Esame scritto (parte di Meccanica Quantistica) 19/06/2017. Esercizio 1. Si consideri l oscillatore armonico descritto dalla Hamiltoniana

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Agnese Pinto
5 anni fa
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1 Corso di Fisica Matematica 3 a.a. 06/7 Esame scritto (parte di Meccanica Quantistica) 9/06/07 Esercizio. Si consideri l oscillatore armonico descritto dalla Hamiltoniana H 0 = p m + mω x, e siano n (n 0) gli autostati dell Hamiltoniana.. Tra tutti gli stati della forma φ = α, β := α 0 + β 3 (con α, β numeri complessi, α + β 0), determinare quelli per cui p φ è massimo;. come al punto precedente, quelli per cui q φ è massimo. 3. Calcolare il valor medio di H 0 sullo stato φ per gli stati determinati nei due punti precedenti. 4. Si consideri ora la miscela statistica S = {a, 0 ; b, 3 }. Calcolare i valori medi di p, q ed H 0 su S. Suggerimento: Si ricorda che η + = mω (p + imωq) ; η = mω (p imωq). Esercizio. Per H 0 e φ la stessa Hamiltoniana e gli stessi stati considerati nell esercizio, si consideri H = H 0 + εh con H = (p 3 + q 3 ). Si calcolino (al primo ordine in ε) l energia dello stato fondamentale per H ed il valor medio di H sullo stato φ

2 SOLUZIONE Esercizio. Iniziamo ricordando che λ n = (n + /) ω ; () inoltre dalle formule per η, η + ricordate nel suggerimento, segue che m ω p = (η + + η) ; q = i m ω (η+ η). () E anche noto che n = n! (η + ) n 0. (3) Segue immediatamente dalle () che l elemento di matrice di p e di q tra due autostati n, m puo essere diverso da zero solo se m n =. Notiamo anche che segue dalla (3) che η = 0, η + 0 =. (4). Operando su stati normalizzati, quindi con α + β = (5) (il che e sempre possibile avendo assunto α + β 0), la quantita richiesta si esprime come p φ = φ p φ = (α 0 + β 3 ) p (α 0 + β 3 ) = α 0 p 0 + β 3 p 3 + α β 0 p 3 + αβ 3 p 0. I primi due termini si annullano perche il valor medio di p (e di q) e nullo su qulsiasi autostato; gli ultimi due perche come detto sopra gli elementi di matrice di η e di η + (e quindi di p e q) tra due stati n, m con n m sono necessariamente zero. Quindi p φ = 0 per qualsiasi stato della forma assegnata.. Per la seconda domanda si procede allo stesso modo con solo un cambio di segno, dato che q = B(η + η) con B = i (8). m ω Abbiamo quindi: q φ = φ q φ = (α 0 + β 3 ) q (α 0 + β 3 ) = α 0 q 0 + β 3 q 3 + α β 0 q 3 + αβ 3 q 0.

3 I primi due termini si annullano perche il valor medio di q e nullo su qulsiasi autostato; gli ultimi due perche come detto sopra gli elementi di matrice di η e di η + (e quindi di p e q) tra due stati n, m con n m sono necessariamente zero. Quindi q φ = Il valor medio di H 0 su uno stato φ e dato da H 0 φ = φ H 0 φ = (α 0 + β 3 ) H 0 (α 0 + β 3 ) = (α 0 + β 3 ) (λ 0 α 0 + λ 3 β 3 ) = α λ β λ = α λ 0 + β λ 3. Usando l espressione esplicita degli autovalori λ n e ricordando che opeeriamo con α + β =, possiamo anche scrivere H 0 φ = α λ 0 + β λ 3 = α ω + 7 β ω ( ) = + 3 β ω. Dato che gli stati φ non sono discriminati dal valore di p e di q, possiamo solo fornire questa formula generale. 4. Il valor medio di una generica osservabile A su questa miscela statistica e dato da A S = a A + b A 3. Per le quantita in questione otteniamo immediatamente p k = k p k = 0 = p S = 0 ; q k = k q k = 0 = q S = 0 ; H 0 k = k H 0 k = λ k = H 0 S = aλ 0 + bλ 3. Anche questa formula puo essere lievemente semplificata usando l espressione esplicita degli autovalori λ n. Esercizio.. Il valore al primo ordine degli autovalori E k di H (detti λ k quelli di H 0 ) e E k = λ k + ε µ k, dove µ k = H k = k H, 3

4 e il valor medio e calcolato sugli autostati di H 0. questione Quindi nel caso in µ 0 = 0 (p 3 + q 3 ) 0 = 0 p 3 0 > + 0 q 3 0 = 0 l ultima eguaglianza segue immediatamente o dall osservazione che 0 > e pari (e puo essere scelta reale), mentre sia p 3 che q 3 sono funzioni dispari, e quindi ( i) ψ 0 (x) x 3 dx = 0 ; ψ 0 (x) d3 dx 3 ψ 0(x) dx = 0 ; oppure dall osservazione che nella scrittura di p 3 e q 3 in termini degli operatori η, η + non si ha mai un termine con eguale numero di η + e di η, quindi non si ha mai un elemento di matrice non nullo tra uno stato k e se stesso. In effetti, allo stesso modo si ottiene che k H k = 0 k.. Diverso e il caso del calcolo della perturbazione al valor medio di H su φ. Infatti ora quindi dobbiamo calcolare H φ = H 0 φ + ε H φ, H φ = α 0 H 0 + β 3 H 3 + α β 0 H 3 + αβ 3 H 0 = α β 0 H 3 + αβ 3 H 0. E sufficente calcolare uno dei due termini, ad esempio 3 H 0 (l altro e il suo complesso coniugato). Per farlo notiamo che q 3 = ( ) 3 i (η + η) 3. m ω L unico termine che contribuira e quello con (η + ) 3, che porta 0 in uno stato proporzionale a 3, quindi 3 q 3 0 = i ( ) 3/ 3 (η + ) 3 0 ; m ω inoltre (η + ) n 0 = n! n, 4

5 ed in particolare quindi in conclusione (η + ) 3 0 = 6 3 ; 3 q 3 0 = 6 i ( ) 3/. m ω Si procede allo stesso modo per p 3, ricordando che p 3 = ( ) 3/ mω (η + + η) 3 ; otteniamo 3 p 3 0 = 6 Infine, sommando i due contributi H φ = [ ) 3/ (mω 6 + i ( ) 3/ mω. ( ) ] 3/ m ω (α β α β). 5