Codifica binaria: - numeri naturali -

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1 Codifica binaria: - numeri naturali - Ingegneria Meccanica e dei Materiali Università degli Studi di Brescia Prof. Massimiliano Giacomin

2 Tipologie di codici Per la rappresentazione di: caratteri alfabetici e testi valori logici numeri naturali numeri interi relativi [val assoluto e segno, complemento a due] numeri reali [virgola fissa e virgola mobile] suoni, immagini e sequenze video Codici per la rilevazione e correzione di errori Codici di compressione (senza con perdita) Informatica e Programmazione Università di Brescia 2

3 Codifica di numeri naturali QUALI? COME? n bit: 2 n combinazioni Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 3

4 Codifica di numeri naturali I numeri naturali si rappresentano normalmente, ma con n cifre binarie possiamo rappresentare solo i numeri da 0 a N max Esempio: con 8 cifre (n=8) N max = 255 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 4

5 Nota Quanto vale il numero binario n cifre? Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 5

6 Nota Quanto vale il numero binario n cifre? Notare che = Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 6

7 Nota Quanto vale il numero binario n cifre? Notare che = n Quindi n cifre vale 2 n -1 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 7

8 Quindi Con n cifre binarie si possono rappresentare i numeri da 0 a 2 n -1 Esempio precedente n = N max = 2 n -1 = =255 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 8

9 Viceversa Voglio rappresentare i numeri naturali da 0 a N. Di quante cifre binarie ho bisogno? Esempio Voglio rappresentare numeri da 0 a 350 con n = 7 N max = 127 con n = 8 N max = 255 con n = 9 N max = 511 n = 9 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 9

10 In generale Per poter rappresentare numeri naturali fino a N ³ 0, serve un numero di cifre n tali che: N max ³ N ovvero (2 n 1) ³ N Quindi deve essere Esempio precedente N = 350 n ³ log 2 (N + 1), ovvero n min = élog 2 (N + 1)ù n log 2 (351) = 8,. quindi n 9 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 10

11 ARITMETICA BINARIA CON CODIFICA DI NUMERI NATURALI: OPERAZIONE DI ADDIZIONE Si ha traboccamento (overflow) quando c è un riporto dal bit più significativo che non può essere rappresentato con le cifre a disposizione = 2 (1) ? Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 11

12 Hardware per effettuare la somma all interno del processore c n-1 c n-2 c 1 c 0 r n + r n-1 + r n-2 r 2 r r 0 =0 a n-1 b n-1 a n-2 b n-2 a 1 b 1 a 0 b 0 a n-1 a 0 : primo operando b n-1 b 0 : secondo operando c n-1 c 0 : risultato r n = 0: NO OVERFLOW, r n =1: OVERFLOW Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 12

13 ARITMETICA IN MODULO 2 n Esempi (caso n=8) Rappresentazione geometrica = = = = Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 13

14 Caso n= 8: trascurando il riporto dalla cifra più significativa si ottiene il risultato modulo 256 [RISULTATO % 256] con n generico Trascurare il riporto dalla cifra più significativa = ottenere il risultato modulo 2 n = RISULTATO % 2 n = = RISULTATO % (MAX_RAPPRESENTABILE + 1) In alcuni contesti (cf. variabili intere unsigned del linguaggio C) si usa questa aritmetica (anche per la moltiplicazione) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 14