Banchi di filtri. Variazioni. Esempio di normalizzazione. Introduzione. Nomenclatura. The Ultimate Question. h 1 N ... N h 2. h M

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1 Variazioni Oltre alla struttura regolare sono possibili altre strutture, per esempio h 3 Tali strutture sono sempre riconducibili alla struttura regolare 3 Q: Cos è un banco di filtri? Introduzione Esempio di normalizzazione A: Un banco di filtri è qualcosa di questo tipo h ( ) 1 h h Banco di analisi h h h 3 h ( 4) 1 h h ( 3) 1 4 Questo è un banco di analisi con M canali sottocampionato di omenclatura Se M = il banco si dice criticamente campionato, se M > il banco si dice sovracampionato h h M The Ultimate Question La nostra domanda principale sarà È possibile ricostruire l ingresso di un banco di analisi a partire dalle sue uscite? (La risposta, come ben noto, è 4 ) 5

2 ma non è troppo facile? Un banco di filtri per il quale la risposta è certamente sì è il banco formato da filtri passa-basso e passa-banda ideali Esercizio suggerito Implementare con Matlab l approssimazione di un banco di filtri a 4 canali usando filtri FIR a 8 coefficienti Progettare un passa-basso h 0 FIR a 8 coefficienti (per esempio, usando remez) Costruire i filtri h i, i = 1,,3 modulando h 0, ossia h k (n) = W kn 4 h 0 (n) Scrivere le funzioni di analisi e sintesi e provare la fedeltà di ricostruzione Dov è il problema? 9 Perché non filtri ideali? I filtri passa-qualcosa ideali sono ideali vivono solo sulla carta e nel mondo delle idee In particolare Hanno risposta impulsiva infinita Sono instabili on hanno funzione di trasferimento razionale Analisi nel dominio della modulazione 7 e se progettassi dei buoni passa-qualcosa (con remez, per esempio?) Ci sono alcune controindicazioni Se voglio una buona approssimazione devo usare filtri lunghi costo computazionale Se voglio un basso costo computazionale devo usare filtri corti scarsa approssimazione In realtà vedremo che è possibile implementare banchi a ricostruzione perfetta usando anche filtri FIR molto corti (4 coefficienti) Il dominio della modulazione Consideriamo (per semplicità di notazione) il caso a due canali e concentriamoci su un singolo ramo di analisi+sintesi s 1 r 1 y 1 g 1 Si ottiene R 1 (z) = H 1 (z)x(z) filtraggio S 1 (z) = 1 ( R1 (z) + R 1 ( z) ) campiona + interpola Y 1 (z) = G 1 (z)s 1 (z) filtraggio 8 10

3 Il dominio della modulazione Ripetendo per l altro canale e sommando le uscite otteniamo Y (z) = A 0 (z)x(z) }{{} + A 1 (z)x( z) }{{} componente normale componente modulata A 0 (z) = G 1 (z) H 1 (z) + G (z) H (z) A 1 (z) = G 1 (z)h 1 ( z) + G (z)h ( z) Un primo, piccolo, risultato Q: Dato un banco di analisi a due canali con filtri FIR e h, per quali filtri di sintesi FIR il banco risulta senza aliasing? A: Dalla condizione A 1 (z) = 0 otteniamo G 1 (z)h 1 ( z) = G (z)h ( z) = C(z) C(z) deve essere un multiplo di L(z) = mcm(h 1 ( z),h ( z)), quindi G 1 (z) = L(z)D(z) H 1 ( z) D(z) è un polinomio arbitrario G (z) = L(z)D(z) H ( z) Analisi nel dominio della modulazione Commenti L uscita del banco a due canali contiene quindi due componenti 1 Una versione filtrata del segnale di ingresso A 0 (z)x(z) Una versione filtrata del segnale di ingresso moltiplicato per ( 1) n, A 1 (z)x( z) La componente A 1 (z)x( z) è una sorta di aliasing (componenti ad alta frequenza che finiscono in bassa) e può risultare particolarmente fastidioso Se A 1 (z) = 0 il banco si dice senza aliasing ed è equivalente ad un filtro Un primo, piccolo, risultato () Se i filtri g 1 e g sono scelti in modo da non avere aliasing la funzione di trasferimento complessiva risulta ( H1 (z)l(z) A 0 (z) = H 1 ( z) H (z)l(z) ) D(z) = F(z)D(z) H ( z) La funzione di trasferimento è quindi sempre multipla di F(z) (l insieme delle possibili funzioni di trasferimento è l ideale F(z) ) la ricostruzione perfetta con soli filtri FIR è possibile se e solo se F(z) ha inverso moltiplicativo è una costante 1 15 Il caso con M canali el caso di M canali, un procedimento analogo a quello appena visto, ci permette di dedurre Y (z) = M 1 X(WM k z)a k (z) k=0 M A k (z) = G m (z)h m (WM k z) m=1 el caso ad canali si dice che il banco è senza aliasing se A k (z) = 0 per k = 1,,M 1 13

