X n = αx n 1 + Y n. Si dimostri che. Usando la precedente relazione si dimostri che. e che. e si determini il limite di media e varianza quando n +.

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1 Problema 1. Siano X, Y 1, Y,... variabili aleatorie indipendenti. Si supponga che X abbia media m e varianza σ e che le Y i abbiano distribuzione gaussiana con media µ e varianza σ. Dato α in (, 1, si definisca per ricorsione la successione (X n n 1 ponendo X n = αx + Y n. Si dimostri che X n = α n X + α k Y n k. k= Usando la precedente relazione si dimostri che e che E[X n ] = α n m + α k µ k= V ar(x n = (α n σ + (α k σ k= e si determini il limite di media e varianza quando n +. Assumendo che X abbia legge gaussiana di media m e varianza σ si determini la legge di X n. Dati α, µ e σ, assumendo che X abbia legge gaussiana si determino m e σ in modo che tutte le X i abbiano la stessa legge. Problema ( Siano X 1 e X due numeri aleatori indipendenti con legge gaussiana di media nulla e varianza 1. (i Si ponga (Y 1, Y = ((X 1 +X /, (X 1 X /. Si determini la legge di (Y 1, Y. I numeri aleatori Y 1 e Y sono indipendenti? (ii Si ponga (Z 1, Z = (cos(θx 1 + sin(θx, sin(θx 1 + cos(θx per θ in (, π. Per quali valori di θ i numeri aleatori Z 1 e Z sono indipendenti? Problema 3 ( Sia {U n, Y n : n 1} una famiglia di variabili aleatorie indipendenti in cui: ogni U n ha legge uniforme su [, 1], le Y n sono identicamente distribuite e soddisfano P { Y n 1} = 1 e E[Y n ] = m. Posto τ = inf{n 1 : U n Y n } e Z := Y τ, i determinare il valore di P {U 1 > Y 1 }; ii dimostrare che P {τ = n} = m(1 m ; iii dimostrare che se ψ è una funzione tale che E[Y 1 ψ(y 1 ] < + allora E[ψ(Z] = E[Y 1 ψ(y 1 ]/E[Y 1 ]. Problema 4. Sia [(X 1,n, X,n, X 3,n ] n 1 una successione di vettori aleatori indipendenti a valori in R 3 con distribuzione gaussiana di media nulla e matrice di varianze-covarianze

2 Si determini la legge di Z n = 3 k=1 kx k,n; Si determini la legge di S n = n 1 n j=1 Z j; Si dimostri che P { S n > δ} per n +. Problema 5. Siano X 1, X,... variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con funzione generatrice dei momenti ψ finita per t h. Sia N una variabile aleatoria a valori interi non negativi con funzione generatrice delle probabilità g N, ossia g n (t = E[t N ]. Posto S = N i=1 X i, si dimostri che la funzione generatrice dei momenti di S è g N (ψ(t. Si supponga che N abbia distribuzione geometrica di parametro p e che le X i siano esponenziali negative di parametro 1. Si determini la funzione generatrice di S. [Si ricordi che la funzione generatrice delle probabilità di una variabile aleatoria geometrica di parametro p è p/(1 qt con q = 1 p e che la funzione generatrice dei momenti di una variabile esponenziale di parametro 1 è 1/(1 t.] Problema 6. Siano X 1,..., X n variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con comune funzione di ripartizione F. Si definisca il vettore delle statistiche d ordine (X (1,..., X (n come un riordinamento di (X 1,..., X n tale che X (1 X ( X (n. Si noti in particolare che X (1 = min 1 i n X i e X (n = max 1 i n X i. Si determini la funzione di ripartizione di X (k per ogni k = 1,..., n. Assumendo che X 1 abbia densità f, determinare la densità di X (k. Suggerimento: Si ponga N x := n j=1 I{X i x}. Si dimostri che P {X (k x} = P {N x k}. Si concluda che P {X (k x} = n j=k ( n F (x j (1 F (x n j. j Derivare quest ultima relazione per determinare che, se F ammette densità f, allora la densità di X (k è ( n 1 n f(xf (x k 1 (1 F (x n k k 1 Problema 7. Ci sono L tavoli in un ristorante. Ad ogni tavolo si siedono X i persone con i = 1,..., L. Si assuma che le X i sono indipendenti e identicamente distribuite sugli interi strettamente positivi con densità f(k per k = 1,,.... Si assuma che E(X i = m. Si consideri il segunete esperimento: si sceglie a caso una persona (in modo uniforme fra tutte le persone sedute in tutti gli L tavoli e si indica con X il numero di persone sedute al suo tavolo. Dimostrare che L 1 P {X = k} = kf(ke[l(k + X j 1 ]. Usando la legge dei grandi numeri, dimostrare che per L + la densità di X converge a kf(k/m. j=1

