Segnali e Sistemi (Ingegneria Informatica)

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1 Segnali e Sistemi (Ingegneria Informatica) Lezione 8 last update Nov 20, 2004 c 2004 Finesso, Pavon, Pinzoni 1

2 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI CONTINUI Motivazione rete elettrica in regime sinusoidale cos ωt h(t) z(t) = + h(τ) cos ω(t τ)dτ Poichè cos ωt =Re [ ] ed h(t) è reale possiamo scrivere [ + z(t) = h(τ)re[ e jω(t τ) ] ] + dτ =Re h(τ)ejω(t τ) dτ =Rey(t) dove y(t) è la risposta di h(t) al segnale h(t) y(t) = + h(τ)ejω(t τ) dτ 2

3 Definizione della risposta in frequenza Sia x(t) =,t R, l ingresso di un sistema LTI di r.i. h. h(t) y(t) L uscita y(t) è y(t) = + h(τ)ejω(t τ) dτ = [ + avendo definito la risposta in frequenza h(τ)e jωτ dτ ] = H(jω)x(t) H(jω) := + h(τ)e jωτ dτ Condizione sufficiente per l esistenza di H(jω): h BIBO stabile. Dim.: H(jω) := + h(τ)e jωτ dτ < + h(τ) dτ < 3

4 Esempi di calcolo di H(jω) Esempio 1 h(t) = δ(t) sistema identità, H(jω) = 1 Esempio 2 h BIBO stabile e 2t u(t) y(t) H(jω) = + e 2τ u(τ)e jωτ dτ = + 0 e (2+jω)τ dτ = 1 2+jω Esempio 3 h instabile (derivatore) δ (t) y(t) La risposta a x(t) = è y(t) =jω, dunque H(jω) =jω. NOTA H(jω) è ben definita se la risposta del sistema all ingresso x(t) =,t R è limitata per ogni ω R. 4

5 Esempio di calcolo della risposta in regime sinusoidale Calcolare l uscita x(t) = cos 3 t =Re y(t) = Re = Re [ ] e j 3 t [ H(j ] 3) e j 3 t [ 1 2 e j π 3 e j ] 3 t cos 3 t =Re [ e t u(t) 1 1+j 3 ej = 1 2 cos( 3 t π 3 ) 3 t ] y(t) In generale: Modulo e fase di H(jω) rappresentano il fattore di scala e lo sfasamento dell uscita rispetto all ingresso. ω non cambia! cos ωt H(jω) cos(ωt +argh(jω)) 5

6 Interpretazione geometrica h H(jω)ejωt Nel linguaggio dell algebra lineare: x(t) = è una autofunzione del sistema LTI h. H(jω) è il corrispondente autovalore. Le trasformazioni lineari in R n hanno al più n autovettori. I sistemi LTI hanno infinite autofunzioni: una per ogni ω R. Domanda di verifica: Tra le seguenti riconoscere possibili coppie ingresso-uscita di un sistema LTI. ( e j3t, 4 cos 3t ), (cos 2t, 0), ( 2e j3t +3e j5t, 4e j8t). 6

7 RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI DISCRETI Sia x(n) =e jωn,n Z, l ingresso di un sistema LTI di r.i. h. e jωn h(n) y(n) L uscita y(n) è y(n) = + k= h(k)e jω(n k) = + k= avendo definito la risposta in frequenza h(k)e jωk e jωn = H(e jω )x(n) H(e jω ):= + k= h(k)e jωk Condizione sufficiente per l esistenza di H(e jω ): h BIBO stabile. Dim.: H(e jω ) := + k= h(k)e jωk < + k= h(k) < 7

8 Differenze rispetto al caso continuo L ingresso x(t) = è periodico qualunque sia ω. L uscita y(t) =H(jω) è sempre periodica L ingresso x(n) =e jωn è periodico sse ω 2π Q. L uscita y(t) =H(e jω )e jωn è periodica sse x(t) è periodico. Esistono autofunzioni non periodiche! H(e jω )è periodica in ω di periodo 2π. Le pulsazioni discrete appartengono all intervallo [ π, π] Le frequenze discrete a [ 1 2, 1 2 ]. 8

9 Esempi di calcolo di H(e jω ) Esempio 1 h(n) =δ(n) sistema identità, H(e jω )=1 Esempio 2 h BIBO stabile ( a < 1) e jωn a n u(n) y(n) H(e jω )= + k= a n u(n)e jωn = + k=0 ( ae jω ) n = 1 1 ae jω NOTA Modulo e fase di H(jω) rappresentano il fattore di scala e lo sfasamento dell uscita rispetto all ingresso. ω non cambia! cos ωn H(e jω ) cos(ωn +argh(e jω )) 9

10 Risposta in frequenza della cascata di due sistemi LTI h 1 w(t) h 2 y(t) Chiaramente w(t) =H 1 (jω), y(t) =H 2 (jω)h 1 (jω) Riassumendo quanto visto: La cascata dei sistemi LTI di r.i. h 1 e h 2 è LTI con h(t) =h 1 (t) h 2 (t) H(jω) =H 1 (jω)h 2 (jω) Analogamente per i sistemi discreti. 10