Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione straordinaria 2010, matematicamente.it

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1 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it PROBLEMA In un triangolo ABC, l angolo Bˆ è doppio dell angolo Ĉ e inoltre è BC a.. Dette BH e CL, rispettivamente, le altezze del triangolo uscenti dai vertici B e C, si consideri il rapporto: BH CL a espresso in unzione di ABˆ C.. Si studi la unzione () così ottenuta e si tracci il suo graico nell intervallo, mettendo in evidenza poi la parte di graico compatibile con i dati del problema.. Si dimostri che è simmetrica rispetto alla retta.. Si calcoli il valore medio della unzione () nell intervallo. RISOLUZIONE Punto A Consideriamo la igura a lato. Posto ˆ, ˆ ABC ACB, si ha: BH a sin CL a sin B L H C

2 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it cos BH CL cos sin sin cos a cos cos cos cos cos cos Punto Studiamo la unzione Dominio:, ; Intersezione asse ascisse: cos cos in, Tenendo conto che cos, cos Intersezione asse ordinate: cos cos Simmetrie: la unzione è periodica di periodo T e pari in quanto cos cos cos cos Positività: cos cos, ; Asintoti verticali: non ve ne sono in quanto la unzione è periodica e limitata; Asintoti orizzontali: non ve ne sono in quanto la unzione è periodica e limitata; Asintoti obliqui: non ve ne sono in quanto la unzione è periodica e limitata;

3 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Crescenza e decrescenza: la derivata prima è sin ' sin cos sin cos ; studiamo il segno dei singoli attori e poi valutiamo il segno della derivata prima: sin cos arccos arccos Di conseguenza: ' arccos arccos Nel quadro dei segni arccos, arccos sin cos cos Dal quadro soprastante deduciamo che la unzione presenta un minimo relativo in m, cos e due massimi relativi in 5 5 M,,M, ; 6 6 Concavità e convessità: la derivata seconda è cos cos 8cos cos '' cos cos per cui

4 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it '' cos cos 8 8 arccos 8 arccos arccos 8 8 arccos 8 Quindi la unzione presenta concavità verso l alto in, arccos 8 arccos, arccos 8 8 arccos, 8 e presenta quattro lessi a tangente obliqua in arccos 5,6, arccos 7,5, 8 8 arccos,5, arccos 6, 8 8 Il graico è di seguito presentato nell intervallo, :

5 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Se consideriamo i limiti geometrici, dobbiamo imporre che l angolo al vertice BAC ˆ deve essere compreso tra e, cioè. Di seguito il graico per : 5

6 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Punto Una unzione è simmetrica rispetto alla retta k Nel caso in esame cos cos cos cos per cui è simmetrica rispetto alla retta. Punto Il valor medio di una unzione Nel caso in esame V M cos cos cos in b se k a, è VM d. b a cos cos d cos sin sin d b a d 6

7 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it PROBLEMA Sia data la unzione: ( ). Si veriichi che la curva che la rappresenta è simmetrica rispetto all origine.. Si studi tale unzione e se ne tracci il graico, su un piano rierito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oy.. Si veriichi che F ( ) log è una unzione primitiva di ().. Si calcoli l errore che si commette approssimando l area racchiusa dalla curva γ, dall asse e dalle rette e con l area del,, B,, C, D,. trapezio ABCD, essendo A e Punto Per dimostrare la simmetria rispetto all origine bisogna provare che. In eetti Punto 7 Studiamo la unzione,,, ; Dominio: Intersezione asse ascisse: Intersezione asse ordinate: Simmetrie: la unzione è dispari come dimostrato al Punto.

8 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it 8 Positività: Asintoti verticali: lim, lim, lim, lim per cui le rette di equazione sono asintoti verticali; Asintoti orizzontali: non esistono in quanto lim ; Asintoti obliqui: se esistono hanno equazione q m y con m q m lim, lim ; nel caso in esame lim lim, lim lim q m per cui l asintoto obliquo ha equazione y ; Crescenza e decrescenza: la derivata prima è ' ; studiamo il segno dei singoli attori e poi valutiamo il segno della derivata prima: R R Di conseguenza:,, ' per cui c è un massimo in, M ed un minimo in, m ; Concavità e convessità: la derivata seconda è 6 '' per

9 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it cui, la unzione presenta concavità verso l alto in,, verso il basso in,, ; la unzione presenta un lesso a tangente orizzontale in F,. Di seguito il graico: e Punto Le primitive della unzione sono d d d ln c e una di esse la ricaviamo per c ed è F ln 9

10 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Punto L area della regione racchiusa dalla curva γ, dall asse e dalle rette = e = è pari a: 8 ln 5 ln ln 8 9 ln d S L area del trapezio rettangolo è, invece, pari a h B B S M m T. L errore commesso rispetto al valore non approssimato è,% 8 ln 5 8 ln ln 5 8 ln 5 8 5

11 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it QUESTIONARIO Quesito Due osservatori si trovano ai lati opposti di un grattacielo, a livello del suolo. La cima dell ediicio dista 6 metri dal primo osservatore, che la vede con un angolo di elevazione di 5. Se il secondo individuo si trova a 65 metri dalla cima del grattacielo, quale è la distanza tra i due osservatori ( non tenendo conto dell ostacolo grattacielo)? Si consideri la igura a lato che è una rappresentazione geometrica del problema. Bisogna calcolare la distanza AB. Posto AB ed applicando il teorema di Carnot al triangolo AOB si ha AB AO AB AO cos OÂB OB ; sostituendo i valori l equazione diventa 6 6cos ,9 m ,7 m

