Esercizi sulle funzioni olomorfe

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1 Esercizi sulle funzioni olomorfe Corso di Fisica Matematica 2, a.a Dipartimento di Matematica, Università di Milano 8//23 Proprietà generali Esercizio. Si determini quali tra le seguenti funzioni non sono olomorfe, e quali lo sono eccetto per qualche valore speciale (da indicare di z. Qui α, β, γ sono costanti complesse, P n e Q m polinomi del loro argomento. f(x, y = sin(z 2, 2 f(x, y = sin(z 2, 3 f(x, y = e αz sin(βz tanh(γz, 4 f(x, y = ( + z 3 5, 5 f(x, y = P n (z, 6 f(x, y = P n ( + z/q m (z. Esercizio.2 Si determini quali tra le seguenti funzioni f(x, y costituiscono la parte immaginaria di una funzione olomorfa F (z, ed in tal caso si determini la F (z. f(x, y = x 2 + y 2, 2 f(x, y = x 2 y 2, 3 f(x, y = sinh(xy cos(x 2 y 2, 4 f(x, y = cos(x 2 y 2, 5 f(x, y = e y cos(2x, 6 f(x, y = e 2y sin(2x. Esercizio.3 Si determini per quale valore della costante reale K la funzione f(x, y = cos(2x cosh(ky rappresenta la parte immaginaria di una funzione olomorfa F (z, e si determini in tal caso F (z.

2 Esercizio.4 Si determinino due polinomi P n (x, y omogenei di grado n che siano armonici. [Suggerimento: l unico polinomio omogeneo di grado n che rappresenti una funzione olomorfa è ovviamente z n.] Esercizio.5 Si dimostri che se P n (z è un polinomio di grado n, ed N > n+, allora P n (z dz = (z z N+ per ogni curva chiusa γ non passante per z = z. 2 Sviluppi in serie γ Esercizio 2. Si determini lo sviluppo di Taylor delle seguenti funzioni f(z (con α una costante complessa arbitraria intorno a z = z ; si determini inoltre il raggio di convergenza di detti sviluppi. f(z = [sin(αz]/z, z =, 2 f(z = e αz, z = + i, 3 f(z = (z + i/(z, z = + i, 4 f(z = z α, z =. Esercizio 2.2 Si determini quali tra le seguenti funzioni f(z possono essere sviluppate in serie di Laurent intorno al punto z. ( f(z = sin(/z z = (2 f(z = sin(/z z = (3 f(z = / sin(z z = (4 f(z = / sin(z z = (5 f(z = / cos(/z z = (6 f(z = z 2 tan(/z z = Esercizio 2.3 Si determini per ognuna delle seguenti funzioni f(z (con α C arbitrario il suo sviluppo in serie di Laurent intorno al punto z. ( f(z = [z( z] z = (2 f(z = [z( z] z = (3 f(z = [z( z] z = (4 f(z = z 2 e α/z z = (5 f(z = /( + z 2 2 z = i (6 f(z = /( + z 2 2 z = 2

3 3 Residui Esercizio 3. Sia f(z una funzione olomorfa (monodroma in tutto C avente come singolarità solo poli o singolarità essenziali in punti isolati z i ; si indichi con f (z la sua derivata. (a Si dimostri che i residui di f (z sono tutti nulli. (b Si dimostri che lo stesso vale per f (k (z, per ogni k >. Esercizio 3.2 E noto che la funzione f(z ha un polo di ordine N in z = z ; si dimostri che F (z := f (z f(z ha un polo semplice in z, con residuo ρ(f, z = N. Esercizio 3.3 E noto che la funzione f(z ha uno zero di ordine N in z = z ; si dimostri che F (z := f (z f(z ha un polo semplice in z, con residuo ρ(f, z = +N. Esercizio 3.4 Si determinino i residui delle seguenti funzioni in tutti i punti finiti in cui hanno singolarità (con n Z: f(z = /(z 3 z 5, 2 f(z = z 2 /(z 2 + 2, 3 f(z = tan(z, 4 f(z = z 2 n /( + z n, 5 f(z = z n sin(/z. Esercizio 3.5 Si calcoli l integrale γ f(z dz lungo la curva γ (percorsa in senso antiorario di equazione k(x, y = nei seguenti casi ( f(z = /( + z 4 k(x, y = x 2 + y 2 2x (2 f(z = z/[(z (z 2 2 ] k(x, y = (x y 2 /4 (3 f(z = e z /[z 2 (z 2 9] k(x, y = x 2 + y 2 (4 f(z = sin(/z k(x, y = x 2 + y 2 (5 f(z = [sin(/z] 2 k(x, y = x 2 + y 2 (6 f(z = z/[(sin z( cos z] k(x, y = x 2 + y 2 25 Esercizio 3.6 Si calcoli γ z n e 2/z dz 3

