In questa Appendice sono riportate schematicamente le proprietà più importanti della trasformata di

Transcript

1 Appendice F Proprietà della trasformata di Fourier In questa Appendice sono riportate schematicamente le proprietà più importanti della trasformata di Fourier per segnali TC e TD. Inoltre, sono riportate alcune trasformate notevoli TC e TD. F. Trasformata di Fourier a TC F.. Definizioni F..2 xt xt= X f = X f Proprietà. Linearità: α xt+α 2 yt X f e j2π ft d f equazione di sintesi xte j2π ft dt equazione di analisi α X f +α 2 Y f, α,α 2 C. 2. Valore nell origine: X0= xtdt, x0= X f d f. Nota: vale se le quantità calcolate ad ambo i membri sono finite. 3. Dualità: xt Xt X f, x f.

2 48 Proprietà della trasformata di Fourier 4. Simmetria: x t x t x t X f, X f, X f. Nota: come conseguenza, un segnale pari ha spettro pari, un segnale dispari ha spettro dispari, un segnale reale ha spettro hermitiano, un segnale reale e pari ha spettro reale e pari, un segnale reale e dispari ha spettro immaginario puro e dispari. 5. Traslazione nel tempo: yt=xt t 0 6. Traslazione in frequenza: 7. Modulazione: yt=xte j2π f 0t yt=xt cos2π f 0 t +ϕ 0 Y f =X f e j2π ft 0, t 0 R. Y f =X f f 0, f 0 R. Y f = 2 e jϕ 0 X f f e jϕ 0 X f + f 0, f 0,ϕ 0 R. 8. Cambiamento di scala: yt=xat 9. Derivazione nel tempo: yt= dk dt k xt 0. Derivazione in frequenza: t k xt Y f = a X f, a R {0}. a Y f =j2π f k X f, k N. d k j2π k X f, k N. d f k. Integrazione: t yt= xτ dτ Y f = X f X0δ f + 2 j2π f. Nota: se X0= xtdt = 0 si ha una versione semplificata senza la parte impulsiva. 2. Convoluzione: zt =xt yt = xτyt τdτ Z f =X f Y f.

3 F. Trasformata di Fourier a TC Prodotto: 4. Parseval: zt =xt yt E x = FS Z f =X f Y f = XλY f λdλ. xt 2 dt = X f 2 d f, E xy = xty tdt = X f Y f d f. Nota: xt eyt segnali di energia a quadrato sommabile. 5. Replicazione/campionamento: yt= yt= k= 6. Formule di Poisson: k= k= xt k xk δt k xt k = X k= xk e j2π T k t 0 = k= X k= Y f = k X k= Y f = X k= k δ f k, R +, f k, R +. e j2π k t, T0 R + prima formula di Poisson, f k, R + seconda formula di Poisson.

4 50 Proprietà della trasformata di Fourier F..3 Trasformate notevoli Segnale xt Trasformata X f δt δ f ut δ f + 2 j2π f sgnt jπ f t jπsgn f rectt sinc f Λt sinc 2 f sinct rect f sinc 2 t Λ f e at ut, a R + a + j2π f te at ut, a R + a + j2π f 2 e a t, a R + 2a a 2 +2π f 2 e j2π f 0t δ f f 0 cos2π f 0 t + ϕ 0 2 e jϕ 0 δ f f e jϕ 0 δ f + f 0 sin2π f 0 t + ϕ 0 δt k, R + k= 2 j e jϕ 0 δ f f 0 2 j e jϕ 0 δ f + f 0 δ f k k= Nota: applicando la proprietà di dualità è possibile ottenere da ogni coppia xt X f una nuova coppia Xt x f le più importanti sono comunque riportate per completezza. F.2 Trasformata di Fourier a TD F.2. Definizioni xn xn= Xν= Xν /2 /2 Xνe j2πνn dν xne j2πνn n= equazione di sintesi equazione di analisi Nota: Xν è una funzione periodica di periodo.

5 F.2 Trasformata di Fourier a TD 5 F.2.2 Proprietà. Linearità: α xn+α 2 yn 2. Valore nell origine: X0= n= α Xν+α 2 Y ν, α,α 2 C. /2 xn, x0 = Xνdν. /2 Nota: vale se le quantità calcolate ad ambo i membri sono finite. 3. Simmetria: x n x n x n X ν, X ν, X ν. Nota: come conseguenza, un segnale pari ha spettro pari, un segnale dispari ha spettro dispari, un segnale reale ha spettro hermitiano, un segnale reale e pari ha spettro reale e pari, un segnale reale e dispari ha spettro immaginario puro e dispari. 4. Traslazione nel tempo: yn=xn n 0 5. Traslazione in frequenza: 6. Modulazione: yn=xne j2πν 0n yn=xn cos2πν 0 n+ϕ 0 Y ν=xνe j2πνn 0, n 0 Z. Y ν=xν ν 0, ν 0 R. Y ν= 2 e jϕ 0 Xν ν e jϕ 0 Xν +ν 0, ν 0,ϕ 0 R. 7. Espansione: [ n ] yn=x L Y ν=xlν, L N. 8. Decimazione: 9. Differenza: yn=xnm Y ν= M M k [xn] = { k [xn]} ν k X, M N. M Y ν= e j2πν k Xν, k N.

6 52 Proprietà della trasformata di Fourier 0. Derivazione in frequenza:. Somma: n k xn yn= n k= Nota: se X0= 2. Convoluzione: 3. Prodotto: d k j2π k Xν, k N. dνk xk n= zn =xn yn = zn =xn yn Y ν= X0 δν+ Xν 2 e j2πν. xn=0 si ha una versione semplificata senza la parte impulsiva. k= xkyn k Zν=XνYν. /2 Zν=Xν Y ν= XλY ν λdλ. /2 Nota: nel dominio della frequenza si effettua la convoluzione periodica. 4. Parseval: E x = n= /2 xn 2 = /2 Xν 2 dν, E xy = n= Nota: xn eyn segnali di energia a quadrato sommabile. 5. Replicazione/campionamento: yn= yn= k= k= 6. Formule di Poisson: k= xn k xk δn k xn k = X xk e j2π N k n 0 = k= Y ν= X Y ν= k /2 xny n= XνY νdν. /2 k X δ ν kn0, N, X ν kn0, N. e j2π k n, N0 N prima formula di Poisson, ν kn0, N seconda formula di Poisson.

7 F.2 Trasformata di Fourier a TD 53 F.2.3 Trasformate notevoli Segnale xn δn δν un sgnn R N n B 2N n sinc2ν c n,0< ν c < 2 sinc 2 2ν c n,0< ν c < 2 a n un, a < n + a n un, a < a n, a < Trasformata Xν δν+ 2 2 e j2πν e j2πν D N ν N D2 Nνe j2πν [ ] ν rep 2ν rect c 2ν [ ] c ν rep 2ν Λ c 2ν c ae j2πν ae j2πν 2 a 2 + a 2 2a cos2πν e j2πν 0n δν ν0 cos2πν 0 n + ϕ 0 2 e jϕ 0 δν ν0 + 2 e jϕ 0 δν + ν0 sin2πν 0 n + ϕ 0 δn k, N k= 2 j e jϕ 0 δν ν0 2 j e jϕ 0 δν + ν0 N 0 δ ν kn0