ESAME DI STATO: Indirizzo Scientifico Sessione ordinaria 2003 SECONDA PROVA SCRITTA Tema di MATEMATICA (AMERICA emisfero boreale)

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1 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale ESAME DI STATO: Indirizzo Scientifico Sessione ordinaria 00 SECONDA PROVA SCRITTA Tema di MATEMATICA (AMERICA emisfero boreale) Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 dei 7 quesiti in cui si articola il questionario: PROBLEMA. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy), sono assegnate le curve di equazione: k 9 y, k dove k è un parametro reale non nullo. a. Determinare a quali valori di k corrispondono curve continue su tutto l asse reale. b. Dimostrare che le curve assegnate hanno tre punti in comune. c. Dimostrare che i tre punti sono allineati. d. Tra le curve assegnate determinare la curva γ avente per asintoto la retta di equazione y e disegnarne l andamento. e. Verificare che i tre punti comuni a tutte le curve assegnate sono flessi per la curva γ. PROBLEMA. Dopo aver riferito il piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy): a. tra le iperboli di equazione yk indicare con j quella che passa per il punto A(,) e chiamare B il suo punto di ascissa ; b. determinare i coefficienti dell equazione ya bc in modo che la parabola p rappresentata da essa sia tangente a j in A e passi per B; c. determinare le coordinate del punto situato sull arco AB della parabola p e avente la massima distanza dalla retta AB; d. indicata con R la regione finita di piano delimitata dall iperbole j, dalla parabola p, dall asse e dalla retta di equazione, calcolare il volume del solido generato dalla regione R quando ruota di un giro completo intorno all asse.

2 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale QUESTIONARIO.. Le ampiezze degli angoli di un triangolo sono α, β, γ. Sapendo che cos α e cos β, calcolare il valore esatto di cosγ, specificando se il triangolo è rettangolo, acutangolo o ottusangolo.. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy), è assegnata la curva di equazione y cos sen. Determinare una traslazione degli assi che trasformi l equazione nella forma Y k sen X.. Un trapezio è circoscrittibile ad un cerchio. Dimostrare che il triangolo avente per vertici il centro del cerchio e gli estremi di uno dei lati obliqui è un triangolo rettangolo. 4. ed y sono due numeri naturali qualsiasi tali che y. Stabilire se il numero 4 y 4 è divisibile per o se non lo è.. Determinare il campo di esistenza della funzione: ( )( )( ) ln. ( )( )( ) 6. La funzione reale di variabile reale f() è derivabile in ogni per cui risulti.0.; inoltre f(.)0 e.0 f '( ). in ogni dell intervallo.0 <.. Dimostrare che risulta: 0. f (.0) Sia f() una funzione continua e non negativa nell intervallo chiuso e limitato a b, rappresentata graficamente in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy). Indicata con R la regione finita di piano delimitata dal grafico della funzione, dall asse e dalle rette a e b, dimostrare che il volume V del solido generato dalla regione R quando ruota di un giro completo intorno all asse è dato dalla formula seguente: b V [ f ( ) ] a d Durata della prova: 6 ore. Non è consentito lasciare l'istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. È consentito l'uso della calcolatrice non programmabile.

3 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale PROBLEMA In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy), sono assegnate le curve di equazione: k 9 y, k dove k è un parametro reale non nullo. Punto a Determinare a quali valori di k corrispondono curve continue su tutto l asse reale. k 9 La funzione y ha come dominio R : ( k) 0, per cui essa è definita su k tutto l asse reale se e solo se k > 0. Infatti se fosse k 0 il dominio sarebbe, k, k k,, R ± k. ( k ) ( ) ( ) cioè { } Punto b Dimostrare che le curve assegnate hanno tre punti in comune. La funzione in esame, supponendo ( k) 0 ( k) y k 9 0 da cui ( y ) y 9 0 condizioni y 0 y y y , può così essere riscritta: k da cui si ricavano le due 4 ( ) 9 0 y 0, ± per cui i punti in comune tra le differenti curve al variare del parametro k sono: A ( 0,0), B (, ), C (, ). Punto c Dimostrare che i tre punti sono allineati. I tre punti in comune sono allineati lungo la retta y. Punto d Tra le curve assegnate determinare la curva γ avente per asintoto la retta di equazione y e disegnarne l andamento.

