Facoltà di Ingegneria Calcolo delle Probabilità e Statistica Ingegneria Civile e A&T e Informatica

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1 Facoltà di Ingegneria Calcolo delle Probabilità e Statistica Ingegneria Civile e A&T e Informatica Prima prova scritta A.A. 8-9 Durata della prova h Punteggi: ) + + ; ) ; ) +. Totale. Esercizio Sia Z una variabile aleatoria a valori interi positivi tale che, per n, risulti P Z n) /) n, e W un altra v.a., indipendente da Z e con la stessa distribuzione di Z. i) Calcolare P Z < W ). ii) Calcolare EZ ) W ). iii) Siano X e Y v.a. indipendenti con distribuzione di Poisson e tali che EX ) EY ). Calcolare P XY X + Y ) < 8 XY. Esercizio Per α > si consideri la funzione f : R R definita da: α e x+y) + e x+y) x >, y > f α x, y) altrimenti α e x+y) + e x+y),+ ) x),+ ) y). i) Trovare il valore ᾱ di α in modo che fᾱx, y) sia la densità congiunta di un vettore aleatorio bidimensionale. ii) Si consideri la v.a. bidimensionale X, Y ) che ha per densità fᾱx, y); si calcolino le densità marginali di X e Y, EX), EY ) e covx, Y ). Le v.a. X e Y sono stocasticamente indipendenti? iii) Trovare la densità di Z X + Y e calcolare P Y X + ). iv) Calcolare P Y X X > ). Esercizio Alcuni studenti effettuano delle misurazioni per determinare il punto di fusione dello stagno. Dai dati ottenuti da diverse misurazioni effettuate, si trova una media campionaria di.8 C. i) Supponendo che il punto di fusione cercato sia distribuito secondo una v.a. con deviazione standard σ. C, trovare un intervallo di confidenza al livello α.9 per la temperatura media di fusione dello stagno. ii) Supponiamo ora che i dati X i, i,...,, ottenuti dalle misurazioni siano estratti da una stessa distribuzione con media.8 e varianza σ, dove σ è quella del precedente punto i). Utilizzando l approssimazione normale, calcolare P X ), dove X X +X + +X. Si tratta di una probabilità minore o maggiore di /?

2 Calcolo delle Probabilità e Statistica, a.a. 8-9 Soluzioni della prima prova scritta Esercizio Dal fatto che P Z > n) /) n, si desume che Z è geometrica modificata di parametro p /, quindi P Z k) ) k, k,,... e EZ) /p. i) Si ha: P Z < W ) P Z ) < W ) P Z < W ) ) k ) k P Z < k)p W k), k k visto che P Z < k) P Z k) P Z > k ) )k. Continuando il calcolo: P Z < W ) ) k ) k ii) Si ha: Visto che la media cercata vale dove si è sostituito p /. k /9 k ) k ) 9 k k 9 ) k 9/ ) EZ ) W ) EZ Z + / + Z W /. EZ ) EW ) V arz) + E Z) p p p p /p + / + /p p p p p /p + /, + p p p, iii) X e Y hanno distribuzione di Poisson di parametro λ, da trovare. Siccome media e varianza di una v.a. di Poisson sono uguali a λ, si ha EX ) V arx) + E X) λ + λ ; imponendo che λ+λ, si ottiene una equazione di secondo grado che, risolta, fornisce λ, che si scarta, perchè negativa, e λ, che è il valore cercato. Dunque, X e Y hanno distribuzione di Poisson di parametro. Si ha: P XY X + Y ) < 8 XY P X + Y + XY < 6 ) P X + Y < ) P X + Y, }). Siccome X + Y P oisson + ), la probabilità cercata vale e 6 6 / + 6 /6 ) 6 e 6.8.

3 Esercizio i) Per α > la funzione f α x, y) è continua e positiva per x, y >. Calcolando l integrale doppio di f α x, y) esteso a R +, si ottiene α; imponendo che tale valore sia uguale a, si ottiene ᾱ. Dunque, si ottiene la densità: fᾱx, y) e x+y) + e x+y),+ ) x),+ ) y). ii) La densità marginale di X è: f X x) e x e y dy + e x e y dy,+ ) x) e x + e x / e x + e x /), x > altrimenti. Visto che l espressione di fᾱx, y) è simmetrica rispetto a x e y, si ottiene analogamente f Y y) e y + e y /), y > altrimenti. Si ha: EX) xf X x) xe x + x e x ) + ) il calcolo è stato effettuato agevolmente, ricordando la formula per la media di una v.a. esponenziale di parametro λ ). Naturalmente, si ottiene anche EY ) EX) 9, visto che X e Y hanno la stessa distribuzione. Si ha: EXY ) xe x dy ye y + dy xy e x+y) + e x+y)) + ) xe x dy ye y anche qui, abbiamo sfruttato la formula per la media di una v.a. esponenziale di parametro λ ). Quindi, otteniamo: ) 9 covx, Y ) EXY ) EX)EY ) 9.9, per cui le v.a. X e Y non sono stocasticamente indipendenti; d altra parte, ciò segue anche dal fatto che la densità congiunta di X, Y ) non è uguale al prodotto delle densità marginali. iii) La v.a. Z X + Y assume valori positivi; utilizziamo il metodo di cambiamento di variabili. Consideriamo la trasformazione x x ψ : ψ x x : z x + y y z x)/

4 La matrice Jacobiana della trasormazione inversa è : ) J ψ x, z), / / che ha determinante uguale a /. Quindi, si ottiene per la densità congiunta di X, Z) : f X,Z) x, z) f X,Y ) x, z x)/) e x+z x)/) + e x+z x)/),+ ) x) x<z} z) e x+z/) + e x+z),+ ) x) x<z} z). Quindi, per z > la densità di Z è: Inoltre: iv) Si ha: z f Z z) e x+z/) + e x+z),+ ) x) x<z} z) e z/ e x/ + e z e x) e z/ e z/ ) + e z e z ) e z/ e z e z, z >. P Y X + ) x+ e x e y dy + e + P Y X X > ) e x e x ) + e x e x e ) + x+ e x dyfᾱx, y) x+ e y dy e x e x ) e x e 6x e ) ) 6 e e e ).898 P Y X, X > ) P X > ) dove fx, y) è la densità di X, Y ), f X x) è la densità di X e A x, y) R : x >, < y < x}. Il numeratore vale: Num x x e x dye y + e x e x ) + A fx, y)dy f X x), dy e x+y) + e x+y)) e x x dye y e x e x )

5 Il denominatore vale: Denom Dunque, la probabilità cercata è: e x e x ) + e 8 e e ).6 e x e x ) e x + e x ) e + e ). Num e Denom 8 e e ) e + e ) 8 e e + e.88. Esercizio Un intervallo I di confidenza a livello α per la media incognita di una distribuzione avente varianza σ, è: I x n σ ϕ α/, x + n σ ϕ α/ ) dove x è la media campionaria e ϕ β è il quantile della Gaussiana standard, tale che Φϕ β ) β. Nel caso in esame, si ha n, la media campionaria è x.8, e σ.; i) se α.9, allora α/.97, e quindi dalla tavola dei valori di Φ si ricava ϕ α.96. Sostituendo in ), si ottiene che un intervallo di confidenza per la temperatura media di fusione dello stagno, al livello.9 è: I , ,.88. ii) Si ha: P X t ) ) X + X + + X P t P X + X + + X t) ) X + X + + X.8 P. t.8. che, per l approssimazione normale vale circa ) ) t.8) t.8) Φ. Φ.. Quindi, per t, si ottiene: ).8) P X ) Φ Φ.98).9..