Corso di Laurea in Matematica, A.A. 2013/2014 Analisi Reale e Complessa, Esame del y 2 x2 + y 2 2 R 2 ; 1 }

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1 NOME: MATRICOLA: Corso di Laurea in Matematica, A.A. 3/ Analisi Reale e Complessa, Esame del 8..5 Si stabilisca se la formula x + y α se f(x, y x + y x + y, x + y se x + y definisce una funzione sommabile f sull anello {( x R ; } y x + y per α α ; β α. Sia < s <. Usando l identità ln + sx sx ed il teorema di Fubini-Tonelli, si calcoli sx s x y dy x + sx ln x sx dx.

2 3 a Sia a C un numero complesso tale che a < e sia a il suo coniugato. Sia f a : C \ {a } C la funzione definita ponendo f a (z : z a az per ogni z C\{a }. Sia C C la circonferenza unitaria. Si mostri che f a (C C. b Sia U C un aperto connesso contenente il disco unitario chiuso D (,. Sia g : U C una funzione olomorfa e tale che g(c C. Si mostri che g è costante o si annulla in almeno un punto del disco unitario aperto D (,. c Si mostri che esistono m N, a,.., a m D (,, n,.., n m N e θ R tali che g(z e iθ m j f aj (z n j per ogni z U. Si usi il teorema dei residui per calcolare, per ogni n N, gli integrali, A B + sin n (x cos n (xdx (x + n dx. e

3 Soluzioni: : Sia α R arbitrario. Indichiamo con C la circonferenza unità {( } x R ; x + y y e con A l annello {( x R ; } y x + y. La formula g(x, y x + y α x + y definisce una funzione continia g : R \ C R, positiva all esterno di C e negativa nell interno. Ora verifichiamo che la funzione f : A R definita da x + y α se f(x, y x + y x + y, x + y se x + y è di Borel. Infatti, se U è un sottoinsieme aperto di R che non contiene, allora la controimmagine f (U è l intersezione dell insieme aperto g (U con l insieme chiuso A, e quindi di Borel. Se invece l insieme aperto U R contiene, allora f (U ( A g (U C dove A e C sono chiusi, mentre g (U è aperto, perciò è di Borel anche in questo caso. Cosicché la funzione f è misurabile e la sua sommabilità è equivalente alla finitezza dell integrale del suo modulo, cilè alla finitezza dell integrale A x + y α x + y dxdy A x + y α dxdy. ( Il calcolo dell integrale ( si svolge separatamente sull anello 3

4 {( x A : R ; } y x + y <, dove x + y x y, e sull anello {( } x A : R ; < x + y, y dove x + y x + y, tenendo poi conto che x + y α dxdy A ( x y α dxdy + A A (x + y α dxdy. Per i calcoli usiamo le coordinate polari e poi il teorema di Tonelli. L integrale su A : A ( x y α dxdy / π ( ρ α ρdθ dρ ( ρ α ρdρ π / ( ρ α d( ρ / π ρ α ( ρ α ρ π ln( ρ π ( α se α > α + se α ρ/ ρ/. se α se α L integrale su A :

5 A (x + y α dxdy (ρ α ρdθ dρ π (ρ α ρdρ π (ρ α d(ρ ρ π α (ρ α ρ ρ π ln(ρ ρ { π se α > α + se α. se α se α Concludiamo che f è sommabile esattamente quando α >. Quindi le risposte alle domande del compito sono : α Per α la funzione f è sommabile ; β Per α la funzione f non è sommabile. : Poiché ln + sx sx abbiamo x + sx ln x sx dx ( ( 5 sx s x y dy, x x sx s x y dy dx s ( s x y x dy dx.

6 Ma, applicando il teorema di Tonelli alla funzione positiva continua s [, [, (x, y ( s x y x, si ottiene e quindi ( [, [, ( s ( s x y x dy dx s ( s x y x dxdy s ( s x y x dx dy x + sx ln x sx dx ( s ( s x y x dx dy. (* Resta di svolgere le integrazioni alla parte destra di (*. Per calcolare s ( s x y x dx (che esiste per ogni y [, ] usiamo la sostituzione ottenendo x sin t, s ( s x y x dx 6 dx cos tdt π/ s ( s y sin t cos t cos tdt

