Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Domande-tipo di teoria sulla prima metà del corso

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Gustavo Pepe
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1 Corso di Metodi Matematici per l Ingegneria A.A. 2016/2017 Domande-tipo di teoria sulla prima metà del corso Marco Bramanti Politecnico di Milano October 28, Elementi di analisi funzionale 1.1. Generalità sugli spazi di funzioni 1. In uno spazio metrico, dare la definizione di successione di Cauchy, quindi dare la definizione di spazio metrico completo e di spazio di Banach. Fare esempi di spazi vettoriali normati che sono o non sono completi, privilegiando gli esempi di spazi di funzioni. 2. Si dia la definizione di spazio metrico, spazio metrico completo, spazio vettoriale normato, spazio vettoriale normato completo. Si facciano esempi di: -uno spazio vettoriale normato e uno spazio vettoriale non normato; -uno spazio metrico che non è uno spazio vettoriale normato; -uno spazio vettoriale normato completo e uno non completo Convergenza uniforme per successioni e serie di funzioni 3. Dopo aver richiamato la definizione di convergenza puntuale e uniforme per una successione di funzioni a valori reali, enunciare e dimostrare il criterio di Cauchy per la convergenza uniforme. Quindi dimostrare che lo spazio C 0 ([a, b]) è di Banach. 4. Per una successione di funzioni f n : Ω R, con Ω R n, definire le nozioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme. Enunciare quindi (senza dimostrazione) i vari teoremi studiati che, sotto opportune ipotesi che coinvolgono il concetto di convergenza uniforme, garantiscono che certe proprietà di f n si trasferiscono al limite f. Mostrare quindi con esempi che, se viene a cadere l ipotesi di convergenza uniforme, le conclusioni dei precedenti teoremi possono venire a cadere. 1

2 5. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla continuità del limite uniforme di funzioni continue. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. 6. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sulla derivabilità del limite di una successione di funzioni derivabili. Mostrare con opportuni contresempi la necessità delle ipotesi. 2. Teoria delle funzioni derivabili di variabile complessa 2.1 Generalità sulle funzioni complesse di variabile complessa 7. Definire con cura la funzione radice n-esima e la funzione logaritmo nel campo complesso, spiegando cosa si intende per determinazioni di queste funzioni e che relazione esiste tra le varie determinazioni della stessa funzione, eventualmente anche con esempi numerici. Definire poi la funzione radice n-esima principale e logaritmo principale, specificando l aperto su cui sono ben definite e continue La definizione di funzione derivabile in C 8. Dopo aver dato la definizione di derivabilità e derivata per una funzione complessa di variabile complessa, enunciare e dimostrare le condizioni di Cauchy- Riemann. Spiegare relazioni e differenze tra funzione f : C C derivabile e funzione f : R 2 R 2 differenziabile. 9. Dopo aver dato la definizione di derivabilità e derivata per una funzione complessa di variabile complessa, ricavare le condizioni di Cauchy-Riemann per una funzione scritta in funzione di ρ, ϑ (coordinate polari). Utilizzare queste relazioni per verificare la derivabilità e l espressione analitica della derivata per le funzioni z (radice principale) e Log (z) (logaritmo principale), nei domini opportuni Alcune applicazioni fisiche e geometriche del concetto di funzione olomorfa 10. Illustrare il concetto di potenziale complesso di velocità nella descrizione del moto stazionario piano e non vorticoso di un liquido incomprimibile. Quindi illustrare questi concetti sull esempio f (z) = 1/z. 11. Dimostrare che la parte reale e immaginaria di una funzione olomorfa e C 2 in un aperto sono funzioni armoniche. 12. Spiegare in cosa consiste il problema della determinazione dell armonica coniugata. Enunciare e dimostrare un risultato preciso di esistenza dell armonica coniugata. Esemplificarlo poi nel caso u (x, y) = e x sin y. 2

