La Trasformata di Fourier

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1 La rasformata di Fourier Mauro Zucchelli Univeristà degli studi di Verona, Dipartimento di Informatica April, 7 La serie di Fourier Data una funzione ft definita in un intervallo di tempo, la possiamo esprimere in serie di Fourier come ft a + a n cosn t + b n sinn t n Dove i coefficienti a, a n e b n sono calcolati come a ftdt a n ft cosn tdt 3 b n ft sinn tdt 4 e l armonica fondamentale è definita come π. La formula di Eulero mette in relazione le funzioni trigonometriche seno e coseno con l esponenziale complesso: e ix cosx + i sinx 5 cosx eix + e ix sinx eix e ix Possiamo quindi riscrivere la serie di Fourier e i relativi coefficienti come ft c n i 6 7 c n e int 8 fte int dt 9 n.b. la serie di Fourier è periodica in n.b.b. assumendo ft periodica in possiamo scrivere come / /

2 La trasformata di Fourier continua Considerando un segnale aperiodico ft, possiamo costruire un segnale periodico f t ripetendo il segnale originario ft ogni secondi. Questo nuovo segnale f t può essere rappresentato come serie di Fourier: f t c n / / c n e int f te int dt con π Quando il limite lim f t ft. Sostituendo nelle equazioni della serie di Fourier ft lim / c n lim / Chiamando F n lim c n possiamo scrivere F lim / / c n e int fte it dt f te int dt 3 f te it dt 4 considerando per semplicità uguale a n per adesso. La serie di Fourier può essere dunque espressa come: ft lim F n e int 5 Considerando che quando abbiamo che. Possiamo quindi definire il differenziale lim e sostrituirlo nella formula della serie ft lim F n e in t 6 π Questa sommatoria a limite per, può essere vista come l area sottostante la funzione F e it approssimata con il metodo dei rettangoli. Possiamo dunque riscrivere tutto sotto forma di integrale come ft π F F e it dt 7 fte it dt 8 Il passaggio da ft a F prende il nome di trasformata di Fourier continua, mentre il passaggio da F a ft rappresenta la trasformata di Fourier inversa.

3 n.b. Alle volte si trova la trasformata di Fourier esplicitata nello spazio delle frequenze non normalizzate f. Considerando che può essere scritto come πf e la funzione nel dominio nel tempo come xt per evitare ambiguità, la trasformata di Fourier può anche essere scritta come xt π Xf le due notazioni sono completamente equivalenti. 3 Alcuni esempi di CF Xfe πift dt 9 xte πift dt 3. La funzione rect La funzione rect è definita come:, if t > rectt, if t, if t < La sua trasformata di Fourier può essere calcolata come: F / / i rectte it dt e it dt e i e i sin/ sin/ / 3. La funzione Gaussiana La funzione Gaussiana è definita come: ft e t σ 3 dove σ è la deviazione standard. La sua trasformata di Fourier si può calcolare come: F e t σ e it dt e t σ dt +it 4 3

4 rectt sinc/ ft F t 4 4 Figure : La funzione rect sinistra e la sua trasformata di Fourier destra. Usando il seguente integrale indefinito e ax +bx+c dx π b a exp ac ax b erf + a a 5 dove erf è la funzione degli errori vedi Fig. erfx 4 4 x Figure : La funzione erf. Considerando che nel nostro caso a σ, b i σ F [ πσ exp πσ exp σ πσ exp σ πσ exp σ πσ exp σ erf e c possiamo scrivere: σ t + i ] σ ] σ [ erf σ t + i [ erf erf [ ] ] 6 4

5 e t σ πσ exp σ.5.5 ft F 5 5 t 5 5 Figure 3: La funzione Gaussiana sinistra e la sua trasformata di Fourier destra, con σ. 3.3 La funzione delta di Dirac La funzione delta di Dirac, o δ, è definita come: {, se t δt, se t 7 Alternativamente, la funzione δt può essere definita come: n δt lim exp n t 8 n π La sua trasformata di Fourier può essere calcolata come: F δte it dt n lim exp n t e it dt n π 9 Ponendo n σ, ritroviamo l integrale della funzione Gaussiana svolto precedentemente: n π F lim n π n exp lim exp n 4n 4n 3 5

6 δt ft F t Figure 4: La funzione delta di Dirac sinistra e la sua trasformata di Fourier destra 3.4 La funzione δt τ La funzione δt τ, non è altro che una delta di Dirac spostata di τ, ed è definita come: {, se t τ δt τ 3, se t τ La sua trasformata di Fourier è definita come: F lim n lim n lim n δt τe it dt n π n π n π n e t τ e it dt exp n t n τt + n τ + it dt exp n t + i n τ t + n τ dt 3 6