4 per γ una qualsiasi curva intorno all origine e per n intero arbitrario. Esercizio 3.7 Si calcoli γ (z 3 (z 5 dz dove γ indica la curva di equazione x 2 + y 2 = 4. [Suggerimento: usare il Corollario 2 al teorema dei residui.] 4 Calcolo di integrali reali tramite i residui Esercizio 4. Si calcolino i seguenti integrali, in cui a, b... sono costanti reali, α, β,... sono costanti complesse. ( (2 (3 (4 ( dx (a > b > ; (a + b cos x 2 (a + b cos 2 dx (a >, b > ; x 2 ( 2α cos x + α 2 dx ( α ; cos 2 (3x ( 2α cos x + α 2 dx ( α ; tan(x + ia dx (a. Esercizio 4.2 Si calcolino gli integrali ( n sin(ax I n (a = dx x con a una costante reale, per n =, 3, 4. Esercizio 4.3 Si calcolino i seguenti integrali, in cui a, b... sono costanti reali. ( (2 (3 (4 ( x 2 dx ; x (x 2 + 4x dx ; x 2 (x 2 + a 2 dx (a ; 2 (x 2 + a 2 (x 2 + b 2 x 2 + x 4 + dx. 4 dx (a, b ;

5 Esercizio 4.4 Si calcoli, per n intero e maggiore di uno, l integrale I(n = + x n dx. Esercizio 4.5 Si calcoli, per n intero e maggiore di uno, l integrale I n = x n dx. + x2n Esercizio 4.6 Si calcolino i seguenti integrali, in cui la costante reale α soddisfa Re(α <. ( (2 (3 (4 (5 (6 + x α + x 2 dx ; x α ( + x 2 2 dx ; α ( xα x + x 2 dx ; α ( xα x + x 3 dx ; α ( xα x ( + x 2 dx ; α ( xα ( + x + x 2 dx. Esercizio 4.7 Per a reale, e ricordando che log(z e una funzione polidroma (di molteplicita infinita, si calcolino gli integrali I = log(x (x 2 + a 2 dx ; I 2 = [log(x] 2 (x 2 + a 2 dx. 5

6 5 Soluzioni 5. Proprietà generali Esercizio. ( è olomorfa per ogni valore finito di z; (2 non lo è; (3 lo è per ogni valore finito di z eccetto z = (2n + i/(2γ, con n Z; (4 è olomorfa eccetto che per z = e z = exp(±2/3; (5 è olomorfa per ogni valore finito di z; (6 è olomorfa per ogni valore finito di z eccetto che per le m radici di Q m (z. Esercizio.2 Le parti immaginarie (e reali di funzioni olomorfe devono essere funzioni armoniche, cioé soddisfare f xx + f yy =. Inoltre, scrivendo u(x, y = g(x, y + if(x, y, perché u sia olomorfa devono essere soddisfatte le relazioni di Cauchy-Riemann g x = f y e f x = g y. Per le funzioni proposte, si ha: Esercizio.3 Si ha NO, 2 SI, g = 2xy, 3 NO, 4 NO, 5 NO, 6 SI, g = e 2y cos(2x. (f = (K 2 4 cos(2x cosh(ky ; dunque K = ±2. La parte reale corrispondente è (in ambedue i casi e quindi g(x, y = sin(2x sinh(2y, F = g(x, y + if(x, y = sin(2x sinh(2y + i cos(2x cosh(2y = sin(z. Esercizio.4 L unica funzione olomorfa che sia un polinomio omogeneo di grado n in z è ovviamente z n. Scriviamo z n = (x + iy n ; le sue parti reale ed immaginaria saranno i polinomi richiesti, che risultano essere (usando al formula del binomio P ( n (x, y = P (2 n (x, y = [n/2] ( ( k n x n 2k y 2k ; 2k k= [(n /2] k= ( ( k n x n (2k+ y 2k+. 2k + 6