3 13. Illustrare il concetto di mappa conforme e discuterne le principali proprietà studiate. In particolare, enunciare con precisione e dimostrare la proprietà di conservazione degli angoli. 14. Dopo aver richiamato la definizione di mappa conforme, spiegare la sua utilità in relazione al problema di Dirichlet per il laplaciano in un dominio piano. In particolare, dimostrare che una mappa conforme biunivoca tra due aperti conserva le funzioni armoniche Serie di potenze nel campo complesso 15. Dopo aver richiamato la definizione di serie di potenze nel campo complesso, enunciare e dimostrare il Teorema di Abel che motiva l introduzione del concetto di cerchio di convergenza. Enunciare poi i risultati studiati sulla determinazione del raggio di convergenza, illustrandoli con esempi. 16. Dopo aver richiamato la definizione di serie di potenze nel campo complesso e suo cerchio di convergenza, enunciare con precisione le proprietà studiate che riguardano: convergenza semplice, uniforme, totale di una serie di potenze nel campo complesso; continuità, derivabilità di una serie di potenze nel campo complesso. 17. Dopo aver richiamato la definizione delle funzioni trascendenti elementari nel campo complesso e z, sin z, cos z, Sh z, Ch z, determinare parte reale, parte immaginaria e modulo della funzione sin z come funzioni di x, y. Risolvere quindi l equazione sin z = 2i Integrazione nel campo complesso 18. Dare la definizione di integrale di linea nel campo complesso, introducendo con precisione tutte le nozioni coinvolte. Confrontare questo concetto con i concetti di integrali di linea di prima specie e di seconda specie, che si introducono per funzioni, scalari o vettoriali, di due variabili reali. 19. Dopo aver richiamato la definizione di integrale di linea nel campo complesso, enunciare con precisione le principali proprietà elementari di questo integrale (linearità, additività, cambi di parametrizzazione e/o orientazione, maggorazione del modulo; approssimazione dell integranda o della curva). 20. Dopo aver richiamato la definizione di integrale di linea nel campo complesso e di primitiva nel campo complesso, enunciare con precisione e dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale nel campo complesso. 21. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di Cauchy dell integrale nullo, definendo accuratamente tutti i concetti coinvolti. Spiegare poi cosa significa, nel calcolo di un integrale lungo un circuito, che due circuiti sono equivalenti. 22. Definire, con il linguaggio usato nel contesto delle funzioni di variabile complessa, cosa si intende per: curva continua, chiusa, semplice, regolare, regolare a tratti; circuito; interno di un circuito, aperto connesso, aperto semplicemente connesso, facendo esempi opportuni. 3

4 23. Enunciare con precisione e dimostrare la prima formula integrale di Cauchy. 24. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema di analiticità delle funzioni olomorfe e la formula integrale di Cauchy per le derivate. 25. Enunciare con precisione e dimostrare il Teorema di Liouville. Mostrare come da questo si deduce il teorema fondamentale dell algebra. 26. Mostrare come dalla prima formula integrale di Cauchy si deduce la formula integrale di Poisson per la soluzione del problema di Dirichlet per il laplaciano sul semipiano. 27. Mostrare come dalla prima formula integrale di Cauchy si deduce la formula integrale di Poisson per la soluzione del problema di Dirichlet per il laplaciano sul cerchio. Dedurre poi il teorema del valor medio per funzioni olomorfe e per funzioni armoniche. 28. Enunciare con precisione e dimostrare il teorema sull insieme degli zeri di una funzione analitica in un aperto. Mostrare come da questo si deduce il principio di identità delle funzioni analitiche, e spiegarne l importanza Punti singolari di una funzione olomorfa e teorema dei residui 29. Enunciare e dimostrare il teorema sulla sviluppabilità in serie bilatera (di Laurent) di una funzione olomorfa in una corona circolare. 30. Dare la definizione di singolarità isolata di una funzione olomorfa, singolarità eliminabile, polo di ordine n, singolarità essenziale e illustrare con esempi e contresempi ognuno di questi concetti. Quindi, enunciare e dimostrare il teorema di classificazione delle singolarità isolate mediante la serie bilatera. 31. Dopo aver richiamato la definizione di residuo, enunciare con precisione e dimostrare il teorema dei residui. Quindi, enunciare e dimostrare le formule per il calcolo del residuo in un polo del prim ordine o di ordine n Applicazioni del teorema dei residui al calcolo di integrali 32. Illustrare in dettaglio come si può eseguire col metodo dei residui il calcolo di un integrale del tipo R (x) dx R dove R (x) è un quoziente di polinomi, il denominatore non si annulla mai e il grado del denominatore supera di almeno 2 il grado del numeratore. Enunciare e dimostrare i vari risultati accessori che si utilizzano nel calcolo oltre al teorema dei residui. 33. Illustrare in dettaglio come si può eseguire col metodo dei residui il calcolo di un integrale del tipo f (x) e ikx dx con k R R 4

5 dove f (x) è una funzione continua in tutto R che si può vedere come restrizione di una funzione olomorfa salvo un numero finito di poli. Enunciare con precisione le ipotesi che si utilizzano, e dimostrare i vari passaggi della deduzione che utilizzano ingredienti diversi dal teorema dei residui. 34. Illustrare in dettaglio come si può eseguire col metodo dei residui il calcolo di un integrale del tipo 2π 0 f (cos t, sin t) dt dove f è una funzione razionale, finita per ogni t [0, 2π]. Enunciare con precisione le ipotesi che si utilizzano, e dimostrare i vari passaggi della deduzione che utilizzano ingredienti diversi dal teorema dei residui. 5

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