Recupero 1 compitino di Analisi Matematica 2 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2017/2018. Prof. M. Bramanti.

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1 Recupero compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco Equazioni differenziali. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y =. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y = 5e x sin x. [Nell applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metodo degli esponenziali complessi].

2 . Risolvere il problema di Cauchy y = y3 x y = precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Curve e integrali di linea 3. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione parametrica r t = t 3 + t, 6t, per t [, ]. Calcolare la sua lunghezza e la coordinata y c del centroide.

3 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione f x, y = e y/x x y + log x y Dopo aver determinato analiticamente l insieme E cioè espresso col minimo numero di condizioni e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: sin x log x +y f x, y = x +y per x, y, per x, y =,. a. Stabilire se f è continua in,. b. Stabilire se f è derivabile in,, calcolando in caso affermativo f,. c. Stabilire se f è differenziabile in,, giustificando la risposta. 3

4 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x 3 y 3 + x y + 3 y x. 4

5 Recupero compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Dimostrare che l equazione f x, y = e y3 +x + y 5 definisce implicitamente una e una sola funzione y = g x in un intorno di x =, e calcolare g. 5

6 . Calcolare l area e le coordinate del centroide di una lamina piana omogenea descritta da: } Ω = x, y : x R, y R x /R dove R > è un parametro fissato. Per impostare l integrale si richiede di fare una figura e sfruttare le simmetrie. 3. Calcolare il momento d inerzia rispetto all asse z di un solido a forma di cono rappresentato da: C = x, y, z : z h, x + y R z }, di densità h ρ x, y, z = µ x z + R R 5 con R, h, µ > parametri fissati aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µ di una massa. Riportare con cura impostazione e passaggi. 6

7 4. Si consideri il campo vettoriale xe zy F = x + y, e zy zy + y + zx x + y, ye zy x + y + e z. a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campo è conservativo in tutto Ω, determinando in caso affermativo un potenziale. b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l arco di curva r t = t, t, t 3, t [, ]. 5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla rotazione attorno all asse z della curva γ che nel piano xz ha equazioni parametriche x = t cos t t [, π] z = t sin t e calcolarne l elemento d area, semplificando l espressione ottenuta e determinando gli eventuali punti singolari della superficie. Quindi calcolare l integrale di superficie ds x + y. Σ Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l elemento d area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ. 7

8 6. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da f x = sin x a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. 8

9 Recupero compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Equazioni differenziali. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y =. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y = 5e x sin x. Es Tot. Punti [Nell applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metodo degli esponenziali complessi]. a. b. Poiché α + α = α =, α = y x = c + c e x. 5e x sin x = Im 5e x+i, cerco prima una soluzione particolare dell equazione nel campo complesso del tipo w + w = 5e x+i. w x = Ae x+i w x = A + i e x+i w x = A + i e x+i, quindi } Ae x+i + i + + i = 5e x+i A 3 + 4i + + 4i} = i A = = = + 8i i w x = 3 8i 3 e x cos x + i sin x 9

10 perciò una soluzione particolare dell equazione completa di partenza è + 8i y x = Im e x cos x + i sin x = ex sin x 8 cos x 3 3 e l integrale generale dell equazione completa è y x = c + c e x + ex sin x 8 cos x. 3. Risolvere il problema di Cauchy y = y3 x y = precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Equazione del prim ordine a variabili separabili, soluzione costante y = non assume il dato di Cauchy. Per y, dy dx y 3 = x = log x + c y y = log x + c e imponendo qui la condizione iniziale si ha 4 = c, c = y x = log x, y x = 4 log x Ora per scegliere se y = ± 4 log x ragioniamo sul fatto che in y <, perciò y x = 4 log x definita nel più ampio intervallo contenente, non contenente, e tale che 4 log x >, quindi: anzitutto x >, inoltre log x > = x < e e l intervallo è, e.

