Esame di Fisica Matematica 2, a.a (8/5/2014)

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1 Esame di Fisica Matematica, a.a (8/5/04) Tempo a disposizione: DUE ORE E MEZZA. Svolgere tutti gli esercizi. Scrivere chiaramente nome, cognome e numero di matricola. Non è consentito l uso di libri, appunti o calcolatrici. Due punti (su trenta) sono riservati per la chiarezza di esposizione, ogni esercizio conta per 7/30. Esercizio. Si risolva l equazione delle onde u tt = 6 u xx per u = u(x, t) con x R per il dato iniziale u(x, 0) = + x, u t(x, 0) = x + x. Esercizio. Si risolva l equazione u xt = u xx per u = u(x, t), definita e di quadrato sommabile su x [0, π] e con condizioni al bordo periodiche, u(x, t) = u(x + π, t), determinandone la soluzione generale che abbia media nulla su [0, π]. Determinare inoltre la soluzione, tra queste, che soddisfa u(x, 0) = sin(x) cos(x). [Suggerimento: è possibile procedere in diversi modi; almeno uno di questi richiede solo calcoli molto semplici.] Esercizio 3. Si calcoli la trasformata di Fourier per la funzione F (x) = x e (x a) /A + (x a) e x /A. Esercizio 4. Consideriamo gli operatori lineari A = ( x +, B = ( x definito sullo spazio delle funzioni L [R] che vanno a zero per x ± dotato del prodotto scalare standard. Si chiede di determinare gli operatori aggiunti A + e B +, nonché i prodotti H = A B e K = B A. Determinare inoltre i commutatori [A, B], [H, A], [K, B], [H, K].

2 Tabella delle più comuni trasformate di Fourier Nel seguito indichiamo con δ(x) la delta di Dirac, con Θ(x) la funzione gradino, e con χ(a) la funzione caratteristica dell intervallo [ a, a], cioè Θ(x) = { per x 0 0 per x < 0 ; χ(x) = { 0 per x > A per x A. La convenzione usata è la seguente: data una funzione f(x), la sua trasformata di Fourier è la funzione f(k) = f(x) e ikx ; π la antitrasformata di Fourier della funzione f(k) è data da f(x) = π f(k) e ikx dk. Il parametro A sarà sempre supposto essere reale e positivo. f(x) f(k) f(x) f(k) χ(a) /π [sin(ak)/k] /π sin(ax)/x χ(a) (/ π) e x /(A ) (A/ π) e A k / (A/ π) e A x / (/ π) e k /(A ) e A x /π A A +k /π A A +x δ(x) (/ π) e A k π δ(k) x e x /(A ) i k A 3 e A k / i x e x / k e k / Integrale gaussiano generale Può essere utile ricordare che per c reale e negativo si ha (p + qx + rx ) e a+bx+cx = = e [a (b /(4c))] 4c π c (4c p bcq + b r cr) Questa pagina è inserita in tutti i compiti, e non è necessariamente da utilizzare.

3 SOLUZIONI. Esercizio. Si risolva l equazione delle onde u tt = 6 u xx per u = u(x, t) con x R per il dato iniziale u(x, 0) = + x, u t(x, 0) = x + x. Soluzione. Dato che il problema è definito su tutto R, conviene utilizzare il metodo delle caratteristiche. Sappiamo che la soluzione generale sarà della forma u(x, t) = f(x vt) + g(x + vt) ; in questo caso v = 6, quindi v = 4. Per ricavare le funzioni f e g dai dati iniziali, possiamo o utilizzare le formule generali ottenute a lezione, o procedere come segue. La funzione u t è in generale in t = 0 abbiamo quindi u t (x, t) = v [g (x + vt) f (x vt)] ; u(x, 0) = f(x) + g(x), u t (x, 0) = v[g (x) f (x)]. Segue che, imponendo i dati iniziali u(x, 0) = φ(x), u t (x, 0) = ψ(x), otteniamo g(x) = φ(x) f(x), e v[φ f f ] = ψ; quindi, indicando con χ(x) una primitiva di ψ/v, abbiamo f (x) = (/)[φ χ ], ed in conclusione (la costante arbitraria può essere presa nulla come discusso a lezione e nelle dispense) Nel nostro caso, da queste segue f(x) = φ(x) = φ(x) χ(x) ; g(x) = φ(x) + χ(x) + x, ψ(x) = x + x ; χ(x) = log( + x ). v Non resta che applicare le formule generali, ottenendo f(x) = [ + x ] 8 log( + x ), g(x) = [ + x + ] 8 log( + x ).. 3

