Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria

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1 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. M. Bramanti Politecnico di Milano, A.A. 05/6 Prima prova in itinere. Novembre 05 Tema A Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Domande di teoria (rispondere a due domande su tre, a propria scelta) A. (6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. B. (6 punti). Illustrare il concetto di mappa conforme e discuterne le principali proprietà studiate. In particolare, enunciare con precisione e dimostrare la proprietà di conservazione degli angoli. C. (6 punti). Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate.

2 Svolgere i seguenti esercizi. (6 punti). Sia f (z) = z + i iz + la funzione olomorfa la cui parte reale e immaginaria rappresentano il potenziale di velocità e la funzione di corrente di un moto stazionario piano. Determinare il campo di velocità v e le linee di livello della funzione di corrente, riconoscendo di che tipo di curve si tratta e se possibile disegnandole.. (4 punti). Calcolare il seguente integrale nel campo complesso, dove γ r () indica la circonferenza di centro e raggio r > 0, percorsa in senso antiorario: (z) dz. γ r(). (5 punti). Individuare e classificare le singolarità della seguente funzione, e calcolare il residuo in ogni singolarità isolata, richiamando i criteri applicati per il calcolo dei residui. Si chiede di scrivere il residuo come numero complesso in forma algebrica. f (z) = ez z (z + i) 4. (6 punti). Calcolare con metodi di analisi complessa l integrale reale x 4 + x + 4 giustificando brevemente il procedimento seguito (cioè richiamando le ipotesi che si devono verificare affi nché il procedimento seguito sia corretto).

3 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. M. Bramanti Politecnico di Milano, A.A. 05/6 Prima prova in itinere. Novembre 05 Tema B Cognome: Nome N matr. o cod. persona: Domande di teoria (rispondere a due domande su tre, a propria scelta) A. (6 punti) Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla derivabilità del limite di una successione di funzioni derivabili. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. B. (6 punti) Dopo aver dato la definizione di derivabilità e derivata per una funzione complessa di variabile complessa, enunciare e dimostrare le condizioni di Cauchy-iemann. Dedurne che la parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa e C in un aperto sono funzioni armoniche. C. (6 punti) Enunciare con precisione e dimostrare la prima formula integrale di Cauchy e la sua estensione all integrale sul bordo del dominio.

4 Svolgere i seguenti esercizi. (6 punti). Sia f (z) = z + i iz + la funzione olomorfa la cui parte reale e immaginaria rappresentano il potenziale di velocità e la funzione di corrente di un moto stazionario piano. Determinare il campo di velocità v e le linee di livello della funzione di corrente, riconoscendo di che tipo di curve si tratta e se possibile disegnandole.. (4 punti). Calcolare il seguente integrale nel campo complesso, dove γ r () indica la circonferenza di centro e raggio r > 0, percorsa in senso antiorario: (z) dz. γ r(). (5 punti). Individuare e classificare le singolarità della seguente funzione, e calcolare il residuo in ogni singolarità isolata, richiamando i criteri applicati per il calcolo dei residui. Si chiede di scrivere il residuo come numero complesso in forma algebrica. f (z) = ez z (z + i) 4. (6 punti). Calcolare con metodi di analisi complessa l integrale reale x 4 + x + 4 giustificando brevemente il procedimento seguito (cioè richiamando le ipotesi che si devono verificare affi nché il procedimento seguito sia corretto). 4