11 Curve e integrali di linea 3. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione parametrica r t = t 3 + t, 6t, per t [, ]. Calcolare la sua lunghezza e la coordinata y c del centroide. Si ha: r t = r t = 3t t, 6 9t 4 + 4t = l γ = y c = yds = l γ γ 8 [ 6 3 = 4 4 t4 + log t 9t t 4 = 3t + t = 3t + t. 3t + t [ dt = t 3 ] = 8 + = 8. t ] 6t 3t + t 6 dt = 4 = 6 4 [ + log 3 4 ] = 3t 3 + dt t log. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili 4. Sia E R l insieme di definizione della funzione f x, y = e y/x x y + log x y Dopo aver determinato analiticamente l insieme E cioè espresso col minimo numero di condizioni e averlo disegnato, dire se: E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No x y + y x + < x y < x + y < x. Le condizioni si sintetizzano così: E = x, y : x + y <, x }.

12 E è aperto Sì No E è chiuso Sì No E è limitato Sì No E è connesso Sì No 5. Si consideri la funzione: sin x log x +y f x, y = x +y per x, y, per x, y =,. a. Stabilire se f è continua in,. b. Stabilire se f è derivabile in,, calcolando in caso affermativo f,. c. Stabilire se f è differenziabile in,, giustificando la risposta. a. Si ha f x, y x x log + y x + y, dove la funzione a secondo membro è positivamente omogenea di grado e continua fuori dall origine, perciò tende a zero per x, y,, e per il teorema del confronto lo stesso fa f b. f x, = sin x log x log per x, perciò perciò f, = log. x f, y = f, =, y in particolare f è derivabile in, con f, = log, c. La differenziabilità di f in, equivale alla condizione g x, y f x, y x log x + y per x, y,.

13 Ma: g x, x = sin x log 3 x log x log 3/4 log 3/4 ± per x ±. x / x In particolare g x, y non tende a zero per x, y,, e f non è differenziabile in,. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x 3 y 3 + x y + 3 y x. Se y = x, Se y = x, fx = 3x + 4 x y 3 = f y = 3y 4 x y + 3 = 3 x y = = y = ±x 3x + 4 x y 3 = e i punti stazionari sono: 3x 3 =, x = ±. 3x + 8x 3 =, x = 3, x = 3,,,, Calcoliamo la matrice hessiana. f xx = 6x + 4 f xy = 4 Hf x, y = f yy = 6y + 4 e sommando membro a membro 3,, 3, 3. 3 [ 6x ] 4 6y + 4 Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] 4 Hf, = indefinita, punto di sella. 4 [ ] 4 Hf, = indefinita, punto di sella. 4 [ ] 6 4 Hf 3, = definita positiva, punto di minimo [ ] 4 4 Hf 3, 3 = definita negativa, punto di massimo 4 4 3

14 4

15 Recupero compitino di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Dimostrare che l equazione f x, y = e y3 +x + y 5 Es Tot. Punti definisce implicitamente una e una sola funzione y = g x in un intorno di x =, e calcolare g. Si ha: f, y = e y3 + + y 5 = y =. Osservato che y = è soluzione, il fatto che sia l unica segue dalla monotonia della funzione y e y3 + + y 5. f y f y x, y = 3y e y 3 +x + 5y 4, = = 8, e per il teorema di Dini, essendo f C R, f, =, f y,, l equazione f x, y = definisce implicitamente una e una sola funzione y = g x in un intorno di x = ; risulta g = e Calcoliamo perciò f x g f x = f y x, y = 3 ey +x ; f x g = 8 = 4.,,., =. Calcolare l area e le coordinate del centroide di una lamina piana omogenea descritta da: } Ω = x, y : x R, y R x /R 5

