Esercizi sull equazione di Laplace

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Donato Alessi
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1 Esercizi sull equazione di Laplace Corso di Fisica Matematica, a.a Dipartimento di Matematica, Università di Milano 16/1/01 Questi esercizi trattano la soluzione dell equazione di Laplace u xx + u yy = 0 con dati assegnati sul cerchio unitario C 0. Per il problema di Dirichlet, questi saranno assegnati passando in coordinate polari) nella forma ur, θ) C0 = ϕθ) ; per il problema di Neumann, saranno assegnati nella forma u r r, θ) C0 = ψθ). Gli esercizi trattano condizioni iniziali simili per i diversi problemi, in modo da rendere minimo lo sforzo di calcolo di integrali. 1 Problema di Dirichlet interno Esercizio 1.1 Si risolva il problema di Dirichlet interno per l equazione di ϕθ) = sinθ). Esercizio 1. Si risolva il problema di Dirichlet interno per l equazione di ϕθ) = sinx) sin x) cos3x)]. Esercizio 1.3 Si risolva il problema di Dirichlet interno per l equazione di ϕθ) = cos 3 θ). Esercizio 1.4 Si risolva il problema di Dirichlet interno per l equazione di ϕθ) la funzione periodica di periodo π definita per θ π, π] da ϕθ) = e θ /. 1

2 Esercizio 1.5 Si risolva il problema di Dirichlet interno per l equazione di ϕθ) la funzione periodica di periodo π definita per θ π, π] da ϕθ) = Θθ]. Problema di Dirichlet esterno Esercizio.1 Si risolva il problema di Dirichlet esterno per l equazione di ϕθ) = sinθ). Esercizio. Si risolva il problema di Dirichlet esterno per l equazione di ϕθ) = sinx) sin x) cos3x)]. Esercizio.3 Si risolva il problema di Dirichlet esterno per l equazione di ϕθ) = cos 3 θ). Esercizio.4 Si risolva il problema di Dirichlet esterno per l equazione di ϕθ) la funzione periodica di periodo π definita per θ π, π] da ϕθ) = e θ /. Esercizio.5 Si risolva il problema di Dirichlet esterno per l equazione di ϕθ) la funzione periodica di periodo π definita per θ π, π] da ϕθ) = Θθ].

3 3 Soluzioni Gli esercizi si risolvono applicando direttamente i procedimento illustrati nelle sezioni 6 ed 8 della corrispondente dispensa teorica ; forniamo quindi solo i risultati, nella forma di u = ur, θ) peraltro, come per ogni esercizio in cui si chiede di calcolare delle soluzioni che soddisfano condizioni aggiuntive, e immediato controllare di aver ottenuto il risultato corretto, semplicemente sostituendo nell equazione e nelle condizioni aggiuntive). 3.1 Problema di Dirichlet interno Esercizio 1.1 In questo caso si ottiene immediatamente e quindi la soluzione risulta essere Esercizio 1. In questo caso risulta per β, abbiamo ϕ 0 = 0, α = 0, β = δ,1 ur, θ) = r sinθ) = y. ϕ 0 = 0, α = 0 ; β 1 = 1/, β = 1/, β 3 = 1/4, β 4 = 1/, β 5 = 1/4 ; per > 5 si ha sempre β = 0. In conclusione, ur, θ) = 1 4 r sinθ) + r sinθ) + r 3 sin3θ) r 4 sin4θ) r 5 sin5θ) ]. Esercizio 1.3 Risulta ur, θ) = r cosθ) + r 3 cos3θ) ]. Esercizio 1.4 Risulta ora ϕ 0 = 1 Erf π/ ) /, α = e Erf π i)/ ) π π + Erf π + i)/ )], β = 0. La soluzione sara quindi ur, θ) = 1 Erf π/ ) π + =1 e / Erf π i)/ ) + Erf π + i)/ ] )] r cosθ). Esercizio 1.5 La funzione ϕθ) qui proposta non e olomorfa non e differenziabile) e quindi non e chiaro se la teoria studiata si applica; lo studente e invitato 3

4 a riconsiderare con attenzione le ipotesi usate per giungere all espressione della soluzione generale per il prblema di Dirichlet interno in realta, l olomorfia non e usata, e si usa solo l ipotesi che ϕ sia sviluppabile secondo Fourier, ad esempio essendo L 0, π], e che lo stesso valga per u rispetto alla variabile angolare). Applicando pedissequamente il nostro metodo, e scrivendo ϕ come ϕθ) = ϕ 0 + ϕ c cosθ) + ϕ s sinθ)] =1 si ottiene i calcoli usano il fatto che ϕ e nulla su π, 0] e pari ad uno su 0, π]) ϕ 0 = 1 π π ϕθ) dθ = 1 π π ; ϕ c = 1 π π ϕθ) cosθ) dθ = 1 π cosθ) dθ = 0 ; π π 0 ϕ s = 1 π π ϕθ) sinθ) dθ = 1 π sinθ) dθ π π 0 = 1 π cosθ)]π 0 = ]. π Notiamo che ϕ s = 0 per pari, mentre per dispari si ha ϕs = /π). In altre parole, ϕθ) = 1 + m + 1)π sinm + 1)θ]. Ricordando che per il problema interno si ha ur, θ) = u 0 + ) ) ] r r A cosθ) + B sinθ), r 0 r 0 e dunque che ur 0, θ) = u 0 + A cosθ) + B sinθ)], otteniamo immediatamente ur, θ) = 1 + m + 1)π ) m+1 r sinm + 1)θ]. r 0 ϕ 0 = 1, α = 0, β = 0 ; e quindi la soluzione ovviamente sbagliata) ur, θ) = 1. 4

5 3. Problema di Dirichlet esterno Le espressioni di ϕ 0, α, β sono le stesse ottenute negli esercizi per il problema di Dirichlet interno; questo permette per i primi quattro esercizi) di scrivere immediatamente le soluzioni del corrispondente problema di Dirichlet esterno. Esercizio.1 In questo caso si ottiene immediatamente e quindi la soluzione risulta essere Esercizio. In questo caso risulta ϕ 0 = 0, α = 0, β = δ,1 ur, θ) = 1/r) sinθ) = y/r. ur, θ) = 1 4 r 1 sinθ) + r sinθ) + r 3 sin3θ) r 4 sin4θ) r 5 sin5θ) ]. Esercizio.3 Risulta ur, θ) = r 1 cosθ) + r 3 cos3θ) ]. Esercizio.4 Risulta ora ϕ 0 = 1 Erf π/ ) π, α = e / π Erf π i)/ ) + Erf π + i)/ )], β = 0. La soluzione sara quindi ur, θ) = 1 Erf π/ ) π + =1 e / Erf π i)/ ) + Erf π + i)/ ] )] r cosθ). Esercizio.5 Procediamo come per l esercizioo 1.5, ottenendo cosi ϕθ) = 1 + Per il problema esterno si ha ur, θ) = u 0 + A r0 r m + 1)π sinm + 1)θ]. ) r0 ) ] cosθ) + B sinθ), r e dunque ur 0, θ) = u 0 + A cosθ) + B sinθ)]. Confrontando con l espansione di ϕ in serie di Fourier, otteniamo immediatamente ur, θ) = 1 + r0 ) m+1 sinm + 1)θ]. m + 1)π r 5

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