4 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale L asintoto obliquo della funzione k 9 9 lim k m k lim k, ± ± k k 9 q lim k lim ± k ± k Quindi l asintoto sarà la retta la curva 9 y. 9 Studiamo la funzione γ : y. Dominio: l intero asse reale; y k ( 9 k ) 0 9 k ha equazione y m q con y se e solo se k in corrispondenza del quale si ha 9 Intersezione asse ascisse: y 0 0 y 0 ; Intersezione asse ordinate: 0 y 0 ; 9 y ; Eventuali simmetrie: la funzione è dispari, infatti ( ) y( ) 9 y ; Positività: > 0 ( 0, ) Asintoti verticali: non ce ne sono visto il dominio; Asintoti orizzontali: non ce ne sono visto che c è quello obliquo, e ciò esclude per una funzione razionale fratta la presenza dell asintoto orizzontale; infatti 9 lim ± ; ± Asintoti obliqui: la retta y è asintoto obliquo doppio come già evidenziato; Crescenza e decrescenza: la derivata prima è 4 ( 9)( ) ( 9) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 y ' per cui la funzione è crescente su tutto R; 4

5 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale Flessi: La derivata seconda è : ( )( ) 4( )( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 6 y ' 0 0, ±. ' Si evince subito allora che il punto A(0,0) è un flesso a tangente obliqua, mentre per gli altri due punti di ascisse ± si deve calcolare la derivata terza visto che in esse si annulla anche la derivata prima. Calcolando allora la derivata terza 4 48( 6 ) si ha ''' ( ) 4 y e quindi y '''( ± ) 6 0, per cui i due punti B (, ), C (, ) sono flessi a tangente orizzontale. In conclusione ci sono tre flessi, di cui A(0,0) a tangente obliqua e B (, ), C (, ) a tangente orizzontale. Il grafico è sotto presentato:

6 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale Punto e Verificare che i tre punti comuni a tutte le curve assegnate sono flessi per la curva γ. Come dimostrato nel punto precedente i tre punti A ( 0,0), B (, ), C (, ) sono flessi per γ, A (0,0) con tangente obliqua e B (, ), C (, ) con tangente orizzontale. 6

7 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale PROBLEMA Dopo aver riferito il piano ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy): Punto a Tra le iperboli di equazione yk indicare con j quella che passa per il punto A(,) e chiamare B il suo punto di ascissa ; L iperbole richiesta ha equazione j : y e B (, ). Punto b Determinare i coefficienti dell equazione ya bc in modo che la parabola p rappresentata da essa sia tangente a j in A e passi per B; Il passaggio per B (, ) impone 9a b c ; il passaggio per A (, ) impone a b c ; inoltre la tangenza in A (, ) a j : y comporta che il coefficiente angolare della tangente a j : y in A (, ) è quello della tangente alla parabola d nello stesso punto. In particolare m j mentre d m d d ( a b c) [ a b] a b p. Quindi la terza condizione è a b. Le tre equazioni nelle tre incognite sono 9a b c a b c a b e sfruttando Cramer si ha: a, b, c, per cui la parabola ha equazione y. L iperbole e la parabola sono sotto presentate: 7

8 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale Punto c Determinare le coordinate del punto situato sull arco AB della parabola p e avente la massima distanza dalla retta AB; Il punto P in questione ha coordinate P ( t, t t ) con t come sotto raffigurato: 8