16 dove R > è un parametro fissato. Per impostare l integrale si richiede di fare una figura e sfruttare le simmetrie. R Ω = R x dx = R R R Per simmetria, si ha x c =, mentre y c = ydxdy = 3 R R x /R Ω Ω R ydy R = 3 4R 4 R R x 4 dx = 3 R 4 [ x dx = 3 R. dx = 3 R R R ] R R x5 = 3 R 5 5 R 4 5 = 3 R. R x 4 R dx 3. Calcolare il momento d inerzia rispetto all asse z di un solido a forma di cono rappresentato da: C = x, y, z : z h, x + y R z }, di densità h ρ x, y, z = µ x z + R R 5 con R, h, µ > parametri fissati aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µ di una massa. Riportare con cura impostazione e passaggi. I = C ρ x, y, z x + y dxdydz = in coordinate cilindriche = µ h R z h R 5 poiché π π cos θ dθ = 4 h µ x z + R x +y R h z R 5 x + y dxdy dz ρ cos θ z + R ρ dθ ρdρ dz π/ cos θdθ = 4 6

17 = µ R 5 h = µ R 5 h R z h 4ρz + πr ρ 3 dρ 4 R z 5 π z + 5 h = µ 4 R 5 h 7 R 5 5 h π R 6 h 5 h 4 5 R R z h } = µ dz = µ R 5 h 4 dz = µ R 5 4 h π Rh 5 R z h R 5 h h 5 [ 4 5 ρ5 z + π R ρ 4 4 z 6 dz + π 5 } = µ5 47 h h + π R. R 6 h 4 ] R z h h z 4 dz dz } 4. Si consideri il campo vettoriale xe zy F = x + y, e zy zy + y + zx x + y, ye zy x + y + e z. a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campo è conservativo in tutto Ω, determinando in caso affermativo un potenziale. b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l arco di curva a. r t = t, t, t 3, t [, ]. Ω = x, y, z : x + y } cioè lo spazio privato dell asse z. Poiché Ω non è semplicemente connesso, l unico modo di sapere se F è conservativo in Ω è cercarne un potenziale. U x = xe zy x e zy x + y ; U x, y, z = e zy x + y dx = x + f y, z + y e zy U y = y x + y + f y y, z e zy z x + y y + f y y, z = e zy zy + y + zx = x + y = f y y, z =, f y, z = g z e U x, y, z = e zy x + y + g z U z x, y, z = ye zy x + y + g z = ye zy x + y + e z = g z = e z, g z = e z + c e U x, y, z = e zy x + y e z + c. x + y Poiché esiste un potenziale ben definito in tutto Ω, F è conservativo in tutto Ω. 7

18 b. L = U r U r = U, 4, 8 U,, = e 3 e 8 e e = e 3 e e. 5. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla rotazione attorno all asse z della curva γ che nel piano xz ha equazioni parametriche x = t cos t t [, π] z = t sin t e calcolarne l elemento d area, semplificando l espressione ottenuta e determinando gli eventuali punti singolari della superficie. Quindi calcolare l integrale di superficie ds x + y. Σ Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l elemento d area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ. x = t cos t cos θ Σ : y = t cos t sin θ t [, π], θ [, π]. z = t sin t ds = a t a t + b t dtdθ con a t = t cos t, b t = t sin t a t = cos t t sin t b t = sin t + t cos t a t + b t = + t ds = t cos t + t dtdθ L elemento d area si annulla per t =, t = π, che corrispondono ai punti singolari su Σ:,,,,, π. Σ π π x + y ds = t cos t t cos t + t dt dθ π = π + t dt 8

19 [t = Sh u; dt = Ch udu] SettSh π [ Ch u Sh u + u = π Ch udu = π = π π + π + SettSh π ] SettSh π = π π + π + SettSh π. 6. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da f x = sin x a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la serie di Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fourier saranno o /k. b. La funzione è pari, perciò b k = per ogni k. Per calcolare gli a k, poiché T =, ω = π T = π, Quindi a k = T = T/ T/ f x cos kωx dx = 4 T a = sin x cos kπx dx. mentre sfruttando l identità si ha, per k =,, 3... T/ f x cos kωx dx sin xdx = [ cos x] = cos sin α cos β = sin α + β + sin α β} sin x cos kπx dx = = sin kπ + x dx + [ cos kπ + x kπ + sin kπ x dx cos kπ x kπ ] 9

