Istituzioni di Probabilità Laurea magistrale in Matematica prova scritta del 2/12/2013

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1 Istituzioni di Probabilità Laurea magistrale in Matematica prova scritta del /1/13 Exercise 1 punti 1 circa Un foglio browniano è un processo gaussiano a valori reali X s, t, indicizzato da s, t in [, T ] [, T ], con media zero e E [X s, t X s, t ] = s s t t dove a b indica il minimo tra a e b E detto continuo se, per qo ω, X ω è continuo su [, T ] Diamo per buono il fatto che un foglio browniano esista 1 Sia X un foglio browniano Si dimostri che, per ogni s >, Xs, s è un moto browniano reale Sia X un foglio browniano Si dimostri che E [ X s, t X s, t ] T s s + t t sugg: vale la disuguaglianza elementare ab a b T a a + b b per tutti gli a, b [, T ] 3 Si dimostri che, per ogni m, E [ X s, t X s, t m] C m T m/ s s + t t m/ dove C m = E [ Z m ], Z va normale standard 4 Si deduca che X ha una modificazione continua, che è anche α-hölderiana per ogni α < 1/ Exercise punti 1 circa Sia Y n n un processo definito come segue: Y = e, per ogni intero n, Y n+1 = Y n + n+1 ξ n dove ξ n è una va di Bernoulli di parametro 1/ a valori in {, 1} una va discreta che assume i valori, 1 con egual probabilità indipendente da F n = σ {Y,, Y n } 1 Si dimostri che, per ogni funzione limitata misurabile g : [, 1] R, E [g Y n+1 F n ] = g Y n + n+1 + g Y n Sia ora f : [, 1] R una funzione misurabile limitata Per ogni intero non negativo n, poniamo X n = f Y n + n f Y n n = n f Y n + n f Y n 1

2 Si dimostri che X è una martingala rispetto ad F n n 3 Si supponga che f sia non decrescente Dimostrare che X converge qc 4 Si supponga che f sia lipschitziana f x f y L x y Dimostrare che X converge qc e in L p per ogni p 1 finito Exercise 3 punti 1 circa Sia B t t un moto browniano reale, n un intero positivo e µ, σ due matrici n n Si consideri la seguente equazione differenziale stocastica a valori in R n n : ds t = µ T S t µdt + σ T S t σdb t, S = s R n n 1 Si discuta esistenza e unicità delle soluzioni Si dimostri che, se s T = s, allora qc vale, per ogni t, S T t = S t D ora in avanti si supponga s T = s Per v R n fissato, si trovi l equazione soddisfatta da X t = S t v, v Supponiamo poi che s sia una matrice definita non negativa s v, v per ogni v Se µ = µ Id, σ = σ Id, con µ, σ R, dimostrare che anche S t è una matrice definita non negativa 3 Se µ e σ sono matrici ortogonali cioè soddisfano A T = A 1, trovare e risolvere l equazione soddisfatta da T r S t, la traccia di S t 4 Sia v t R n la soluzione dell equazione differenziale stocastica Nel caso particolare dimostrare tramite la formula di Itô che eventualmente anche in altro modo dv t = v t db t v = v ds t = S t db t, S = s S t v t, v t = e 3t s v, v

3 1 Soluzioni Esercizio 1 1 Poniamo B t ω = Xs,t,ω s con s > fissato Allora B t è un processo gaussiano: B t1,, B tn = 1 s X s, t 1,, X s, t n che è ovvia trasformazione lineare del vettore per definizione gaussiano X s, t 1,, X s, t n Vale [ ] X s, t E [B t ] = E = 1 E [X s, t] = s s C B t, t = 1 s 1 s E [X s, t X s, t ] = t t quindi si applica la caratterizzazione della Proposizione 18 del corso E [ X s, t X s, t ] = E [ X s, t ] [ + E X s, t ] E [X s, t X s, t ] Se s s, t t, allora vale = st + s t s s t t Se invece s s, t > t, allora vale st + s t st = s t st T s s + t t st + s t st = s t t + s s t T s s + t t Gli altri casi sono riconducibili a questi due, scambiando s, t con s, t 3 Poniamo Z = Xs,t Xs,t dove σ = E [ X s, t X s, t ] Z è normale σ standard, quindi [ X s, t X s C m = E [ Z m, t m ] ] = E da cui E [ X s, t X s, t m] = C m σ m/ Cm T s s + t t m/ 3 σ m