12 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Poiché i due osservatori si trovano ai lati opposti del grattacielo, la soluzione accettabile è AB 6,9 m. Quesito Si calcoli il limite della unzione ctg ( tg) quando tende a. Posto tan, se allora t, per cui il limite sarà: t lim t cot an tan lim e Quesito t t In quanti modi persone possono disporsi su dieci sedili allineati? E attorno ad un tavolo circolare? È un problema classico del calcolo combinatorio. Nei tanti modi in cui le persone possono sedersi conta l'ordine, quindi stiamo parlando di disposizioni. Poiché devo are gruppi ordinati di persone, disponendo proprio persone stiamo parlando di permutazioni. La soluzione è data da D! , Consideriamo ora il caso in cui debbano sedersi in cerchio. Per ciascuno dei modi sedersi esistono altri nove modi del tutto equivalenti ottenuti ruotando tutti i posti allo stesso modo. In sostanza i possibili modi possono essere raggruppati a a quindi i possibili modi di sedersi in cerchio sono D,! 9!

13 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Quesito Si dimostri che ogni unzione ( ) a b c d dove a, b, c, d sono valori reali con a, ha un massimo e un minimo relativi oppure non ha estremanti. La cubica di equazione y a b c d ha come derivata prima la parabola y' a b c. L equazione y ' presenta le seguenti soluzioni: b b ac soluzioni reali distinte, se b ac ; a b soluzioni reali coincidenti, se b ac ; a b i b ac sol. complesse coniugate, se. a Nel caso in cui le soluzioni sono reali e distinte, la unzione è: se a crescente in b b ac b b ac,, a a decrescente in b b ac b b ac, a a se a decrescente in b b ac b b ac,, a a crescente in

14 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it b b ac b b ac, a a Nel caso a la cubica presenta quindi un massimo relativo all ascissa e un minimo relativo all ascissa mentre se a un minimo relativo all ascissa b b ac a b b ac, a b b ac a b b ac e un massimo relativo all ascissa. a In questi casi la unzione presenterebbe, oltre ai due estremanti suddetti, b anche un lesso a tangente obliqua all ascissa F. a Se le due soluzioni ossero reali e coincidenti o complesse coniugate, la unzione sarebbe strettamente crescente in tutto il dominio R, per cui non vi sarebbero estremanti in questi casi; in particolare in presenza di soluzioni reali la unzione presenterebbe solo un lesso a tangente b orizzontale all ascissa F mentre in presenza di soluzioni a complesse coniugate la unzione presenterebbe solo un lesso a tangente b obliqua all ascissa F. a

15 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Quesito 5 Si calcoli il volume del solido generato da una rotazione completa attorno all asse del triangolo di vertici A,, B6,, C6,6. Si consideri la igura sottostante: 6 C B A - 6 A - B -6 C Il volume richiesto è dato dalla dierenza tra i volumi dei tronchi di cono AA C C e AA B B: V h R r Rr h R' r' R' r'

16 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Quesito 6 Si dica se esistono numeri reali per i quali vale la seguente uguaglianza: sen cos 6sen cos L equazione può essere così riscritta: sin cos sin cos sin cos sin Poiché R sin cos sincos soluzioni in R in quanto sin Quesito 7 sin sin non ha, l equazione. sin Sia P un punto del piano di coordinate t, t. Al variare di t ( t t t ), P descrive un luogo geometrico del quale si chiede l equazione cartesiana e il graico. t t Poniamo. y t t y t Sommando e sottraendo membro a membro si ha: y t da cui, eliminando il parametro t, ricaviamo y y ; il luogo è, quindi, una iperbole y equilatera con asintoti le bisettrici di equazione y. 6

17 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Quesito 8 Si dimostri che il perimetro di un poligono regolare di n lati, inscritto in una circonerenza di raggio r, quando si a tendere n all ininito, tende alla lunghezza della circonerenza. Si consideri la igura sottostante di un poligono inscritto in una circonerenza di centro O e raggio r. Il perimetro del poligono è pari a n volte la lunghezza del segmento AB, p n n AB se i lati del poligono sono n l angolo A ÔB misura per cui n A ÔH BÔH. La lunghezza del lato n AB è pari al doppio di quella del segmento AH poiché AOB è isoscele per cui applicando il teorema dei triangoli rettangoli si ha AB AH r sin. Il perimetro sarà quindi p n rnsin n n Calcoliamo tale perimetro quando n : sin n lim pn lim rn sin lim r n n n n n sin n r lim n n t n t t sin r lim r t cioè il perimetro, al tendere all ininito del numero dei lati, tende alla lunghezza della circonerenza circoscritta ad esso. O A B H 7

18 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Quesito 9 Si calcoli il valore medio della unzione. Il valor medio di una unzione Nel caso in esame in b ( ) cos nell intervallo a, è VM d. b a VM cos d cos cos sin d sin sin b a 8

19 Nicola De Rosa, Liceo scientiico di ordinamento sessione straordinaria, matematicamente.it Quesito Si dimostri che se le diagonali di un quadrilatero sono perpendicolari, la somma dei quadrati di due lati opposti è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Consideriamo la igura sottostante. Applicando il teorema di Pitagora ai triangoli AED, BEC, AEB e EDC si ha: AD AE ED BC BE EC AB AE EB DC DE EC A Sommando membro a membro le prime due e le ultime due si ha: AD BC AE ED BE AB DC AE ED EB EC cioè la somma dei quadrati di due lati opposti coincide. EC B D E C 9