7 π/ s s y sin t dt. Ora abbiamo da integrare una funzione razionale in cos t e sin t, perciò una sostituzione adatta per ridurre il calcolo all integrazione di una funzione razionale è u tgt, du cos t dt ( + tg tdt ( + u dt. Poiché sin t cos t + tg t + u u + u, risulta s ( s x y x dx π/ + + π e, sostituendo in (*, concludiamo : x + sx ln x sx dx s s y sin t dt s s y u + u s + ( s y u du s s y + + u du d ( s y u + ( s y u s ( u+ s y arctg s y u 7 s s y π s s y u π s s y dy π d(sy (sy

8 π arcsin(sy y y π arcsin(s. 3 : a Se z C, cioè zz, abbiamo f a (z z a az z a ( z z a z a z (z a z a z z a z, quindi f a (C C. b Per il principio del massimo modulo, applicato a g su D (,, abbiamo g(z per ogni z D (,. Se g non si annulla in D (,, possiamo applicare il principio del minimo modulo a g su D (,. Se ne deduce che g(z per ogni z D (,. In conclusione g si annulla in D (, oppure g(z per ogni z D (,. In questo caso g(d (, C e, siccome la circonferenza unitaria C non contiene aperti di C, per il teorema della mappa aperta, la funzione olomorfa g è costante. c Se la funzione g è costante allora esiste θ R tale che g(z e iθ, in questo caso possiamo prendere m, a e n. Se la funzione g non è costante, siccome gli zeri di una funzione olomorfa non costante su un aperto connesso sono isolati e siccome D (, è compatto, la funzione g si annulla al più un numero finito di volte in D (,. Siano a,.., a m gli zeri di g in D (, e siano n,.., n m le rispettive molteplicità. Sia poi h : U \ { } a, a,..., a m, am C la funzione definita ponendo h(z : g(z, m f aj (z n j j per ogni z U \ { } a, a,..., a m, am. 8

9 Poiché C è un gruppo rispetto alla moltiplicazione, abbiamo h(c C. Inoltre, per costruzione, h ammette solo singolarità eliminabili in D (,. Pertanto h si estende ad una funzione olomorfa { h : U \ a,..., am } C e per costruzione h non si annulla in D (,. Per il punto b, esiste θ R tale che h(z e iθ per ogni z U \ { } a,..., am. Siccome m f aj (z n j non si estende con continuità intorno agli a j, gli a j non j appartengono ad U e g(z e iθ m j f aj (z n j per ogni z U. : A Invertendo la formula di Eulero abbiamo Quindi sin(x eix e ix i sin n (x cos n (xdx, cos(x eix + e ix. ( e ix e ix n dx i e, indicando con C + la circonferenza unitaria percorsa in senso antiorario, ( e ix e ix n dx i C + (z z n dz. n i n+ z Applicando il teorema dei residui alla funzione (z z n z unitario, otteniamo (z z n dz πi ( (z z n Res, n i n+ z n in+ z C + π ( n i Res n z n m sul disco ( n ( n m z (m n,. m 9

10 ( Il residuo Res z n m del termine di grado di ( n ( n m z (m n, è pari al coefficiente m n ( n ( n m z (m n. Tale coefficiente m m ( n è nullo se n è dispari e vale n ( n In conclusione sin n (x cos n (xdx se n è pari. se n è dispari e se n è pari. sin n (x cos n (xdx π ( n n i n n ( n ( π n n n B Se n, per quanto visto in Analisi, l integrale diverge a +. Sia dunque n >. Sia r R tale che r > n, sia γ,r il segmento orientato contenuto in C con primo estremo r e secondo estremo r e sia γ,r la semicirconferenza, contenuta nel semipiano chiuso superiore, di primo estremo r e secondo estremo r. Siccome (x + n è asintotico a x 8 per x che tende a + e, l integrale assegnato è convergente e + dx lim (x + n +r r + r lim r + γ,r (x + n dx (z + n dz. Siccome l unica singolaritá di, nella parte di piano limitata (z + n e delimitata da γ,r γ,r, è il punto in, applicando il teorema dei residui, otteniamo

11 γ,r Poiché (z + n dz + γ,r ( dz πires (z + n (z + n, in. lim z z (z + n, per il lemma del grande cerchio abbiamo lim r + (z + n dz e, quindi, + γ,r dx πires (x + n Siccome in è un polo di ordine per e, di conseguenza, ( Res (z + n, in + ( (z + n, in. lim z in 3! lim z in 3! (z + n, otteniamo d 3 lim 5 6 z in 3! 5 6 3! ( (z in dz 3 (z + n ( d 3 dz 3 (z + in (z + in 7 i 7 n 5 7 i 5 n 7 (x + n dx πi 5 i 5 n 5π 7 6n. 7