedo l l l Se si aumentano le dimensioni del % si ha: V. V ' parallelepipedo.l *.l *.l.* lll parallelepipedo Per cui l incremento percentuale del volume è del.%.

6 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 SOLUZIONE DI De Rosa Nicola ) Per essere tangenti L' equazione di delle due unzioni in ( ) Ora bisogna imporre l'uguaglianza tra i due coeicienti m ' ( ) g ( ) a a g( ) Inoltre poichè (, y ( ) g( ) ln( ) Ora acciamo qualche considerazione : se a > se a < Se a < la ' e se < a < e Inatti se a > e dalla unzione tale tangente è: y-y > la parabola g ( ). 5 visto che il rispettivamente per a,, e e ( ) diventa un impulso centrato in le due unzioni devono avere la stessa ) appartiene ad entrambe deve aversi che le intersezioni esiste m corrispondente si e a non esistono una sola intersezione e le intersezioni esistono e sono due tangente in (, y ) valore di a è positivo, ed al limite per a angolari ricavati tramite la derivata stringe sempre di più, si allontana rapidamente parabola cambia concavità, sarà ora rivolta verso il basso e l'intersezione corrispondente sarà Come esempio presentiamo tre casi ed i corrispondenti graici dati dalla sovrapposizione dei graici di + una sola () e g()

7 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 HLlnHL ghl HLlnHL ghl HLlnHL ghl

8 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 ) Consideriamo la igura seguente: Prima di calcolare l area di interesse bisogna richiamare il calcolo dell integrazione per parti applicato al nostro caso: d ( ) ( ) ( ln( ) ) ln d ln * d ln( ) d d * L' area cercata è : ln ( ) d ln( ) + K ( ln( ) ) + K [ ln( ) + ] d ( ln( ) ) + ( ln ) 8 + ) h ln a ( ) ( ) Dominio : Positività : h lim h Non ci lim h ( ) (, + ) Non ci sono intersezioni con gli assi, nè Asintoti verticali : + + ( ) < (, + ) dal momento che ln( ) sono asintoti orizzontali. Inatti nè y ln + a > e sta sempre al di sotto della parabola dal momento che ( ) lim ln ln lim ln( ) sruttando de l'hopital ed essendo a > > + e a + e a e

9 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 Non ci sono asintoti obliqui. Inatti ( ) ( ) ( ) h lim + Crescenza e decrescenza : h h ' ' a a >, a '' h ( ) a, h'' a < a Inoltre poichè per ipotesi a > >, allora h e Il graico è questo: hhllnhl a '',ln a.5 è un massimo a ( ) < D (, + ) non ci sono lessi 5 Se scegliamo ad esempio a/, allora il massimo è (,-.5). Al crescere del valore a, l ascissa del massimo si sposta e tende a diventare sempre più piccola

10 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 SOLUZIONI DI De Rosa Nicola Il numero N dei chicchi di grano è: N L + Siamo quindi in presenza di una serie geometrica di ragione. Ricordando che una serie geometrica di ragione q ha somma Quindi il peso degli N 6 è N 6 n n n n q M M + n q n q, in tal caso si ha P ( ) ( ) 6 ( ) *8 grammi *8* tonnellate * 8 tonnellate 9 Un poliedro si dice regolare se le sue acce sono poligoni regolari congruenti e i suoi angoloidi sono congruenti tra loro. La somma degli angoli di una accia dell angoloide è minore di un angolo giro. e le acce sono triangoli equilateri si possono avere tre tipi di poliedri: inatti *6 8, *6, 5*6 ; se le acce sono quadrati si può avere un solo poliedro perché *9 7 ; se sono pentagoni si può avere un solo poliedro perché *8. Si dimostra che tali poliedri esistono.