7 Esercizio.5 Si dimostri che se P n (z è un polinomio di grado n, ed N > n+, allora P n (z dz = (z z N+ per ogni curva chiusa γ non passante per z = z. 5.2 Sviluppi in serie γ Esercizio 2. Indichiamo con r il raggio di convergenza richiesto. Si ha f(z = ( k α 2k+ (2k +! z2k, r =, k= α k 2 f(z = e αz (z z k, r =, k! k= 3 f(z = (2 i i k+ [z ( + i] k, r =, 4 f(z = k= ( α k k= (z k, r =. Nella (4, se α = N è un intero positivo, la serie si riduce ad un polinomio ed il raggio di convergenza diventa r =. Esercizio 2.2 Le prime quattro. Esercizio 2.3 ( f(z = (2 f(z = (3 f(z = (4 f(z = (5 f(z = (6 f(z = k= z k, z < ; ( k (z k, z < ; k= k= 2 k= k= 2 z k, z > ; α 2 k (2 k! zk, z < ; i k k k+4 (z ik, z i < 2; ( k k z 2(k+, z >. k= 7

8 5.3 Residui Esercizio 3. Se f è monodroma, per due qualsiasi curve γ e γ 2 da z a z (che non passino per i punti z i deve essere f (ζ dζ = f(z f(z = f (ζ dζ. γ γ 2 Dunque per qualsiasi contorno chiuso C (costituito dai cammini arbitrari γ e γ 2 si ha f (ζ dζ =. C D altra parte, se f(z è monodroma, anche f (z lo è; allora l integrale sul cammino (chiuso C è proporzionale alla somma dei residui sulle singolarità di f che si trovano all interno di C. Dato che questo integrale si annulla per qualsiasi C, tutti i residui devono essere nulli. Lo stesso risultato si può ottenere scrivendo lo sviluppo in serie di Laurent di f intorno a z e poi differenziando in z; si ottiene così lo sviluppo in serie di Laurent per f (z intorno a z ; questo non avrà il termine che dà origine al residuo. Esercizio 3.2 Scriviamo lo sviluppo di Taylor di f intorno a z = z : f(z = k= N ϕ k (z z k = ϕ N (z z N [ + A(z] ; qui A(z = e quindi A(z =. Calcoliamo ora a k (z z k, k= f (z = N ϕ N (z z N [ + B(z] ; anche B(z e una serie di Taylor e soddisfa B(z = (la sua espressione esplicita, come quelal dei termini a k, in funzione dei coefficienti ϕ k si potrebbe calcolare facilmente ma non e rilevante. Abbiamo dunque F (z := f (z f(z = N ϕ N (z z N [ + B(z] ϕ N (z z N [ + A(z] + B(z = N z z + A(z. Ricordando che A e B si annullano per z z, abbiamo immediatamente Res(F, z = lim (z z F (z = N. z z 8

9 Esercizio 3.3 Procediamo come nell esercizio precedente; scriveremo f(z = ϕ k (z z k = ϕ N (z z N [ + A(z]. k=n In questo caso otteniamo f (z = N ϕ N (z z N [ + B(z]. Ne segue che e quindi immediatamente F (z = f (z f(z = N z z + B(z + A(z, Res(F, z = lim (z z F (z = N. z z Esercizio 3.4 Indicando il residuo Res(f(z, z con ρ(z otteniamo ρ(z = =, ρ(z = ± = /2, 2 ρ(z = ±i = i/4, 3 ρ(z = (2k + /2 =, 4 ρ(z = = ( n + (2 n! ( n! ( n +!, 5 ρ(z = = per n = ±, 2, ±3, 4, ±5... ; ρ(z = = ( n/2 /(n +! per n =, 2, 4,.... Il calcolo e immediato per i primi tre casi. Nel caso (4 notiamo che per n = la funzione e nulla; mentre per n > il denominatore (+z n e un polinomio di grado n, e quindi nello sviluppo della funzione proposta non appariranno potenze negative di z (anzi, appariranno solo quelle comprese tra n e 2 n ; in particolare, il residuo sara nullo per ogni n. Infine, nel caso (5 abbiamo un solo punto singolare (che e una singolatita essenziale in z =. Per calcolare lo sviluppo di Laurent, e con esso il residuo, ricordiamo lo sviluppo di Taylor (intorno ad x = del seno: ( sin(x = x ( k x 2k. (2k +! Per x = /z otteniamo sin(/z = z k= ( ( k (2k +! z 2k ; k= questa contiene solo potenze negative e dispari di z. La funzione proposta, f(z = z n sin(/z 9