20 e la serie di Fourier di f è cos kπ + cos kπ = + kπ + kπ kπ + + kπ = k cos k cos kπ + kπ = k π k cos f x = cos + k= + kπ + + kπ k π k cos cos kπx Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 4:

21 Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y =. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y = 5e x sin x. [Nell applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metodo degli esponenziali complessi].. Si consideri la funzione: sin x log x +y f x, y = x +y per x, y, per x, y =,. a. Stabilire se f è continua in,. b. Stabilire se f è derivabile in,, calcolando in caso affermativo f,. c. Stabilire se f è differenziabile in,, giustificando la risposta. 3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x 3 y 3 + x y + 3 y x. 4. Calcolare l area e le coordinate del centroide di una lamina piana omogenea descritta da: } Ω = x, y : x R, y R x /R dove R > è un parametro fissato. Per impostare l integrale si richiede di fare una figura e sfruttare le simmetrie.

22 5. Calcolare il momento d inerzia rispetto all asse z di un solido a forma di cono rappresentato da: C = x, y, z : z h, x + y R z }, di densità h ρ x, y, z = µ x z + R R 5 con R, h, µ > parametri fissati aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µ di una massa. Riportare con cura impostazione e passaggi. 6. Si consideri il campo vettoriale xe zy F = x + y, e zy zy + y + zx x + y, ye zy x + y + e z. a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campo è conservativo in tutto Ω, determinando in caso affermativo un potenziale. b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l arco di curva r t = t, t, t 3, t [, ]. 7. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da f x = x x a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier.

23 Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello codice persona o n di matricola n d ordine v. elenco. Risolvere il problema di Cauchy y = y3 x y = precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita.. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione parametrica r t = t 3 + t, 6t, per t [, ]. Calcolare la sua lunghezza e la coordinata y c del centroide. 3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = 8x 4 + y 4 x y. 4. Dimostrare che l equazione f x, y = e y3 +x + y 5 definisce implicitamente una e una sola funzione y = g x in un intorno di x =, e calcolare g. 3

24 5. Calcolare l integrale doppio T x x + y dxdy dove T è il triangolo di vertici,,,,,, semplificando l espressione ottenuta. Scrivere anzitutto la rappresentazione di T come dominio y-semplice. 6. Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla rotazione attorno all asse z della curva γ che nel piano xz ha equazioni parametriche x = t cos t t [, π] z = t sin t e calcolarne l elemento d area, semplificando l espressione ottenuta e determinando gli eventuali punti singolari della superficie. Quindi calcolare l integrale di superficie ds x + y. Σ Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l elemento d area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ. 7. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da f x = sin x a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourierdi f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. 4

25 Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es Tot. Punti. a. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y =. b. Scrivere l integrale generale dell equazione y + y = 5e x sin x. [Nell applicare il metodo di somiglianza, si raccomanda di utilizzare il metodo degli esponenziali complessi]. a. b. Poiché α + α = α =, α = y x = c + c e x. 5e x sin x = Im 5e x+i, cerco prima una soluzione particolare dell equazione nel campo complesso del tipo w + w = 5e x+i. w x = Ae x+i w x = A + i e x+i w x = A + i e x+i, quindi } Ae x+i + i + + i = 5e x+i A 3 + 4i + + 4i} = i A = = = + 8i i w x = 3 8i 3 e x cos x + i sin x 5