4 La soluzione cercata è quindi u(x, t) = [ ] + (x 4t) + + (x + 4t) + [ ( log + (x + 4t) ) log ( + (x 4t) )]. 6 Esercizio. Si risolva l equazione u xt = u xx per u = u(x, t), definita e di quadrato sommabile su x [0, π] e con condizioni al bordo periodiche, u(x, t) = u(x + π, t), determinandone la soluzione generale che abbia media nulla su [0, π]. Determinare inoltre la soluzione, tra queste, che soddisfa u(x, 0) = sin(x) cos(x). Soluzione. E possibile procedere in (almeno) due modi, cioè con il metodo di Fourier o con il metodo delle caratteristiche; il primo è più standard, il secondo richiede calcoli molto semplici pur di effettuare il cambio di variabili appropriato.. Metodo di Fourier. Dato che u L [0, π] deve essere periodica, possiamo usare la base dei seni e coseni (o equivalentemente quella degli esponenziali e ikx con k Z, discuto solo la soluzione con i seni e coseni); scriviamo quindi u come u(x, t) = u 0 (t) + Segue da questa che k= [A k (t) cos(kx) + B k (t) sin(kx)]. u xx = k u xt = k k k [A k (t) cos(kx) + B k (t) sin(kx)] ; [B k(t) cos(kx) A k(t) sin(kx)]. Notiamo che u 0 (t) non appare in queste espressioni; essa risulterà quindi completamente indeterminata (nella soluzione generale). Per l ortogonalità delle funzioni della base in [0, π], l equazione u xt = u xx richiede di avere k A k = k B k, k B k = k A k ; e questo k. Ricordando che k, e quindi in particolare k 0, possiamo dividere per k ed ottenere A k = k B k, B k = k A k. ( ) 4

5 Segue da queste che A k = k A k, B k = k B k. Scriviamo quindi A k (t) = α k cos(kt) + β k sin(kt) ; B k (t) = ξ k cos(kt) + η k sin(kt). Queste implicano che A k = kβ k cos(kt) kα k sin(kt) ; B k = kη k cos(kt) kξ k sin(kt). Le condizioni (*) implicano che sia ξ k = β k, η k = α k. Inserendo queste nelle formule precedenti, otteniamo A k (t) = α k cos(kt) + β k sin(kt), B k (t) = β k cos(kt) α k sin(kt) ; ed infine u(x, t) = u 0 (t) + k [(α k cos(kt) + β k sin(kt)) cos(kx) + (β k cos(kt) α k sin(kt)) sin(kx)]. Abbiamo così determinato la soluzione generale. Le funzioni seno e coseno hanno media nulla sul cerchio, quindi la condizione sulla media di u non fa altro che imporre u 0 (t) = 0. E conveniente utilizzare le formule trigonometriche per semplificare l espressione ottenuta; abbiamo u(x, t) = k = k [(α k cos(kt) + β k sin(kt)) cos(kx) + (β k cos(kt) α k sin(kt)) sin(kx)] α k [cos(kt) cos(kx) sin(kt) sin(kx)] = + β k [sin(kt) cos(kx) + cos(kt) sin(kx)] α k cos[k(x + t)] + β k sin[k(x + t)]. k= Al tempo t = 0 si ha u(x, 0) = α k cos(kx) + β k sin(kx) ; k= 5

6 richiedere u(x, 0) = sin(x) cos(x) = (/) sin(x) impone quindi che tutti i coefficienti α k e β k siano nulli, ad eccezione di β = /. La soluzione particolare cercata è quindi u(x, t) = sin[(x + t)].. Metodo delle caratteristiche. Scriviamo u x = v. ( ) L equazione da studiare diviene allora v x = v t la soluzione è evidentemente v(x, t) = f(x + t). Integrando, ossia invertendo la (*), abbiamo u(x, t) = F (x, t) + φ(t), con F una primitiva di f; notiamo che trattandosi di una integrazione in x di una funzione di x e t, la costante di integrazione è in realtà una funzione della sola t, appunto la φ(t) che appare nella formula precedente. La richiesta di periodicità in x con media nulla per la u (e quindi per F + φ) significa che u x deve avere anch essa periodicità in x e media nulla ; dunque che f sia a media nulla e periodica. A sua volta questo implica che sia φ(t) = 0 e che F sia periodica di periodo π; possiamo quindi scrivere F (x, t) = α k cos[k(x + t)] + β k sin[k(x + t)]. k= (Si noti che la somma inizia da k = ; il termine costante si esclude per la richiesta di media nulla.) Al tempo t = 0 si ha F (x, 0) = α k cos(kx) + β k sin(kx) ; k= Per questo, basterebbe la richiesta di media costante per u. 6