4 per il punto precedente 4 Vale s s + t t n = s s + t t n n s s + t t n quindi E [ X s, t X s, t 4n] C 4n T s s + t t n C 4n T n n s s + t t n C 4n T n n s, t s, t n Da qui si ragiona come per il moto browniano vedi corso Esercizio 1 E [g Y n+1 F n ] = E [ g Y n + n+1 ξ n Fn ] Poniamo Φ y = E [ g ] y + n+1 g y + n+1 + g y ξ n = Allora, per la Proposizione 11 delle dispense, Infine E [ g Y n + n+1 ξ n Fn ] = Φ Yn = g Y n + n+1 + g Y n X n = n f Y n + n f Y n è adattato a F n Inoltre E [ X n ] n+1 sup f < E [X n+1 F n ] = n+1 E [ f Y n+1 + n+1 F n ] n+1 E [f Y n+1 F n ] ed usando il punto 1 prima con g y = f y + n+1, poi con g y = f y = n+1 f Y n + n+1 + n+1 + f Y n + n+1 n+1 f Y n + n+1 + f Y n 4

5 = n f Y n + n f Y n = X n 3 Basta osservare che X n ed applicare un noto teorema di convergenza corollario 8 delle dispense 4 In questo caso vale X n L n = L n quindi in particolare X n L, oppure E [ X n ] L, per cui si può di nuovo applicare un noto teorema corollario 8 o 9 Esercizio 3 Nei primi 3 punti scriviamo la risoluzione operando vettorialmente, ma tutti i passaggi si possono giustificare tramite le componenti; come invece facciamo nel punto 4, più complicato Indichiamo con S ij t le componenti di S t ed analogamente per le componenti dei vettori e osserviamo che vale S ij t = s ij + µ T S s µ ij ds + σ T S s σ ij dbs 1 1 I coeffi cienti sono funzioni lineari, quindi lipschitziane Quindi vale esistenza e unicità forte Siccome St T risolve la stessa equazione di S t ma con dato iniziale s T, se vale s T = s allora per unicità il processo St T è indistinguibile da S t Vale S t v, v = s v, v + S s µv, µv ds + S s σv, σv db s A tale identità si può arrivare o con la formula di Itô oppure ragionando per componenti, moltiplicando tutti i termini dell equazione 1 per v j v i le costanti v j v i entrano negli integrali e poi sommando sugli indici Se poi µ = µ Id, σ = σ Id, allora ovvero da cui 3 Vale S t v, v = s v, v + µ S s v, v ds + σ dx t = X t µ + σ db t, X = s v, v T r S t = T r s + µ σ t+σ X t = s v, v e Bt T r µ T S s µ ds + S s v, v db s T r σ T S s σ db s 5

6 A questa identità si arriva sommando le componenti di ugual indice dell equazione 1 Ma la traccia è invariante per cambi di base cioè T r µ T S s µ = T r S s, T r σ T S s σ = T r S s quindi da cui, come sopra, T r S t = T r s + T r S s ds + T r S t = T r s e 1 1 t+b t 4 Usando le componenti omettiamo la somma n i,j=1 per semplicità di notazione, vale d S t v t, v t = d S ij t v j t vt i ed usando la formula di Itô per la funzione f s, v, w = svw, T r S s db s = S ij t v j t dvt i + S ij t vtdv i j t + v j t vtds i ij t + vtd [ i S ij, v j] + t vj d [ S ij, v i] + t Sij d [ v i, v j] t = S ij t v j t vtdb i t S ij t vtv i j t db t + v j t vts i ij t db t vts i ij t v j dt v j S ij t vtdt i + S ij v i v j dt da cui = 3v i ts ij t v j dt = 3 S t v t, v t dt S t v t, v t = e 3t s v, v 6