7 Usando l Eq. 5 con a n, b i n τ e c n τ otteniamo [ n π F lim n π n exp i n τ n 4 τ n erf n t + i lim n exp n τ n 4 τ [ i n erf nt + n τ ] n i lim n exp n τ n 4 τ [ n erf nt + i ] n nτ i lim n exp n τ n 4 τ [ ] n erf erf i lim n exp n τ n 4 τ [ ] n i lim exp n τ n 4 τ n n lim exp n n iτ + n τ n τ n e n e iτ lim i n τ ] n e iτ 33 4 Le proprietà della CF La tabella illustra le principali proprietà della trasformata di Fourier. Vediamone Operazione ft F addizione f t + f t F + F moltiplicazione per uno scalare kft kf simmetria F t πf dilatazione con a reale fat a F a time shift ft τ F e iτ convoluzione nel tempo f t f t F F moltiplicazione nel tempo f tf t π F F able : Proprietà della trasformata di Fourier continua ora alcune applicazioni pratiche: 7

8 4. La traformata di Fourier dell esponenziale complesso L esponenziale complesso è definito come: ft e it 34 Possiamo sfruttare le proprietà della trasformata di Fourier per calcolare F e it e it dt 35 Abbiamo visto nella sezione precedente che dato ft δt τ la sua trasformata risulta uguale a F e iτ. Considerando la proprietà di simmetria e ponendo τ abbiamo che La nostra trasformatà di Fourier risulta quindi F t πf 36 F πδ + πδ La traformata di Fourier del coseno La trasformata di Fourier della funzione ft cos t si puà calcolare sfruttando le formula di Eulero come la trasformata di due esponenziali complessi: F cos te it dt e it + e it e it dt [ ] e it e it dt + e it e it dt [ ] πδ + πδ + [ ] π δ + δ Moltiplicazione e convoluzione per una delta Moltiplicare una funzione ft per una delta di Dirac δt corrisponde a calcolare: ftδt ftδtdt f 39 per definizione. Allo stesso modo la moltiplicazione di ft per la funzione delta traslata δt τ ftδt τ ftδt τdt fτ 4 8

9 cos t [ ] π δ + δ + ft F 5 5 t 4 4 Figure 5: La funzione cost sinistra e la sua trasformata di Fourier destra La convoluzione di ft per δt τ corrisponde a calcolare: ft δt τ ft τ f δt τ d f δ τ + td f δ + t τd f δ t τd 4 La convoluzione con una delta traslata di τ equivale quindi a traslare la funzione di τ. 4.4 rasformata di Fourier di una funzione traslata La trasformata di Fourier di una funzione traslata ft τ equivale a calcolare: F Fft τ Fft δt τ FftFδt τ F e iτ 4 Il risultato è equivalente ad applicare la proprietà di time shift della trasformata. 4.5 La funzione treno di delta Un treno di delta t con frequenza, chiamato comunemente pettine di Dirac è definito come: t 9 δt n 43

10 Il treno di delta, essendo una funzione periodica, può anche essere rappresentato in serie di Fourier ft k c ke ikt, dove i coefficienti c n si possono calcolare come da definizione: c k te it dt / / / / te it dt δte it dt considerando che nell intervallo [, ] t δt e che l integrale / / δte it dt è uguale a e i essendo l integrale di una funzione per una delta. La funzione t può essere quindi scritta come: 44 t δt n k e ikt π 45 dato che π per definizione. 4.6 rasformata di Fourier di un treno di delta La trasformata di Fourier del treno di delta si può calcolare come F te it dt δt n e it dt e in δt n e it dt 46 Considerando che e in per la proprietà commutativa è uguale a ein, possiamo ricondurre F alla definizione alternativa di treno

11 di delta: F π e in e in k π π δ k π 47 questo ponendo, con un piccolo abuso di notazione, π, t e k n nella definizione di t. In conclusione, la trasformata di Fourier di un treno di delta non è altro che un treno di delta nel dominio delle frequenze con passo di campionamento inversamente proporzionale a quello del dominio del tempo. Questo fatto implica che, nel caso del treno di delta, un campionamento molto fitto nel tempo molto piccolo implica un campionamento grossolano nelle frequenze π grande e viceversa. 4.7 rasformata di Fourier di una funzione periodica La rappresentazione periodica di una funzione ft, con periodo può essere definita come xt ft n 48

12 La sua trasformata di Fourier è definita come X Fxt F F F ft ft n ft δt n F ft F F π π π k k k k δt n δt n δ k π F δ k π F k π F k k F [k] 49 La trasformata di Fourier di una funzione periodica risulta quindi equivalente alla trasformata di Fourier della funzione stessa, ma campionata con una frequenza inversamente proporzionale al periodo della funzione vedi Fig. 6 confrontata con Fig. 3.