9 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale La retta AB ha equazione y 0 per cui la distanza di P ( t, t t ) da essa sarà: t t t t t d ( t) e poiché t, allora è possibile togliere il valore assoluto, per cui t d ( t) t, cioè la distanza è una parabola con concavità verso il basso e col massimo in corrispondenza del vertice. Cioè la distanza massima la si ha in corrispondenza di V (, ) P e vale d ma. Punto d Indicata con R la regione finita di piano delimitata dall iperbole j, dalla parabola p, dall asse e dalla retta di equazione, calcolare il volume del solido generato dalla regione R quando ruota di un giro completo intorno all asse. La regione R è sotto raffigurata: Il volume per il teorema di Guldino è: 9

10 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale 0 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d d V

11 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale QUESTIONARIO Quesito Le ampiezze degli angoli di un triangolo sono α, β, γ. Sapendo che cos α e cos β, calcolare il valore esatto di cosγ, specificando se il triangolo è rettangolo, acutangolo o ottusangolo. Si consideri la seguente figura: Gli angoli α, β, γ, in quanto angoli di un triangolo devono soddisfare la condizione di appartenere all intervallo [0,80 ] ed anche la condizione per cui la loro somma è 80. La prima condizione equivale ad affermare che i seni degli angoli devono essere assolutamente non negativi, per cui cos α sinα, cos β sin β. Inoltre per la seconda condizione, ( α β ) cosγ cos[ 80 ( α β )] ( α β ) γ 80 cos, quindi cosγ sinα sin β cosα cos β 0 γ 90 e cioè il triangolo è rettangolo. In tal caso le terne pitagoriche rappresentanti i lati del triangolo sono ( a k, b k, c k ), k N /{ 0}. Quesito In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy), è assegnata la curva di equazione y cos sen. Determinare una traslazione degli assi che trasformi l equazione nella forma Y k sen X. Innanzitutto proviamo a scrivere la funzione y cos sin nella forma y Asin ( α ). Ricordando che y Asin( α ) Asin cosα Acos sinα, la

12 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale condizione y sin Asin( α ) cos è verificata se e solo se Acosα. Se Asinα eleviamo al quadrato ambo i membri delle due relazioni e li sommiamo otteniamo l equazione A A ±, mentre se dividiamo la seconda per la prima otteniamo tanα α m arctan, m Z. Abbiamo quindi calcolato i due parametri A ± che mancavano. Delle quattro possibili coppie di valori, α m arctan, m Z Acosα quelle che soddisfano le due condizioni di partenza sono Asinα A ( m ) arctan, A, α m arctan, α cioè ( A positivo, m dispari),( A negativo, m pari). Per entrambe le coppie, la funzione sinusoidale corrispondente A ( α ), y sin vale y sin arctan sin arctan. Quindi la funzione y cos sin la possiamo scrivere nella forma y sin arctan sin arctan. k Se, in conclusione, si effettua la trasformazione X arctan, composizione di un Y y cambiamento di scala negativo e di una traslazione lungo l asse delle ascisse positive, oppure la trasformazione k X arctan, combinazione di un cambiamento di scala Y y

13 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale positivo, di un ribaltamento lungo le ascisse e di una susseguente traslazione lungo le ascisse negative, sarà possibile scrivere y cos sin nella forma Y k sin X. Quesito Un trapezio è circoscrittibile ad un cerchio. Dimostrare che il triangolo avente per vertici il centro del cerchio e gli estremi di uno dei lati obliqui è un triangolo rettangolo. Consideriamo la figura sottostante: Dobbiamo dimostrare che il triangolo AOD è rettangolo in O. I triangoli AOH e AOK sono congruenti aventi il AO lato in comune, OKOH in quanto raggi del cerchio inscritto e AKAH per il teorema sulle tangenti ad un cerchio. Quindi KAO ˆ HAˆ O α. Stesso discorso vale per i triangoli KOD e LOD per cui KDO ˆ HDˆ O β. Ma, le rette AB e DC attraversate dalla trasversale AD, formano angoli alterni interni uguali ed in particolare ADL ˆ 80 DAB ˆ β 80 α β 90 α AOˆ D 90, come volevasi dimostrare. Quesito 4 ed y sono due numeri naturali qualsiasi tali che y. Stabilire se il numero 4 4 y è divisibile per o se non lo è. Il 4 4 y y 4 4 numero 4 4 y può così essere riscritto: y ( y)( y)( y ) ( y )( y y ) ( y ) y( y ) [ ] Ora ( y ) è dispari in quanto somma di un numero pari ) anche [ y ( y ) ] è dispari, in quanto somma di un numero pari ( y ) ( y con un dispari (), ed y (prodotto di

