MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 2016/2017 Prof. C. Presilla. Prova A1 27 aprile 2017

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1 MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A. 206/207 Prof. C. Presilla Prova A 27 aprile 207 Cognome Nome Matricola iscritto al secondo anno iscritto al terzo anno fuoricorso o con più di 55 CFU penalità esercizio voto

2 Esercizio Calcolare la somma S = sin π 9 + sin 3π 9 + sin 5π 9 + sin 7π 9. Suggerimento: si consideri la formula di de Moivre [punteggio 6] Si ponga z = e i π 9 = cos π 9 + i sin π 9, utilizzando la formula di de Moivre (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ), risulta ( ) 3 3 S = Im z 2k+ = Im z (z 2 ) k = Im (z (z2 ) 4 ) z 2 = Im z z9 z 2. k=0 k=0 Osservando che z 9 =, si ottiene S = Im z = Im z ( z)( z) = Im( z) + z 2 2 Re z = Im z 2( Re z) = sin π 9 2 cos π. 9

3 Esercizio 2 Sia f : D C con D C aperto e connesso. Dimostrare che se f è analitica in D e f costante in D, allora f è costante in D. [punteggio 5] Si veda il Teorema 5.20 a pagina 60 del testo di riferimento.

4 Esercizio 3 Si consideri la serie di potenze a n (z z 0 ) n n=0 convergente a f(z) = tan(z) log(z π + i) per z z 0 < R con z 0 = 2 + i. Determinare il raggio di convergenza R di tale serie. Si assuma il ramo principale per le funzioni polidrome. [punteggio 5] La funzione f(z) è analitica in C ad eccezione della linea di diramazione w(t) = i + (π t), con t [0, ), e delle singolarità isolate nei punti w k = (2k + )π/2, k = 0, ±, ±2,.... Il raggio di convergenza R è il raggio del massimo cerchio centrato in z 0 = 2 + i all interno del quale f(z) risulta analitica. Poiché min z 0 w k = z 0 w = (2 π/2) 2 +, k=0,±,±2,... min z 0 w(t) = z 0 w(π 2) = 2, t [0, ) risulta R = (2 π/2) 2 +.

5 Esercizio 4 Sia f : D C, con D = {z : 0 < z < π/2}, definita da f(z) = tan z z 2. Mostrare che f non ha primitiva in D. [punteggio 5] Nel dominio D, aperto e connesso, f, analitica in D, ha primitiva se e solo se 0 per ogni cammino chiuso, regolare a tratti, contenuto in D. Si consideri la circonferenza centrata nell origine, di raggio, orientata positivamente. Per la formula integrale di Cauchy applicata alla funzione tan z, analitica su e dentro, risulta tan z (z 0) 2 dz = 2πi d dz tan z = 2πi z=0 cos Pertanto f non ha primitiva in D.

6 Esercizio 5 Calcolare l integrale sin(z ) dz, dove è la circonferenza centrata nell origine, di raggio /5, percorsa in verso antiorario. [punteggio 6] La funzione / sin(z ) è analitica ovunque ad eccezione dei poli semplici nei punti z n = (nπ), n = ±, ±2,..., e della singolarità non isolata in z = 0. Detta la circonferenza centrata nell origine, di raggio, percorsa in verso antiorario, la funzione / sin(z ) risulta analitica su e al suo esterno, e per il teorema del residuo all infinito si ha sin(z ) dz = 2πi Res z=0 z 2 sin(z). Tale residuo può essere calcolato considerando che per 0 < z < vale lo sviluppo in serie di Laurent z 2 sin(z) = z 2 z z3 3! + z5 5! z7 7! +... = ( ) z 3 z 2 3! z4 5! +... = ( z 2 [ z 3 + 3! z4 5! +... = z 3 + 3! z + Pertanto sin(z ) dz = 2πi 3! = π 3 i. ) ( z 2 + ( 5! + (3!) 2 3! z4 5! +... ) z Per il principio di deformazione dei cammini, risulta sin(z ) dz = sin(z ) dz + + sin(z ) dz + ) ] sin(z ) dz, dove ± sono circonferenze, centrate nei punti ±π, orientate positivamente e di raggio minore di min(/π /5, /π). Poiché Res z=±π sin(z ) = sin (z ) = z=±π π 2, concludiamo sin(z ) dz = π 3 i 2πi π 2 2πi π 2 = i ( π 3 4 ). π

7 Esercizio 6 Dimostrare che il seguente integrale improprio è convergente e calcolarne il corrispondente valore: + x sin(3x) + 3 x 2 dx. + [punteggio 6] Si consideri la funzione complessa f(z) = (ze i3z + 3i)/(z 2 + ) che ha poli semplici in z = ±i e la si integri lungo il perimetro, orientato positivamente, del quadrato di vertici R, R 2, R 2 + i(r + R 2 ), R + i(r + R 2 ), con R > 0, R 2 > 0 e R + R 2 >. Per il teorema dei residui si ha 2πi Res f(z) z=i D altro canto = 2πi ie 3 + 3i 2i = iπ(3 + e 3 ). 4 k= λ k f(z)dz, dove λ (x) = x, R x R 2, λ 2 (y) = R 2 + iy, 0 y R + R 2, λ 3 (x) = x+i(r +R 2 ), R 2 x R, e λ 4 (y) = R +iy, R +R 2 y 0. Gli integrali lungo i cammini che compongono valgono λ R2 xe i3x + 3i R x 2 + dx, λ 2 R +R 2 0 (R 2 + iy)e i3r2 3y + 3i (R 2 + iy) 2 idy R,R 2 0, + λ 3 λ 4 R R 2 0 Pertanto esiste il limite lim R,R 2 R2 xe i3x 3(R+R2) + 3i (x + i(r + R 2 )) 2 + dx R,R 2 0, ( R + iy)e i3r 3y + 3i R +R 2 ( R + iy) 2 + R xe i3x + 3i x 2 + dx = + idy R,R 2 0. xe i3x + 3i x 2 + dx = iπ(3 + e 3 ). Prendendo la parte immaginaria di questa espressione, si conclude + x sin(3x) + 3 x 2 dx = π(3 + e 3 ). + Si noti che, prendendo la parte reale della stessa espressione, si ha + x cos(3x) x 2 dx = 0, + in accordo con il fatto che la funzione integranda è dispari.