10 si scrive quindi in serie di Laurent come ( f(z = z n ( k (2k +! z 2k k= = ( k k= z n 2k (2k +! := n k= ϕ k z k. Il residuo e il coefficiente ϕ, ed otteniamo immediatamente che res(f, = { per n pari ( [(n+/2] [(n + 2!] per n dispari. Esercizio 3.5 Le curve γ proposte sono sempre dei cerchi, di raggio r e centro C = (x, y diversi. Forniamo quindi per ognuna delle funzioni e curve proposte le informazioni su r e C = (x, y insieme a quelle sui punti singolari z k che si trovano nel dominio, ed i residui richiesti. (: C = (,, r = ; punti singolari z = ± e z = ±i, solo z = e all interno di γ; ρ( = /4. (2: C = (2,, r = /2; punti singolari z = (interno e z = 2 (esterno; ρ(2 =. (3: C = (,, r = ; punti singolari z = (interno e z = ±3 (esterni; ρ( = /9. (4: C = (,, r = ; punto singolare z = (interno; per calcolare il residuo, ricordiamo che sin(x = x ( ( k k= k= x 2k (2k +! nel nostro caso abbiamo quindi ( sin(/z = (/z ( k z 2k. ( (2k +! In altre parole, la serie di Laurent per la funzione proposta (intorno a z = si scrive come sin(/z = a k z k con k= a 2m =, a 2m = ( m (2m +!. In particolare, per m = abbiamo a = e quindi infine ρ( =. (5: C = (,, r = ; punto singolare z =. Procedendo come sopra, lo sviluppo di Laurent di sin(/z contiene solo potenze dispari (negative, quindi lo sviluppo del suo quadrato conterra solo potenze pari; questo e sufficiente ad assicurare che ρ( =. (6: C = (,, r = 5; i punti singolari sono quelli in cui si annulla sin(z (dunque i punti reali z = k e quelli in cui cos(z = (cioe i punti reali z = 2k. Di questi, solo z = e all interno della curva da considerare. In ogni caso, la ;

11 funzione e pari in z e quindi non contiene termini di ordine dispari; il residuo e nullo, ρ( =. Gli integrali richiesti sono quindi Esercizio 3.6 La funzione ( (/2 i, (2 2 i, (3 (2/9 i, (4 2 i, (5, (6. f(z = z n e 2/z ha una sola singolarita (essenziale, in z = ; e quindi sufficiente calcolare il residuo in z =. Ricordando che e /z = k= k! z k, abbiamo immediatamente f(z = 2 k z n 2k k= k!, ed il residuo corrisponde al termine per cui n 2k =. Risulta quindi res(f, = (n pari, = 2 (n+/2 /[((n + /2!] (n dispari. Esercizio 3.7 La curva γ e la circonferenza di centro nell origine e di raggio r = 2. La funzione proposta, f(z = (z 3 (z 5, ha un polo in z = 3 ed altri cinque poli in z k = exp[i(2k/5], k =,..., 5. Il punto z si trova all esterno di γ, mentre i punti z k sono all interno. E lecito calcolare l integrale calcolando i residui sui punti z k, ma e piu semplice operare sul solo punto singolare che si trova all esterno di γ. Abbiamo res(f, z = 3 = lim z 3 (z 3 f(z = 3 5 = 242.