26 perciò una soluzione particolare dell equazione completa di partenza è + 8i y x = Im e x cos x + i sin x = ex sin x 8 cos x 3 3 e l integrale generale dell equazione completa è y x = c + c e x + ex sin x 8 cos x. 3. Si consideri la funzione: sin x log x +y f x, y = x +y per x, y, per x, y =,. a. Stabilire se f è continua in,. b. Stabilire se f è derivabile in,, calcolando in caso affermativo f,. c. Stabilire se f è differenziabile in,, giustificando la risposta. a. Si ha f x, y x x log + y x + y, dove la funzione a secondo membro è positivamente omogenea di grado e continua fuori dall origine, perciò tende a zero per x, y,, e per il teorema del confronto lo stesso fa f b. f x, = sin x log x log per x, perciò perciò f, = log. x f, y = f, =, y in particolare f è derivabile in, con f, = log, c. La differenziabilità di f in, equivale alla condizione g x, y f x, y x log x + y per x, y,. Ma: g x, x = sin x log 3 x log x log 3/4 log 3/4 ± per x ±. x / x 6

27 In particolare g x, y non tende a zero per x, y,, e f non è differenziabile in,. 3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = x 3 y 3 + x y + 3 y x. fx = 3x + 4 x y 3 = f y = 3y 4 x y + 3 = 3 x y = = y = ±x 3x + 4 x y 3 = e sommando membro a membro Se y = x, Se y = x, 3x 3 =, x = ±. 3x + 8x 3 =, x = 3, x = 3 e i punti stazionari sono:,,,, Calcoliamo la matrice hessiana. f xx = 6x + 4 f xy = 4 Hf x, y = f yy = 6y + 4 3,, 3, 3. 3 [ 6x ] 4 6y + 4 Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] 4 Hf, = indefinita, punto di sella. 4 [ ] 4 Hf, = indefinita, punto di sella. 4 [ ] 6 4 Hf 3, = definita positiva, punto di minimo [ ] 4 4 Hf 3, 3 = definita negativa, punto di massimo 4 4 7

28 4. Calcolare l area e le coordinate del centroide di una lamina piana omogenea descritta da: } Ω = x, y : x R, y R x /R dove R > è un parametro fissato. Per impostare l integrale si richiede di fare una figura e sfruttare le simmetrie. R Ω = R x dx = R R R Per simmetria, si ha x c =, mentre y c = ydxdy = 3 R R x /R Ω Ω R ydy R = 3 4R 4 R R x 4 dx = 3 R 4 [ x dx = 3 R. dx = 3 R R R ] R R x5 = 3 R 5 5 R 4 5 = 3 R. R x 4 R dx 8

29 5. Calcolare il momento d inerzia rispetto all asse z di un solido a forma di cono rappresentato da: C = x, y, z : z h, x + y R z }, di densità h ρ x, y, z = µ x z + R R 5 con R, h, µ > parametri fissati aventi R, h le dimensioni di una lunghezza, µ di una massa. Riportare con cura impostazione e passaggi. I = C π ρ x, y, z x + y dxdydz = h in coordinate cilindriche = µ h R z h π ρ cos θ z + R R 5 ρ dθ ρdρ dz poiché = µ R 5 h = µ R 5 h R z h cos θ dθ = 4 π/ 4ρz + πr ρ 3 dρ 4 R z 5 π z + 5 h = µ 4 R 5 h 7 R 5 5 h π R 6 h 5 h 4 5 R R z h } = µ cos θdθ = 4 µ x z + R x +y R h z R 5 x + y dxdy dz dz = µ R 5 h 4 dz = µ R 5 4 h π Rh 5 R z h R 5 h h 5 [ 4 5 ρ5 z + π R ρ 4 4 z 6 dz + π 5 } = µ5 47 h h + π R. R 6 h 4 ] R z h h z 4 dz dz } 6. Si consideri il campo vettoriale xe zy F = x + y, e zy zy + y + zx x + y, ye zy x + y + e z. a. Dopo aver determinato il suo insieme di definizione Ω, stabilire se il campo è conservativo in tutto Ω, determinando in caso affermativo un potenziale. b. Calcolare il lavoro del campo F lungo l arco di curva r t = t, t, t 3, t [, ]. a. Ω = x, y, z : x + y } 9