7 richiedere u(x, 0) = sin(x) cos(x) = (/) sin(x) impone quindi che tutti i coefficienti α k e β k siano nulli, ad eccezione di β = /. La soluzione particolare cercata è quindi u(x, t) = sin[(x + t)]. Esercizio 3. Si calcoli la trasformata di Fourier per la funzione F (x) = x e (x a) /A + (x a) e x /A. Soluzione. La trasformata è calcolata usando quanto fornito nella tabella delle trasformate di Fourier 3 (per la funzione Gaussiana) e le proprietà generali delle trasformate, in particolare le proprietà di linearità e di traslazione. Sappiamo che [ ] T e A x / = (/A)e k /(A ) ; [ ] T x e A x / = i (k/a 3 ) e k /(A ). Scrivendo A = /α e y = (x a), abbiamo [ T x e (x a) /A ] ( = e ika T [(y + a) e α y ]) ( [ = e ika T y e α y ] + a T [e α y ]) ( = e ika i (k/α 3 ) e k /(α ) ) + a (/α) e k /(α ) = e ika ( i k A 3 e A k / + a A e A k / ) ( = e ika A ( a i k A ) ) e A k / ; [ T (x a) e x /A ] [ = T x e α x ] [ a T e α x ] = i (k/α 3 ) e k /(α ) a (/α)e k /(α ) = i (ka 3 ) e A k / a A e A k / = A ( a + i k A ) e A k /. 3 Attenzione: la tabella era fornita, per un errore di copia, con una convenzione diversa da quella usata nel corso per la definizione di trasformata ed antitrasformata; in questa soluzione (e nel testo precedente) sono state ripristinate le convenzioni usate a lezione. 7

8 Quindi, in conclusione, T [F ] = e A k / [ A a ( e ika ) i A 3 k ( e ika + )]. Esercizio 4. Consideriamo gli operatori lineari A = ( x +, B = ( x definito sullo spazio delle funzioni L [R] che vanno a zero per x ± dotato del prodotto scalare standard. Si chiede di determinare gli operatori aggiunti A + e B +, nonché i prodotti H = A B e K = B A. Determinare inoltre i commutatori [A, B], [H, A], [K, B], [H, K]. Soluzione. Il prodotto scalare standard in L [R] è descritto da (f, g) = f (x) g(x). E evidente che l operatore di moltiplicazione per la variabile (reale) x è autoaggiunto; è anche ben noto che d/ è un operatore anti-autoaggiunto, il che può essere mostrato integrando per parti: (f, dg/) = (f, g ) = = f (x) g(x) = (f, g). f (x) dg(x) df (x) g(x) () Dato che l aggiunto di una somma è la somma degli aggiunti, abbiamo immediatamente A + = ( ) ] + d [(x) + + = ( x = B, B + = ( ) ] + d [(x) + = ( x + = A. () I prodotti sono calcolati direttamente applicando gli operatori ad una generica funzione ψ(x); otteniamo Hψ = A B ψ = (x + )ψ ψ ; Kψ = B A ψ = (x )ψ ψ 8.

9 Quindi, in termini di operatori, H = ) ((x + ) + d ; K = ((x ) + d ). (3) Infine, ricordando che il commutatore è definito come [F, G] := F G G F, abbiamo, sempre con calcoli diretti [che possono essere effettuati, in caso di dubbio, applicando gli operatori ad una funzione generica ψ(x)], ) [A, B] = A B B A = H K = (x + d ; [H, A] = [AB, A] = A B A A B = A [B, A] = ( x + = A ; [K, B] = [BA, B] = B A B B A = B [A, B] = ( x = B ; [H, K] = A B A B A B = 0. 9