5 Esame di Metodi Matematici per l Ingegneria Prof. M. Bramanti Politecnico di Milano, A.A. 05/6 Prima prova in itinere. Novembre 05 Svolgimento esercizi. (6 punti). Sia f (z) = z + i iz + la funzione olomorfa la cui parte reale e immaginaria rappresentano il potenziale di velocità e la funzione di corrente di un moto stazionario piano. Determinare il campo di velocità v e le linee di livello della funzione di corrente, riconoscendo di che tipo di curve si tratta e se possibile disegnandole. Posto z = x + iy si ha f (z) = = Quindi il potenziale di velocità è e la funzione di corrente è Il campo di velocità è v = φ = = x + iy + i x + i (y + ) ( y) ix = i (x + iy) + ( y) + ix ( y) ix x ( y) + x (y + ) ( y) (y + ) x ( y) + i + x ( y). + x x φ (x, y) = ( y) + x ψ (x, y) = y x y ( y) + x. ] [( y) + x 6x ), (( y) + x ( y) x ), (( y) + x 6x ( y) ) (( y) + x 6x ( y) ) (( y) + x mentre le linee di corrente sono date da y x y ( y) = c + x y x y = c ( x + y y + ) ( x + y ) (c + ) + y ( c) + (c ) = 0 5

6 che rappresentano, al variare di c, circonferenze di centro sull asse y e per c = la retta y = 0, cioè y =. Controlliamo che tutte le circonferenze passano per (0, ): (c + ) + ( c) + (c ) = 0 per ogni c. Quindi le linee di corrente sono: -la retta y = ; -le circonferenze di centro sull asse y e tangenti alla retta y = :. (4 punti). Calcolare il seguente integrale nel campo complesso, dove γ r () indica la circonferenza di centro e raggio r > 0, percorsa in senso antiorario: (z) dz. γ r() z = + re it, t [0, π] z = ( + re it) = + r e it + re it dz = ire it dt π (z) ( dz = + r e it + re it) ire it dt γ r() = ir 0 π 0 ( e it + r e it + r ) dt = ir ( r π) = 4πr i.. (5 punti). Individuare e classificare le singolarità della seguente funzione, e calcolare il residuo in ogni singolarità isolata, richiamando i criteri 6

7 applicati per il calcolo dei residui. Si chiede di scrivere il residuo come numero complesso in forma algebrica. f (z) = ez z (z + i) z = 0, z = i sono i punti di singolarità (isolata) per f. z = 0 è un polo del ordine perché zf (z) = ez z e questo calcolo mostra che per z 0, (z + i) es (f, 0) =. z = i è un polo del ordine, perché (z + i) f (z) = ez z e i 0 e finito. Per il residuo si ha: ( ) ( es (f, i) = (z + i) e z ) f (z) ( i) = z ( i) ( e z z z (e z ) ) = = e i + i ( e i ) z 4 z= i = (cos i sin ) ( + i) i = ( cos + sin ) + i (sin + cos ). 4. (6 punti). Calcolare con metodi di analisi complessa l integrale reale x 4 + x + 4 giustificando brevemente il procedimento seguito (cioè richiamando le ipotesi che si devono verificare affi nché il procedimento seguito sia corretto). L integranda è una funzione razionale, continua in tutto (cioè il denominatore è diverso da 0 per ogni x reale), e tende a zero all infinito come /x 4, quindi almeno come / per z =. Perciò per il metodo dei residui: x 4 + x + 4 = πi es (f, z k ) dove f (z) = Im z k >0 z 4 + z + 4 7

8 e z k sono i poli di f, cioè i punti in cui si annulla il denominatore. z 4 + z + 4 = 0 per z = ± = ± i { e i = π e i π { ± e i π z = ± e i π Di questi 4 punti, i nel semipiano Im z > 0 sono z = ( e i π + i ) = z = ( e i π = e i π + i ) = Questi sono poli del ordine (perché il denominatore è un polinomio di 4 grado con 4 radici distinte), perciò ( ) ( ) es (f, z k ) = 4z (z k ) = + 4z 4z (z (z k ) + ) e { } x 4 + x + 4 = πi 4z (z + ) + 4z (z + ) = πi e i π π i ( e i π + ) + e ( ) e i 4π + { } = πi e i π π e i ( ) + ( ) i i { } = π 6 = π 6 = π 6. e i π e i π {( i ) ( i )} 8