30 cioè lo spazio privato dell asse z. Poiché Ω non è semplicemente connesso, l unico modo di sapere se F è conservativo in Ω è cercarne un potenziale. U x = xe zy x e zy x + y ; U x, y, z = e zy x + y dx = x + f y, z + y e zy U y = y x + y + f y y, z e zy z x + y y + f y y, z = e zy zy + y + zx = x + y = f y y, z =, f y, z = g z e U x, y, z = e zy x + y + g z U z x, y, z = ye zy x + y + g z = ye zy x + y + e z = g z = e z, g z = e z + c e U x, y, z = e zy x + y e z + c. x + y Poiché esiste un potenziale ben definito in tutto Ω, F è conservativo in tutto Ω. b. L = U r U r = U, 4, 8 U,, = e e 8 e e = e e e. 7. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da f x = x x a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourier di f, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. a. La funzione periodizzata è regolare a tratti ma discontinua. Perciò la serie di Fourier di f, in [, ], converge puntualmente a f ovunque tranne in ±, dove converge a. I coeffi cienti di Fourier saranno o ma non o /k. 3

31 b. La funzione è dispari, perciò a k =. Poiché T =, ω = π T = π, T/ T/ b k = f x sin kωx dx = 4 f x sin kωx dx = T T/ T [ ] } = x cos kπx x cos kπx + dx kπ kπ cos kπ = + } x cos kπx dx kπ kπ [x cos kπ = + 4 ] } sin kπx sin kπx dx kπ kπ kπ kπ cos kπ = 4 kπ kπ [ cos kπx kπ ] cos kπ = + 4 kπ 3 cos kπ. kπ La serie di Fourier di f è cos kπ f x = kπ k= } cos kπ sin kπx. kπ Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = : x sin kπx dx 3

32 Primo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 7/8. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es Tot. Punti. Risolvere il problema di Cauchy y = y3 x y = precisando qual è il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di Cauchy è definita. Equazione del prim ordine a variabili separabili, soluzione costante y = non assume il dato di Cauchy. Per y, dy dx y 3 = x = log x + c y y = log x + c e imponendo qui la condizione iniziale si ha 4 = c, c = y x = log x Ora per scegliere se y = ± log x ragioniamo sul fatto che in y <, perciò y x = log x definita nel più ampio intervallo contenente, non contenente, e tale che log x >, quindi: anzitutto x >, inoltre log x > = x < e 3

33 e l intervallo è, e.. Si consideri una linea materiale piana omogenea γ di equazione parametrica r t = t 3 + t, 6t, per t [, ]. Calcolare la sua lunghezza e la coordinata y c del centroide. Si ha: r t = r t = 3t t, 6 9t 4 + 4t = l γ = y c = yds = l γ γ 8 [ 6 3 = 4 4 t4 + log t 9t t 4 = 3t + t = 3t + t. 3t + t [ dt = t 3 ] = 8 + = 8. t ] 6t 3t + t 6 dt = 4 = 6 4 [ + log 3 4 ] = 3t 3 + dt t log. 3. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura cioè decidere se sono punti di minimo, massimo, o sella. f x, y = 8x 4 + y 4 x y. fx = 3x 3 x y = f y = 4y 3 e sommando membro a membro + x y = 3x 3 + 4y 3 = = y 3 = 8x 3 = y = x 8x 3 + x + x = 3x 6x 3 = = x = o x = 3 6, x = ± 3 4 e i punti stazionari sono: ,, 4,, 4,. 33