11 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 L area del oglio, considerando la igura soprastante è: S (, y) ( y + 8)( + ) y + y + 8 +,, y Per ipotesi si sa che y 5 5 y e sostituendo in ( y) S, si ha: Ora se ne calcola la derivata ottenendo: 5 S, y + y S S I II 8 ( ) ( 5) + 8 ( ) Ora per studiare il segno della derivata prima, poiché > R { } attore ( 5), per cui I 8 ( ) ( 5) S > ( 5) S I ( ) Inoltre S > > 5. II ( 5) 5 6 in corrispondenza della quale si ha > < 5 > 5 e poichè deve aversi > 5 garantisce l'area minima 5 y 5, basta studiare il segno del si ha

12 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 Per cui le dimensioni del oglio che garantiscono l area minima sono ( + 8) cm 8cm e ( 5 + ) cm 9cm Un cubo inscritto in una sera ha come diagonale il diametro della sera. Ricordando la relazione tra diagonale e lato di un cubo si ha che il lato è: lato l diagonale m Per cui il volume del cubo è V l m dm Ricordiamo la ormula del binomio di Newton: E ponendo in essa ab si ricava: n k n n k k n k n k ( a + b) a b n k n n ( + ) n N Riscriviamo l equazione risolvente in questo modo: cos ( ) 5k k Ora, dire 5 <<5 è equivalente a dire <<9, e poiché il coseno è una unzione decrescente nell intervallo <<9, allora vale la seguente:

13 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 5k 5k cos( < cos( ) < < k k <<9 9 ) < cos( ) Quindi va risolto il sistema seguente: 5k > k 5k < k 5k > k k( ) < k Le due disequazioni si risolvono ognuna col classico metodo del also sistema e le soluzioni sono: 5k > k k( ) < k k < < k < k > 5 ( ) E prendendo le soluzioni comuni, il sistema è soddisatto per igura sotto 5 < k < come evidenzia la ( ) La unzione ( ) è una unzione continua e derivabile su tutto R, che presenta un massimo in (,), 6 un minimo in, ed un lesso in,.quindi 7 7 soddisa le ipotesi del teorema di Lagrange.

14 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno Ora possiamo applicare il teorema: Per cui l equazione della traccia comporta: ( ξ ) ( ) ξ ξ ξ I (), (), ξ ξ ξ ξ + ( ξ )( ξ ) ξ, ξ Ed il valore accettabile, che ricade nell intervallo (,) è ξ. Rappresentiamo innanzitutto la unzione ytg(): π π Eettivamente, come si evince dal graico, nell intervallo I, la unzione non si annulla mai, eppure la unzione assume agli estremi valori unitari e discordi. Quindi il teorema degli zeri prevederebbe un valore interno all intervallo in cui la unzione si annullerebbe. In questo caso però

15 Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6 π π il suddetto teorema non è applicabile dal momento che la unzione nell intervallo I, non π π π è continua, avendo una discontinuità di terza specie in I,. La unzione può essere determinata, ed è tra l altro anche unica. Inatti il problema proposto non è altro che il classico problema di Cauchy '( ) ( ) () che sotto alcune ipotesi, si dimostra ornire un unica soluzione. Per calcolarla basta ricordare le equazioni dierenziali a variabili separabili: inatti l equazione dierenziale '( ) ( ), supponendo ( ) si può riscrivere come: Ed integrando ambo i membri in d si ricava: ' ( ) ( ) '( ) ( ) d d cioè ln ( ) + k Quindi il problema iniziale diventa: Dalla prima, per, si ricava ( ) k ( ) ln + k () ln e ricordando che la condizione iniziale impone ( ), allora si ricava k ln, per cui inine si ricava: ln ( ) ( ) e ( ) e ± In cui va scartata la soluzione ( ) e perché non soddisa la condizione iniziale. In conclusione la soluzione esiste, è unica ed è l autounzione ( ) e

16 ( ) ( ) ( ) b a sin cos ' per cui imponendo le due condizioni bisogna risolvere il sistema seguente: + + sin cos cos sin b a b a b a b a b a b a b a π π π π Da cui si ricava : ( ) ( ) ( ) π periodo è T cui il cos sin + Nicola De Rosa Liceo Scientiico Ordinamento anno 6