Metodi Matematici per la Fisica

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1 Metodi Matematici per la Fisica Prova scritta - 6 settembre Esercizio 6 punti Calcolare l integrale π dx I π + 4 cos x. Con la sostituzione z e ix quindi: x i lnz e dx idz/z l integrale diventa dz/z I + z + /z i zdz z + z + γ dove la curva γ {z : z e iθ θ π π]} è la circonferenza unitaria. L integranda ha quattro poli si ottengono come soluzioni delle due equazioni di secondo grado: z + i 5 i moduli sono z ± ± iz ± + z > z < z + 5 < z + 5 > γ z + i + 5 z i + 5 z i ++ 5 quindi solo z + e z sono nel cerchio unitario. Applicando il teorema dei residui si ottiene I π Resfz z + ] + Resfz z ] con fz zdz z + z +. Poiché tutti i poli sono semplici i residui si ottengono come: Resfz z + ] lim z z z z + + fz z + lim z z + + 4z + z + 4zz /4 + ] 5

2 Resfz z ] lim z z z z fz + 4z /4 + ] 5. Finalmente l integrale è I π Resfz z + ] + Resfz z ] π. 5 Esercizio 6 punti Si calcoli l integrale J sin x + x 4 dx. L integranda è una funzione pari possiamo riscrivere l integrale estendendo l intervallo a tutto l asse reale come J sin x + x 4 dx inoltre scomponendo il seno in termini degli esponenziali si ha J 8 e iz + e iz dz e iz + z z dz 4 8 J J + J 3. Tutte le integrande hanno gli stessi quattro poli semplici z k e i+kπ/4 k 3. e iz + z dz + dz z 4 Possiamo usare il lemma di Jordan però mentre per J e J la scelta del percorso è obbligata dal segno del coefficiente di iz ad esponente per J 3 possiamo scegliere indifferentemente di chiudere sopra o sotto essendo questo il caso di coefficiente nullo. Abbiamo quindi J 8 lim R J 8 lim R J 3 4 lim R Γ + R Γ R Γ + R e iz + z dz iπ Resf 4 z z ] + Resf z z ] 4 e iz Resf z z ] + Resf z z 3 ] + z 4 dz iπ 4 dz + z 4 iπ Resf 3 z z ] + Resf 3 z z ]

3 dove i percorsi sono Γ + R {z : z Reiθ θ π]} R R] Γ R {z : z Reiθ θ π π]} R R] il segno - in J è conseguenza del verso di percorrenza di Γ R che è orario. I residui sono Resf z z j ] lim z z z z j f z eiz j j Resf z z j ] lim z z z z j f z e iz j j 3 L integrale completo è Resf 3 z z j ] lim z z z z j f 3 z j. J J J + J 3 iπ e iz j 4 4zj 3 j + 3 j e iz j + j ] osservando che z z e z 3 z possiamo compattare e ottenere il risultato finale J iπ 6 iπ 6 j j eiz j z 3 j + e iz j z 3 j + z 3 j ] ] e Imz j e irezj 3j+π/4] + e irez j 3j+π/4] + iπ 8 π e Imzj sinrez j 3j + π/4] + π 8 4 j π 8 e sin 3π/4 π 4 e sin + π/4 + π 4 π 8 e sin ] cos + π 4 π e π sin + cos ] 4. Esercizio 3 5 punti Trovare la regione di convergenza della serie k z + k k 3 k. Si verifichi che in tale regione la convergenza è uniforme. 3 e 3iπ/4 + e iπ/4]

4 Con la sostituzione w z + si ha k w k k 3 k w n n + 3 n+ n n c n w n il raggio di convergenza R si ottiene usando la formula di Cauchy-Hadamard per l inverso La serie converge quando R lim sup c n /n n lim n n + /n 3 /n lim n e lnn+/n 3 /n 3. w < R 3 z + < 3 ovvero converge nel cerchio di raggio 3 e centro z. Esercizio 4 5 punti Risolvere l equazione con a reale e a >. fyfx ydy x x + a La trasformata di Fourier della convoluzione di funzione con se stessa è proporzionale al quadrato della trasformata di Fourier ovvero F k f f] π fk π i e a k signk dove signx è la funzione segno e vale se x per x <. Risolvendo rispetto a fk si ottiene i fk signk e a k / l antitrasformata dà la soluzione fx π fke ikx dk π a + x a + 4x. 4

5 Esercizio 5 6 punti Determinare la funzione di Green dell operatore differenziale Ô x i d m + µ m dx con m intero pari e non nullo e µ reale e positivo. la funzione di Green è la soluzione dell equazione impulsiva cioè che ha come funzione d ingresso una delta di Dirac Ô x Gx δx. Con il metodo delle trasformate di Fourier si ha k m + µ m ] Gk π facendo l antitrasformata si ottiene Gx π e ikx dk k m + µ m. Poiché m è pari poniamo m n n... ci sono n m poli semplici con k j e iπ+j/m µ j... n m. La prima metà dei poli è posta nel semipiano positivo la seconda in quello negativo non ci sono poli reali infatti Imk j ] µ sinπ + j/m] + j m N quest ultima non è mai vera essendo m pari. Consideriamo i primi m/ poli le parti immaginarie sono Imk j ] > + j < m j < m j m quindi gli m/ poli k j con j... m/ sono nel semipiano superiore mentre quelli con j m/... m giacciono nel semipiano inferiore. La funzione di Green sarà Gx m/ π iπ θx m Res k j ] θ x Res k j ] j jm/ m/ i θx m e ikjx k m j θ x e ikjx k m j j jm/ m/ iµ θx m e ikjx e iπ+j/m θ x e ikjx e iπ+j/m j jm/ m/ iµ θx m e ikj+π+j/m] θ x e ik j+π+j/m]. j 5 jm/

6 Esercizio 6 6 punti Data la matrice A si determini la matrice B definita come /4 i/ /4 i/ /4 B A k k classificandola e calcolandone autovalori ed autovettori. La matrice A è hermitiana quindi anche B poiché la somma di matrice hermitiane è ancora una matrice hermitiana e si ha per n intero qualsiasi ne consegue che B B. Gli autovalori di A sono: A n A n A n α 3/4 α /4 α 3 /4 e gli autovettori a i a i a 3. La matrice che diagonalizza A è U i/ i/ / /. Tutti gli autovalori di A verificano la condizione α l < ne consegue che gli autovalori β l di B si ottengono come β l αl k α l quindi k β 4 β 4/5 β 3 4/3. Infine B si ottiene come: B U 4 4/5 4/3 U /5 8i/5 4/3 8i/5 /5. 6