2 K J x = x + x. Questa rappresenta, per 0 < x <, un arco di

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1 PROBLEMA 1 Un filo metallico di lunghezza λ viene utilizzato per delimitare il perimetro di un aiuola rettangolare. a) Quale è l aiuola di area massima che è possibile delimitare? F L area del rettangolo è! I!! x HG 2 2 K J x = x + x. Questa rappresenta, per 0 < x <, un arco di 2 2 parabola con la concavità rivolta verso il basso, pertanto il suo valore massimo si ha nel vertice.

2 Con Derive, per rappresentare graficamente la figura, abbiamo posto l = 1. Si ha il massimo quindi se il rettangolo è un quadrato. Si pensa di tagliare il filo in due parti e di utilizzarle per delimitare un aiuola quadrata e un altra circolare. Come si dovrebbe tagliare il filo affinché: b) la somma delle due aree sia minima? c) la somma delle due aree sia massima? Abbiamo

3 Ancora una volta abbiamo un arco di parabola che volge la concavità verso l alto, che ha perciò un minimo, ma non ha massimo, tranne che il filo non si tagli.

4 Quindi supposto di non tagliare il filo il massimo si ottiene creando un aiuola circolare, ossia dati un quadrato e un cerchio di uguale perimetro il cerchio ha area maggiore del quadrato. Una aiuola, una volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno. Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione. Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno? Le dimensioni siano lunghe a, b, c, il volume è perciò abc. Aumentando ciascuna dimensione del 10%, diverranno: 1.1 a, 1.1 b e 1.1 c, il volume perciò sarà abc. Perciò il volume è aumentato del 33.1%.

5 Problema 2 Si considerino le funzioni f e g determinate da f(x) = log(x) e g(x) = ax 2, essendo a un parametro reale e il logaritmo in base e. 1. Si discuta, al variare di a, l equazione log x = ax 2 e si dica, in particolare, per quale valore di a i grafici di f e g sono tra loro tangenti. Studiamo graficamente le due curve, assegnando ad a valori a piacere compresi tra -3 e 3. Ovviamente se a < 0 la parabola volge la concavità verso il basso e poiché log(x) è asintotica per x che tende a zero da destra, le due curve si intersecheranno sempre in un punto. Se a = 0, la parabola degenera nell asse x e ancora una volta le due curve si incontrano in un solo punto. Se a > 0 invece, limitatamente ai valori assegnati alla a le due curve non hanno punti di incontro. Assegniamo ad a valori positivi minori di 1, da 0.1 a 0.9 con passo 0.1.

6 Vediamo che per a = 0.1 c è un incontro, mentre per valori superiori (limitatamente ai valori da noi assegnati), non ci sono incontri. Consideriamo un altra rappresentazione grafica. Adesso vediamo meglio che abbiamo quindi anche due intersezioni fra le curve. Consideriamo allora quando vi è una sola intersezione, che in questo caso vorrà dire tangenza fra le curve. Le due curve devono avere una tangente comune. Derive non riesce a risolvere il sistema, lo aiutiamo noi.

7 Verifichiamo che per il valore trovato si ha tangenza. 2. Si calcoli, posto a = -e 2, l area della parte di piano delimitata dai grafici delle funzioni f e g (con x > 0) nella striscia di piano determinata dalle rette d equazioni y = -1 e y = -2. Rappresentiamo graficamente l area.

8 Per tracciarla abbiamo ricavato la x dalle due funzioni. Calcoliamo le intersezioni delle due curve con le rette parallele all asse x. Come già mostrava la figura le due curve si incontrano sulla retta y = - 1. Per calcolare l area è meglio effettuare una traslazione di vettore (0, +2).

9 Naturalmente si modificano anche le ascisse. Calcoliamo l area.

10 3. Si studi la funzione h(x) = log(x) ax 2 scegliendo per a un valore numerico maggiore di 1 2e e se ne disegni il grafico.

11 Ecco il grafico. QUESTIONARIO 1. Si narra che l inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi, fino alla 64 a casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38g, calcola il peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall inventore. Calcoliamo quanti sono tutti i chicchi

12 Sono quanti indicati in #5. Poiché 2 10 = 1024, vediamo quanto pesano 1024 chicchi. Quindi chicchi pesano Il risultato #9 è in grammi, quello in #11 in tonnellate. 2. I poliedri regolari noti anche come solidi platonici sono, a meno di similitudini, solo cinque: il tetraedro, il cubo, l ottaedro, il dodecaedro e l icosaedro. Sai dimostrarlo? Per formare un vertice dobbiamo avere la concorrenza di almeno 3 facce. Naturalmente le facce devono formare un angolo inferiore a un piatto. Possiamo allora avere 3 triangoli equilateri, che formano perciò un tetraedro regolare.