12 5.4 Calcolo di integrali reali tramite i residui Esercizio 4. Gli integrali si calcolano esprimendo seni e coseni in forma esponenziale e passando alla variabile complessa z = e ix ; l integrazione si riduce allora ad una integrazione di una funzione olomorfa sul serchio unitario del piano complesso, e gli integrali si calcolano tramite i residui. Le soluzioni ottenute sono le seguenti (con σ la funzione segno: ( (2 2 a (a 2 b 2 ; 3/2 (2a + b [a(a + b] ; 3/2 (3 σ( α 2/( α 2 ; (4 σ( α ( α α 9 4 α 2 (5 σ(a i. ; Esercizio 4.2 Si tratta di funzioni pari (per qualsiasi n intero; possiamo quindi dapprima estendere l integrale all intera retta reale, e poi passare a considerare un integrale complesso lungo un cammino chiuso ottenuto completando la retta reale con la semicirconferenza all infinito sul semipiano superiore (o inferiore. Questo integrale si calcola mediante la tecnica dei residui, e coincide con l integrale reale richiesto in quanto la semicirconferenza fornisce un contributo nullo. In questo modo si ottiene, indicando con σ(a il segno di a : I (a = (/2 σ(a, I 3 (a = (3/8 a 2 σ(a, I 4 (a = (/3 a 3 σ(a. In effetti, si puo ottenere una espressione generale per qualsiasi n: I n (a = ( n a n 2 a [n/2] k= ( k ( [(n/2 k] n k! (n k!. Per n = non si ha convergenza assoluta (ma l integrale converge ugualmente grazie alle cancellazioni dovute alla oscillazione della funzione seno. Esercizio 4.3 Si procede come nell esercizio precedente, ottenendo: ( /2 ; (2 /27 ; (3 /(4 a ; (4 /[ ab ( a + b ] ; (5 / 2. 2

13 Esercizio 4.4 Si ottiene, procedendo come al solito I(n = n sin(/n. Esercizio 4.5 Si ottiene, sempre nello stesso modo, I n = n sin[/(2n] sin(/n Esercizio 4.6 La condizione su α assicura la convergenza degli integrali in tutti casi; in effetti, in piu di un caso questa sarebbe assicurata anche con limiti meno stringenti su Re(α. I risultati ottenuti sono i seguenti: ( 2 cos(α/2 ; α (2 4 cos(α/2 ; [ ] (3 2 α/2 cos(α/4 ; sin(α (4 8 sin(α [2α α ( α] ; (5 sin(α [2α ( α/2 ] ; (6 [sin(α/2 + cos(α/2 ]. sin(α Esercizio 4.7 Il primo integrale e calcolato in dettaglio nelle dispense, a cui rimandiamo per il dettaglio del calcolo; si tratta di integrare sull intero asse reale (da decomporre nella parte negativa ed in quella positiva, R ed R + e su S, la semicirconferenza all infinito nel semipiano superiore. Si usa il fatto che su R, z = ρe i e quindi z = ρ, log(z = log(ρ + i. In questo modo si ottiene ( I = log( a. 2 a Per il secondo integrale, procediamo nello stesso modo; anche in questo caso l integrale su S e nullo, ed abbiamo I + = f(z dz = f(xdx = I 2. R + Sulla semiretta reale negativa, abbiamo I = = [log(ρ + i] 2 ρ 2 + a 2 dρ = [log(ρ] 2 ρ 2 + a 2 dρ + = I i I 2 A,. [log(ρ + i] 2 ρ 2 + a 2 2i log(ρ ρ 2 + a 2 dρ 2 dρ ρ 2 + a 2 dρ 3

14 dove I e proprio l integrale calcolato nella prima parte dell esercizio, ed A e l integrale elementare A = Abbiamo dunque mostrato che x 2 + a 2 dx = 2 a. Γ = I + I + = 2 I i I 2 A. D altra parte, Γ puo essere calcolato con la tecnica dei residui; la funzioen integranda ha poli semplici in z = ±ia, e di questi solo quello in z = i a si trova all interno del cammino di integrazione. Abbiamo, ricordando che z = a e i/2, res(f, z = [ [log(z] 2 z + i a ]z=z = [log( a + i/2]2 2i a, e quindi Γ = 2 i res(f, z = a [ (log( a 2 + i log( a 2 /4 ]. Confrontando le due determinazioni di Γ, otteniamo immediatamente I 2 = 2 [Γ + 2 A 2iI ] = [ ( [log( a ] 2 + i log( a 2 / a 2 a [ = 4 [log( a ] 2 + 2]. 8 a 2i ] 2 a log( a 4