4 Motivazione Banco di analisi nel dominio polifase L analisi nel dominio della modulazione è intuitiva, ma poco potente on è chiaro, per esempio, come progettare H 1 e H in modo da avere ricostruzione perfetta con filtri FIR Onde aggirare queste difficoltà è conveniente introdurre un nuovo strumento di analisi Raccogliendo tutti i canali in un unica espressione Y 1 Y Y M canale polifase H 1,0 H 1,1 H 1, 1 H =,0 H,1 H, 1 H M,0 H M,1 H M, 1 canale X 0 X 1 X 1 L azione del banco di analisi corrisponde quindi ad un prodotto matriciale nel dominio polifase polifase 1 19 Canale di analisi È ben noto che un filtraggio seguito da campionamento può essere implementato usando le componenti polifase y 1 y(n) = h k h k k=0 k (n) = (n + k) h k (n) = h(n k) Banco di analisi nel dominio polifase Forma di H(z) La matrice H ha M righe (una per ogni canale) e colonne (una per ogni componente polifase) Se il banco è criticamente campionato, H è quadrata Se il banco è sovracampionato, H è alta e stretta Attenzione: si noti il segno differente nelle due definizioni di componenti polifase 17 0 Canale di analisi nel dominio polifase el dominio delle trasformate zeta si ottiene o, in forma matriciale, 1 Y (z) = X k (z)h k (z) k=0 Y (z) = [ ] H 0 H 1 H 1 X 0 X 1 X 1 otazione Indicheremo con C e P,k gli operatori di campionamento e campionamento polifase (per segnali) È facile vedere che [C ](n) = (n) [P,k ](n) = (n + k) P,k = C τ k mentre se P,k è l operatore di campionamento polifase per filtri, P,k = C τk 18 1

5 Grazie alla relazione P,k = C τ k le componenti polifase di possono essere ottenute tramite lo schema mostrato a fianco ota: la trasformata polifase è un banco di filtri semplice z 0 z 1 z interpolazione+filtraggio tramite componenti polifase g y y k (n) = g k y k (n) = P,k y(n) = y(n + k) g k (n) = P,k g(n) = g(n + k) ota: per i filtri di sintesi si usa la stessa convenzione dei segnali 5 inversa 0 La trasformata polifase è invertibile 1 La sua inversa è un banco di sintesi semplice 1 z 0 z 1 z 1 L uscita complessiva è la somma delle uscite dei singoli canali g c,k = P,k g c el dominio zeta, in forma matriciale [ Y k (z) = M y k (n) = u c g c,k c=1 ] G 1,k G,k G M,k U 1 U U M 3 Un banco di analisi generico può sempre essere implementato come trasformata polifase+filtro MIMO z 0 z 1 z M 1 y 1 y H(z) y M La trasformata polifase è quindi il banco di filtri di analisi più primitivo Raccogliendo le componenti polifase dell uscita in un unico vettore Y 0 Y 1 Y 1 polifase canale G 0,1 G 0,1 G 0,M G 1,1 G 1,1 G 1,M = G,0 G,1 G, 1 G 1,1 G 1,1 G 1,M = prodotto matriciale nel dominio polifase polifase U 1 U U M ota: La matrice G è indicizzata in modo trasposto rispetto alla matrice H canale 4 7

6 Banco di analisi nel dominio polifase Forma di G(z) La matrice G ha righe (una per ogni componente polifase) e M colonne (una per ogni canale) Se il banco è criticamente campionato, G è quadrata Se il banco è sovracampionato, G è bassa e larga Se M = Ricostruzione perfetta 1 Il banco di analisi è invertibile se e solo se deth 0 L inversa ha soli filtri FIR se e solo se deth = αz n 3 La matrice polifase del banco di sintesi è G = H 1 Se M > 1 Il banco di analisi è invertibile se e solo se H ha rango pieno Ad ogni inversa sinistra di H corrisponde un banco di sintesi Se M < 1 La ricostruzione perfetta non è possibile 8 31 Un banco di sintesi generico può sempre essere implementato come filtro MIMO+trasformata polifase inversa u 1 z 0 u y G(z) z 1 u M z 1 La trasformata polifase inversa è quindi il banco di filtri di sintesi più primitivo 9 Analisi+Sintesi La cascata analisi+sintesi corrisponde ad un sistema MIMO dato dalla cascata di H(z) e G(z) el dominio polifase l azione della cascata è rappresentata dalla matrice G(z)H(z) Importante: Il segnale viene ricostruito esattamente se e solo se G(z)H(z) = I 30