14 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale ( ) y per un pari ( y ) ) e di un dispari (). In conclusione 4 4 y è il prodotto di due numeri dispari, per cui è anch esso un numero dispari e quindi non è divisibile per. Quesito Determinare il campo di esistenza della funzione: ln ( )( )( ) ( )( )( ) Il dominio della funzione richiesta è dato dalla risoluzione della disequazione razionale fratta ( )( )( ) ( )( )( ) seguenti sistemi: ( )( )( ) ( )( )( ) < < > > < <, < < > > 0 > 0 > 0 (, ) (-,-) (,) (, ) la cui soluzione è data dall unione delle soluzioni dei ( )( )( ) ( )( )( ) < < < < < < < < < Ad analoga conclusione saremmo giunti, se avessimo risolto la disequazione col metodo del falso sistema. < 0 < 0. Quesito 6 La funzione reale di variabile reale f() è derivabile in ogni per cui risulti.0.; inoltre f(.)0 e.0 f '( ). in ogni dell intervallo.0 <.. Dimostrare che risulta: 0. f (.0) Si può applicare il teorema di Lagrange, per cui (.) f (.0) f c [.0,.] : f '() c 0 f (.0). Poiché in ogni dell intervallo 0..0 <. vale.0 f '( )., si ha (.0). 0. f (.0) f. 4

15 Sessione ordinaria LS_ORD 00 America Boreale Quesito 7 Sia f() una funzione continua e non negativa nell intervallo chiuso e limitato a b, rappresentata graficamente in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy). Indicata con R la regione finita di piano delimitata dal grafico della funzione, dall asse e dalle rette a e b, dimostrare che il volume V del solido generato dalla regione R quando ruota di un giro completo intorno all asse è dato dalla formula seguente: V [ f ( ) ] b d. Chiamiamo V il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando intorno all asse delle ascisse il rettangoloide di base [ a, b] definito dalla funzione continua e non negativa f : [ a, b] R. Ora per ogni ξ [ a,b], la sezione di V con il piano ξ il cerchio di raggio f ( ξ ) ed area A( ξ ) f ( ξ ). Al variare di ξ [ a,b] a non è altro che, il volume del solido di rotazione non è altro allora che la somma di tutti i volumetti dei cilindroidi di area di base A( ξ ) f ( ξ ) b a ( ) d [ f ( ) ] V A d. b a ed altezza infinitesima d ξ, cioè non è altro che La dimostrazione effettuata è analoga a quella che si effettua per dimostrare che l area sottesa da una curva f ( ) con [ a, b] infinitesima d ed altezza ( ) è la somma delle aree dei rettangoli di base b a f e che vale ( ) f d. Come esempio di applicazione, calcoliamo il volume di un a sfera. Una sfera di raggio r può essere pensata come la rotazione intorno all asse delle ascisse del rettangoloide di base [ r, r] della funzione f ( ) r r r [ r ] d ( r ) d ( r ), per cui il volume della sfera sarà r 4 r V d r. r r 0 0 In letteratura questo teorema va sotto il nome di teorema di Guldino, in quanto è una generalizzazione del teorema di Guldino. r