13 Oppure 3 quadrati che formano un cubo, con 6 facce. O ancora 3 pentagoni regolari, ottenendo il dodecaedro regolare. Non possiamo considerare altri poligoni perché 3 esagoni regolari tassellano il piano, formando appunto un angolo piatto. Possiamo però considerare 4 triangoli equilateri che formano l ottaedro. Non 4 quadrati che tassellano il piano.

14 Infine 5 triangoli equilateri che formano l icosaedro (20 facce). E basta perché 6 triangoli equilateri tassellano il piano. 3. In un piano sono dati una retta r e due punti A e B ad essa esterni ma situati nel medesimo semipiano di origine r. Si trovi il più breve cammino che congiunga A con B toccando r. Basta considerare la seguente figura: Se A e B fossero da parti opposte rispetto ad r, evidentemente il minimo cammino è il segmento che li ha per estremi. Consideriamo allora il simmetrico B di B rispetto ad r e congiungiamo A con B. I segmenti AC e BC sono chiaramente lunghi, complessivamente, quanto AB, pertanto questo è il minimo cammino.

15 4. Si dimostri che l equazione sen(x) = x 1 ha una e una sola radice α e, utilizzando una calcolatrice tascabile, se ne dia una stima. Si descriva altresì una procedura di calcolo che consenta di approssimare α con la precisione voluta. Ecco la rappresentazione grafica Il grafico della funzione f(x) = sen(x) x + 1 è invece il seguente. Ragionando senza tenere conto dei grafici, Per il teorema di esistenza degli zeri abbiamo almeno uno zero in ]1, 2[. Abbiamo calcolato la derivata della funzione f(x) = sen(x) x + 1, e abbiamo scoperto che essa si annulla per x = 2kπ, mentre per il resto è sempre negativa, quindi abbiamo solo uno

16 zero, che abbiamo detto essere compreso tra 1 e 2. Troviamone un approssimazione con il metodo di bisezione. La soluzione è in ]1.5, 2[. La soluzione è in ]1.75, 2[. La soluzione è in ]1.875, 2[. La soluzione è in ]1.875, [. La soluzione è in ] , [. Quindi possiamo dire che la soluzione alla prima cifra decimale è 1.9. La soluzione è in ] , [. La seconda cifra decimale è 2 oppure 3.

17 La soluzione è in ] , [. La soluzione è in ] , [. Quindi al secondo decimale la soluzione è Derive ci dice che una migliore approssimazione è 5. Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a + b) n è uguale a 2 n per ogni n ". Sappiamo che ( ) n a+ b = a b k = 0 k n n k n k ( ). Pertanto ponendo a = b = 1, avremo: n n n n k n k n n 1+ 1 = 11 2 = k= 0 k k= 0 k 6. L equazione risolvente un dato problema è: k cos2x - 5k+ 2 = 0, dove k è un parametro reale e x ha le seguenti limitazioni: 15 < x < 45. Si discuta per quali valori di k le radici dell equazione siano soluzioni del problema.

18 7. Bruno de Finetti ( ), tra i più illustri matematici italiani del secolo scorso, del quale ricorre quest anno il centenario della nascita, alla domanda: che cos è la probabilità? era solito rispondere: la probabilità non esiste!. Quale significato puoi attribuire a tale risposta? E possibile collegarla ad una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte? La risposta dipende dal fatto che ci sono eventi, la maggior parte di quelli reali, per i quali non possiamo definire la probabilità come rapporto fra eventi favorevoli ed eventi possibili, come nella concezione laplaciana. Quanti sono i casi favorevoli al fatto che stasera io vada al cinema? E quelli possibili sono solo due, cioè ci vado o non ci vado? Ecco perché De Finetti introduce il concetto di probabilità soggettivista. 8. Un tiratore spara ripetutamente ad un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità 0,99 di colpirlo almeno una volta? Siamo nell ipotesi di prove ripetute indipendenti, che si interpretano quindi con la binomiale. La probabilità di colpire il bersaglio almeno una volta in n tiri è complementare della probabilità di non colpire mai il bersaglio dopo n tentativi. Affinché questo sia maggiore di 0.99, deve aversi cioè almeno 13 tiri. Se non vogliamo usare Derive in modo assoluto ricorriamo agli esponenziali.

19 9. Della funzione f(x) si sa che è derivabile e diversa da zero in ogni punto del suo dominio e, ancora, che: f (x) = f (x) e f(0) = 1. Puoi determinare f (x)? Sappiamo che f(x) = e x è una funzione che verifica quanto richiesto, il problema è che deve dimostrarsi che questa funzione è l'unica, fatto stabilito dal teorema di esistenza ed unicità del problema di Cauchy, che raramente si svolge anche nel Liceo Scientifico PNI. 10. Tenuto conto che: π 1 dx = x 4 1 calcola un approssimazione di π utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati. Possiamo usare per esempio la cosiddetta formula di Bezout o dei trapezi. La applichiamo alla nostra funzione per 100 suddivisioni dell intervallo. Osserviamo che abbiamo ottenuto un ottima approssimazione.