3 Problema 8. Data una successione {X n } n 1 di variabili aleatorie reali i.i.d. con funzione di ripartizione F (x = x α I (,1] (x+i (1,+ (x, si dimostri che n[1 max i=1,...,n X i ] converge in distribuzione e determinare la funzione di ripartizione limite. [F (x = (1 e αx I{x > }] Problema 9 ( Sia X n un numero aleatorio con densità gamma data da f Xn (x = { p n Γ(n e px x se x > se x. per n = 1,, 3,..., p parametro strettamente positivo. Dimostrare che per n + e per ogni x in R, dove P {Y n x} 1 π x Y n := X n E(X n V ar(xn. e t ds Consiglio: si può ricorrere (spiegandone il ragionamento al teorema centrale del limite, oppure allo sviluppo di Taylor della funzione caratteristica di Y n, ricordando che quella di X n è φ Xn (t = (1 it p n. Problema 1 (Bose-Einstein**. Supponiamo che k clienti entrino in n negozi uno dopo l altro con la seguente regola. Il cliente j+1 (j =,..., k 1 sceglie il negozio i (i = 1,..., n con probabilità proporzionale al numero di clienti prensenti nel negozio i più uno. Determinare la probabilità che nel negozio 1 ci siano n 1 clienti, nel negozio due n,..., nel negozio n ce ne siano n n, con j n j = k. [ Si ponga ξ j = i se il cliente j va nel negozio i (j = 1,..., k; ν (k = (ν (k 1,..., ν(k n con ν (k La probabilità cui si è interessati è P { ν (k = (n 1,..., n n }. aprima di tutto osserviamo che P {ξ 1 = i} = 1/n e i = k j=1 I{ξ j = i} (la somma vuota si ponga uguale a ; P {ξ j+1 = i ν (j = (n (j 1,..., n(j n } = n(j i + 1 n + j (dimostrarlo-vederlo b Per quanto visto in a dimostrare che se n j=1 n j = k, P {ξ 1 = 1,ξ = 1,..., ξ n1 = 1, ξ n1 +1 =,..., ξ n1 +n =,..., ξ k n1 = n,..., ξ k = n} = 1 n n n 1 1 n + n 1 1 n + n 1 n + n n n n + n 1 + n +... n n 1 n 1!... n n! = (n + k 1!/(n 1! 3

4 (è la probabilità che i primi n 1 finiscano in 1 i successivi n in e così via. Analogamente osservaredimostrare che n 1!... n n! P {ξ 1 = e 1,..., ξ k = e k } = (n + k 1!/(n 1! se n 1 = {j : e j = 1},..., n n = {j : e j = n}. c Dimostrare-osservare che P { ν (k = (n 1,..., n n } = e 1,...,e n P {ξ 1 = e 1,..., ξ k = e k } dove la somma è estesa a tutti gli (e 1,..., e k tali che n 1 = {j : e j = 1},..., n n = {j : e j = n}. Quindi, ] P { ν (k k! n 1!... n n! = (n 1,..., n n } = n 1!... n n! (n + k 1!/(n 1! Problema 11. Data una successione {Y n } n 1 di variabili aleatorie reali i.i.d. media nulla (i.e. E[Y n ] =, si definisca la successione (X n n 1 ponendo con varianza finita σ e n X n := α n i Y i i=1 per α (, 1. (i Si calcoli V ar(x n e Cov(X n, X m per ogni m > n. (ii Usando il punto precedente e la disuguaglianza di Chebichev si dimostri che 1 n n i=1 X i converge in probabilità a zero. Problema 1 (Records. Data una successione {Y n } n di variabili aleatorie reali i.i.d. continue si ponga A k,n := {ω : max X i = X k } k =,..., n i n e T = min{n 1 : X n > X }. Si mostri che assolutamente (i P (A k,n = P (A j,n per ogni j, k in {,..., n}. (ii P (A k,n A j,n = per ogni j k. (iii Usando il fatto che n k= A k,n = Ω, si mostri che P (A k,n = 1 n+1 (iv Si mostri che P {T > n} = P (A,n. per k =,..., n. (v Dal punto precedente si deduca che f T (k = 1/(k(k + 1 per k 1 e si calcoli E[T ]. Si deduca che il tempo medio per migliorare se stessi se non c e apprendimento (ossia se c e indipendenza è +!! [E[T ] = + ] Esercizi consigliati. Problema 13 ( Siano date due urne U 1, U. U 1 contiene 4 palline nere e 6 rosse. U contiene 3 palline nere e 6 rosse. Si estrae una pallina da U 1 e la si immette in U, si estrae poi una pallina da U. 4