13 ft n k F k.5.5 xt X 5 5 t xt X 5 5 t 5 5 Figure 6: Una Gaussiana periodica sinistra e la sua trasformata di Fourier destra. ella prima riga la funzione è periodica con 5, nella seconda con. 5 La trasformata di Fourier a tempo discreto DF La trasformata di Fourier a tempo discreto, in inglese Discrete ime Fourier ransform DF, rappresenta la trasformata di Fourier di una funzione campionata nel dominio del tempo. ale funzione può essere definita come: xt f[n] fn 5 La sua trasformata di Fourier, e quindi la sua DF, può essere definita 3

14 come: X Fxt F F F ft F ft fn ftδt n δt n δt n ft π F F π F F π F π F k k k k k δ F δ F k π F k δt n δt n δ k π k π k π 5 La DF non è altro che la periodizzazione nel dominio delle frequenze della trasformata di Fourier della funzione campionata ft. La Fig. 7 mostra alcuni esempi di DF nel caso di ft Gaussiana. Si noti come, con il progressivo aumentare di, F si sovrappongano effetto meglio noto come aliasing. Per evitare questo fenomeno è necessario che / sia almeno il doppio della frequenza massima del segnale teorema di yquist-shannon. 4

15 fn k F k xt X 5 5 t xt X 5 5 t xt X 5 5 t 5 5 Figure 7: Una Gaussiana σ campionata nel dominio del tempo sinistra e la sua trasformata di Fourier DF destra. ella prima riga la funzione è campionata con, nella seconda con e nella terza con 3. Un modo alternativo di calcolare la trasformata di Fourier di una funzione 5

16 campionata è il seguente: X xte jt dt f[n]e jt dt fn e jt dt ftδt n e jt dt ftδt n e jt dt fn e jn f[n]e jn 5 In questo modo possiamo calcolare X direttamente dai valori dei campioni di f[n]. Considerando la simmetria della serie di esponenziali complessi X è equivalente a X f[n]e jn 53 È interessante notare la simmetria che c è tra X e la rappresentazione di un segnale in serie di Fourier: ft c n e jtn 54 dove in questo caso i coefficienti di Fourier sono i punti della nostra funzione c n f[n], e siamo nel dominio delle frequenze anziché in quello del tempo. 6

17 6 Dalla DF alla DF La DF nel dominio delle frequenze è una funzione continua. Possiamo pensare di campionarla con passo di campionamento π, dove è il numero di campioni di f[n], ed ottenere così una sua versione a frequenze discrete: X [k] π π X π π jkn f[n]e π X π π f[n]e jkn π 55 Possiamo ricavare il segnale che genera tale funzioni nel dominio nel tempo calcolando l anti-trasformata di X[k] xt F X F k F k X[k] π f[n]e jkn π F f[n] π e jkn π k F jn π f[n]e δ π k F f[n]e jn F π δ π k f[n] δ t m m f[n m] m 56 Il segnale nel dominio nel tempo, non è altro che il segnale campionato f[n] periodico che si ripete ogni campioni, equivalenti a secondi. Questo è in linea con i risultati precendentemente ottenuti che volevano che la trasformata di Fourier di un sengale periodico, è un segnale campionato nel dominio delle frequenze. Dato un segnale tempo discreto, periodico, possiamo quindi calcolare la sua trasformata di Fourier discreta, o in inglese discrete Fourier transform DF come X[k] n f[n]e jkn π 57 In modo analogo possiamo ricavare la DF inversa come x[n] k 7 X[k]e jkn π 58

18 È interessante notare come nella DF si ha lo stesso numero di campioni della versione aperiodica del segnale considerato sia nel dominio del tempo che nelle frequenze. Per come è stato definito inoltre, la risoluzione delle nostre frequenze è uguale a π. Per campionare in modo più fino lo spazio delle frequenze sono possibili due strategie: o si incrementa la distanza dei campioni nel dominio nel tempo questa scelta è sconsigliata per i motivi visti con la DF, oppure. el caso di un segnale Gaussiano nel dominio del tempo che decade a zero all interno di come nel caso dell esempio in figura 7, un modo semplice per aumentare la risoluzione delle frequenza consiste nell aggiungere degli zeri in testa e in coda del nostro segnale: questa operazione prende il nome di zeropadding. AEZIOE: nel caso la funzione non decada a zero all interno di, aggiungere degli zeri vuol dire moltiplicare xt per una funzione rect. Questa operazione equivale a convolvere X per il sinc/ nel dominio delle frequenze, generando delle distorsioni. 8