PERCORSO DIDATTICO SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE

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1 PERCORSO DIDATTICO SULLE SUCCESSIONI NUMERICHE Nuclei Fondanti: Relazioni e Funzioni, Geometria Tipo di scuola e classe: Liceo Scientifico, classe II Riferimenti alle Indicazioni Nazionali: OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO SECONDO BIENNIO Lo studente acquisirà la conoscenza di semplici esempi di successioni numeriche, anche definite per ricorrenza, e saprà trattare situazioni in cui si presentano progressioni aritmetiche e geometriche. Nodi concettuali: multipli e potenze di numeri naturali formula chiusa delle successioni successione di Fibonacci e sezione aurea Collocazione nel Piano di Lavoro del Docente: Dopo lo studio delle equazioni di secondo grado (parabola) PREREQUISITI: numeri naturali e operazioni con essi numeri irrazionali e operazioni con essi rappresentazione di punti, segmenti, rette, circonferenze, parabole nel piano cartesiano punto medio di un segmento Tempi di svolgimento percorso: Tre fasi per un totale di 5 ore: 1. Individuazione di successioni numeriche, attraverso l analisi di regolarità in pattern assegnati, e determinazione della relativa formula chiusa (2 ore) 2. Rappresentazione tabulare e grafica delle successioni trovate nella fase precedente, mediante il software Excel (1 ora) 3. La successione di Fibonacci e il rapporto aureo (2 ore) Obiettivi: Riconoscere regolarità in pattern assegnati Individuare la successione numerica rappresentata da ogni pattern Saper determinare un termine qualsiasi di una successione numerica

2 Determinare in una successione di numeri il numero di posto generico, spiegando a parole la modalità seguita Determinare in una successione di numeri il numero di posto generico, tramite formula chiusa Utilizzare il foglio elettronico per rappresentare successioni di numeri tabularmente e graficamente Metodologie e strumenti: Lavoro a gruppi (Tutte le fasi) Problem solving (Fasi 1,3) Lezione interattiva (Fase 3) Attività con il Foglio Elettronico (Fase 2) Discussione matematica (Tutte le fasi) Descrizione attività: 1. Individuazione di successioni numeriche, attraverso l analisi di regolarità in pattern assegnati, e determinazione della relativa formula chiusa (2 ore) Si propongono alla classe, divisa in gruppi, quattro attività in cui gli studenti devono riconoscere regolarità in un pattern assegnato, individuare la successione rappresentata dal pattern (successione dei numeri naturali, successione dei numeri dispari, successione dei multipli di 5, successione dei quadrati dei numeri naturali), individuare termini qualsiasi di questa successione, esprimere a parole e tramite formula chiusa il numero di posto generico. Alla fine di ogni attività è previsto un momento di discussione collettiva per confrontare i risultati ottenuti da ciascun gruppo e per formalizzare il concetto di successione numerica. (vedi Scheda 1) 2. Rappresentazione tabulare e grafica delle successioni trovate nella fase precedente, mediante il software Excel (1 ora) In questa fase si chiede ai ragazzi di utilizzare Excel per rappresentare le successioni trovate nella fase precedente. Essi dovranno capire come costruire la successione in Excel e quindi rappresentarla graficamente e dire che tipo di andamento si ottiene. (vedi File Excel in allegato)

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4 Dal discreto al continuo: passaggio dalle successioni alle funzioni. 3. La successione di Fibonacci e il rapporto aureo (2 ore) In questa fase si propone agli studenti il celebre problema dei conigli di Fibonacci. Dal problema si passa quindi all identificazione della successione di Fibonacci, all esplorazione della relazione esistente tra i suoi termini e alla definizione di tale successione per ricorrenza. (vedi Scheda 2) Si chiede quindi agli studenti di rappresentare tabularmente questa successione con Excel e di calcolare, a partire da, il rapporto tra ogni termine della successione e il termine che lo precede, cioè. (Vedi File Excel: Fibonacci.xls) Gli studenti trovano che all aumentare di n tale rapporto tende al numero irrazionale 1, Si può quindi introdurre il numero e la sezione aurea: in geometria la sezione aurea di un segmento è quella parte del segmento che è medio proporzionale fra l intero segmento e la parte di segmento rimanente. A S B AB: AS = AS : SB Indichiamo con x la misura di AS e con a la misura di SB. Determiniamo il valore di x in funzione di a.

5 Nella proporzione sostituiamo ai segmenti le misure delle rispettive lunghezze: NON ACCETTABILE e il rapporto tra la sezione aurea di un segmento e il segmento stesso vale. Si procede infine alla costruzione, guidata dall insegnante, della sezione aurea di un segmento, utilizzando il software di geometria dinamica GeoGebra. (file Sezione aurea.gbb) Valutazione: Prova di verifica sommativa alla fine del percorso didattico, della durata di un ora. Tre esercizi: uno teorico (definizione di successione, esempi, definizione di formula chiusa per una successione) e due analoghi a quanto visto nella Fase 1 (osservazione di regolarità di due successioni, determinazione di alcuni termini delle successioni, determinazione delle formule chiuse e, passaggio al caso continuo) (vedi Verifica in allegato) Spunti per approfondimenti interdisciplinari: Collegamenti con storia dell arte (sezione aurea) Allegati: Scheda 1: Le successioni numeriche File Excel: Successione numeri naturali.xls File Excel: Successione numeri dispari.xls File Excel: Successione multipli di 5.xls File Excel: Successione dei quadrati.xls Scheda 2: Un problema di conigli File Excel: Fibonacci.xls File GeoGebra: Sezione aurea.gbb Verifica