5 (i Determinare la probabilià di estrarre una pallina rossa alla seconda estrazione. (ii Determinare la probabilità che si sia estratta una pallina nera alla prima estrazione nell ipotesi che si estragga una pallina rossa alla seconda estrazione. Problema 14 (1/6/17. Sia X un numero aleatorio con legge simmetrica (rispetto a tale che E[ X p ] = m p < + per ogni p >. Assumendo che X abbia funzione di ripartizione assolutamente continua con densità f, fissato >, si definisca la funzione (i Dimostrare che f è una densità. f (x = ( ( x + 1 f(xi{x < } + f I{x > }. (ii Sia X un numero aleatorio con densità f. Si calcoli E[ X p ] per p >. (iii Sotto le stesse ipotesi del punto precedente, determinare E[X ]. Si ha f (xdx = ( + 1 f(xdx + = ( + 1 f(udu/ f(x/dx f(vdv (cambio di variabili x = u e x/ = v. Quindi, dal momento che f(udu = + f(vdv = 1/ poiché f è simmetrica, si ha f (x = = 1. Per il punto (ii, si ragiona in modo analogo: E[ X p ] = + x p f (xdx = ( + 1 x p f(xdx + = ( + 1 u p f(udu/ p+1 + x p f(x/dx + Ora u p f(udu = + v p f(vdv = m p / sempre per simmetria, quindi Con conti analoghi (ometto qualche passaggio E[X ] = x p f (xdx = 1 + p m p+1 p. xf (xdx = ( + 1 x f(xdx + = + 1 m v p f(vdv p+1. x f(x/dx 5

6 Problema 15 (7//17. Siano X 1, X,... variabili aleatori indipendenti ed identicamente distribuite con funzione caratteristica φ Xi (t = [1 t ( t ]I{ t 1}. Si ponga S n = i=1 X i. (i Si determini la funzione caratteristica di S n. (ii Si mostri che S n /n converge in legge ad una variabile aleatoria X, determinando in modo esplicito la funzione caratteristica di X. Problema 16 ( Dimostrare che se la legge del numero aleatorio ξ è tale che E(e aξ < +, con a costante positiva, allora P {ξ ɛ} E(eaξ e aɛ. Problema 17 (Metodo del momento primo e secondo. Sia Z una variabile aleatoria a valori interi non negativi. Dimostrare che P {X } E(X e che P {X = } V ar(x/e(x. [suggerimenti: per la prima usare la disuguaglianza di Markov, per la seconda osservare che P { X E[X] > E[X]} > P {X = }.] Problema 18 (Branching processes. Siano X 1,1 X,1, X,,... X 3,1, X 3,, viariabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite con comune valore atteso (finito EX i,j = µ. Si definisca una successione (Z n n come segue Z 1 = X 1,1 Z n = Z i=1 con la convenzione che la successione vale per ogni n m se Z m =. Interpretare il processo come processo di riproduzione. Z n è il numero di soggetti presenti alla generazione n, ognuno di essi ha X n,j figli, etc. Dimostrare che E(Z n = E(Z µ e quindi che X n,i E(Z n = µ n. Concludere che se µ < 1 allora E(Z n mentre se µ > 1 E(Z n +. Concludere (usando il problema precedente che P {Z n } se µ < 1. 6

7 Problema 19 (Funzioni generatrici delle probabilità. Sia T una variabile aleatoria a valori interi non negativi e (X i i 1 una successione di v.a. i.i.d. a valori interi non negativi. Si supponga che T e (X i i 1 siano stocasticamente indipendenti. Si ponga per ogni t in [, 1] ψ T (t = E[t T ] ψ X (t = E[t X1 ] Si dimostri che ψ T e ψ X sono funzioni convesse e crescenti su [, 1] tali che ψ X (1 = ψ T (1 = 1. Si dimostri che se E[X 1 ] < + allora lim t 1 d dt φ(t = E[X 1]. Si dimostri che E[t T i=1 Xi ] = ψ T (ψ X (t. Problema (Branching processes seguito, ***. Sia Z n definito come nel problema precedente (Branching processes. Posto ψ n (t = E[t Zn ] e φ(t = E[t X11 ] dimostrare che ψ n (t = φ (n (t dove φ (n (t è definita per ricorsione ponendo φ (1 (t = φ(t e e dedurre che [Usare l esercizio precedente]. φ (n+1 (t = φ (n (φ(t. ψ n (t = φ(ψ (t. Ricordando (dall esercizio precedente che φ è una funzione convessa e crescente, mostrare che se E[X 11 ] = µ 1 e P {X 11 > } > allora l equazione φ(t = t in [, 1] ha come unica radice t = 1 mentre se µ > 1 esiste η < 1 tale che φ(η = η. Mostrare che se µ 1 allora lim n ψ n (t = 1 mentre se µ > 1 allora lim n ψ n (t = η per ogni t < 1. Si ponga E = {Z n = per qualche n 1} [il processo si estingue]. Si definisca η = P {E}. Dimostrare che P (E X 11 = k = η k. Usare il fatto che P (E = k P (E X 11 = kp (X 11 = k per dimostrare che η = φ(η. Si ponga η n = P {Z n = }. Mostrare che lim n η n = η. Usando i punti precedenti mostrare che η n φ(η. Dedurre che η è la più piccola radice in [, 1] di η = φ(η. In particolare quando µ > 1 sia η = η mentre per µ 1, η = P {E} = 1 [estinzione certa]. Problema 1. Sia (X n n 1 una successione di i.i.d. tale che E X 1 < +. Sia T una variabile aleatoria indipendente da (X n n 1 con legge di Poisson di parametro λ. Posto µ = EX 1, determinare dove per convenzione si intende i=1 X i = 1. [exp{ λ(1 µ}] ( T E X i i=1 7