34 Calcoliamo la matrice hessiana. f xx = 96x f xy = Hf x, y = f yy = y [ ] 96x y Studiamo ora la natura dei punti stazionari: [ ] Hf, = semidefinita, caso dubbio. [ ] Hf ± 4, = definita positiva, punto di minimo. 7 Per quanto riguarda il caso dubbio: studiamo il punto con la tecnica delle restrizioni: f x, x = 9x 4 e lungo questa retta, è punto di minimo; f, y = y 4 y y, perciò lungo questa retta, è punto di massimo. Quindi il punto è di sella. 4. Dimostrare che l equazione f x, y = e y3 +x + y 5 definisce implicitamente una e una sola funzione y = g x in un intorno di x =, e calcolare g. Si ha: f, y = e y3 + + y 5 = y =. Osservato che y = è soluzione, il fatto che sia l unica segue dalla monotonia della funzione y e y3 + + y 5. f y f y x, y = 3y e y 3 +x + 5y 4, = = 8, e per il teorema di Dini, essendo f C R, f, =, f y,, l equazione f x, y = definisce implicitamente una e una sola funzione y = g x in un intorno di x = ; risulta g = e g f x = 34 f y,,.

35 Calcoliamo perciò f x x, y = 3 ey +x ; f x g = 8 = 4., = 5. Calcolare l integrale doppio T x x + y dxdy dove T è il triangolo di vertici,,,,,, semplificando l espressione ottenuta. Scrivere anzitutto la rappresentazione di T come dominio y-semplice. T x x + y dxdy = T = x, y : x, x y x}. = x x x x x + y dy dx [log x + y] x x dx = x log log x dx = x log xdx [x ] } = log x x x dx = x dx = Scrivere le equazioni parametriche della superficie Σ generata dalla rotazione attorno all asse z della curva γ che nel piano xz ha equazioni parametriche x = t cos t t [, π] z = t sin t e calcolarne l elemento d area, semplificando l espressione ottenuta e determinando gli eventuali punti singolari della superficie. Quindi calcolare l integrale di superficie ds x + y. Σ Suggerimento: applicare la formula che consente di calcolare l elemento d area di Σ a partire dalle equazioni parametriche di γ. 35

36 x = t cos t cos θ Σ : y = t cos t sin θ t [, π], θ [, π]. z = t sin t ds = a t a t + b t dtdθ con a t = t cos t, b t = t sin t a t = cos t t sin t b t = sin t + t cos t a t + b t = + t ds = t cos t + t dtdθ L elemento d area si annulla per t =, t = π, che corrispondono ai punti singolari su Σ:,,,,, π. Σ π π x + y ds = t cos t t cos t + t dt dθ π = π + t dt [t = Sh u; dt = Ch udu] SettSh π [ Ch u Sh u + u = π Ch udu = π = π π + π + SettSh π ] SettSh π = π π + π + SettSh π 7. Si consideri la funzione -periodica definita in [, ] da f x = sin x a. Dopo aver tracciato il grafico di f sul periodo [, ]: in base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coeffi cienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b. Calcolare esplicitamente i coeffi cienti di Fourierdi f, tenendo conto del periodo e delle simmetrie, semplificare opportunamente l espressione ottenuta per i coeffi cienti di Fourier e scrivere la serie di Fourier. a. La funzione periodizzata è continua su R e regolare a tratti. Perciò la serie di Fourier di f converge puntualmente a f ovunque e i coeffi cienti di Fourier saranno o /k.. 36

37 b. La funzione è pari, perciò b k = per ogni k. Per calcolare gli a k, poiché T =, ω = π T = π, Quindi a k = T = T/ T/ f x cos kωx dx = 4 T a = sin x cos kπx dx. mentre sfruttando l identità si ha, per k =,, 3... sin x cos kπx dx = e la serie di Fourier di f è T/ f x cos kωx dx sin xdx = [ cos x] = cos sin α cos β = sin α + β + sin α β} = f x = cos + sin kπ + x dx + [ cos kπ + x kπ + sin kπ x dx cos kπ x kπ cos kπ + cos kπ = + kπ + kπ kπ + + kπ = k cos k cos kπ + kπ = k π k cos k= ] + kπ + + kπ k π k cos cos kπx Grafico di f x insieme alla sua somma parziale di Fourier fino a n = 4: 37