f n (x) 3 1. x Essendo g(x) = 3 1

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1 Secondo esonero di Analisi eale 6//9 a.a. 8-9 ) Studiare la convergenza in L p ((, )), p +, della successione di funzioni cos(nx) e nx f n (x) = 3. x Si vede facilmente che la successione f n converge puntualmente a zero in (, ). Per quanto riguarda la convergenza in L p ((, )), essendo f n di segno variabile è obbligatorio provare ad usare il teorema di Lebesgue. Dal momento che cos(nx) e nx, si ha f n (x) 3. x Essendo g(x) = 3 x in L p ((, )) se e solo se p < 3, dal teorema di Lebesgue segue che f n converge a zero in L p ((, )) se p < 3. Avendo effettuato una maggiorazione, non possiamo concludere nulla se p 3. Siccome si ha f n (x) lim =, x + g(x) qualsiasi sia n, il criterio del confronto per integrali impropri ci permette di affermare che f n è in L p ((, )) se e solo se g vi appartiene. In altre parole, f n non appartiene a L p ((, )) se p 3, quindi non può convergere a zero in tale spazio. Infine, essendo l estremo superiore di f n infinito (è il valore del limite in zero di f n ), nessuna delle f n appartiene ad L ((, )) e quindi f n non converge a zero in tale spazio. ) Per quali valori di p + appartiene ad L p ((, + )) la funzione χ [3,3 )(x)? + Osservando che [3, 3 + ) = [3, 3 + ) [3 +, 3 + ), con unione disgiunta, si ha χ [3,3 )(x) + + χ [3 +,3 )(x) + = χ [3,3 )(x) + + ( = χ [,3) (x) + = χ [,3) (x) + 3 = = = + χ [3,3 + )(x). χ [3,3 )(x) + ) χ [3,3 )(x) +

2 Dal momento che per ogni x in (, + ) uno solo degli addendi è diverso da zero, si ha f(x) p = χ [,3) (x) + 3 p + = p χ [3,3 + )(x). Essendo ogni addendo non negativo, uno dei corollari del teorema di Beppo Levi permette di affermare che + f(x) p = + 3 p 3. p (,+ ) L ultima serie converge se e solo se p > 3 e quindi per p > log (3). Inoltre, essendo f(x) 3, f appartiene ad L ((, + )). 3) Sia = cos(x) sen = ( ). Dopo aver dimostrato che f appartiene a L (( π, π)), calcolare (giustificando i passaggi) (,π) = π f(x) dx. La funzione f è limitata su ( π, π)? Dal momento che sen ( ) si comporta asintoticamente come, ed essendo in l, la funzione f appartiene ad L (( π, π)), e la serie di Fourier converge in L (( π, π)). Essendo l intervallo ( π, π) di misura finita, la convergenza in L implica la convergenza in L, e pertanto ( ) sen cos(x) =. Infine, si ha f() = e quindi f non è limitata. 4) Siano α > e = = sen sen(x) (,π) ( ) = +, ( ( )) cos. α Per quali valori di α la funzione f appartiene a C 4 (( π, π))? La condizione sufficiente affiché f sia derivabile 4 volte con continuità è che la successione 4 ( cos ( α )) appartenga ad l. icordando

3 che cos(x) x vicino all origine, tale fatto è vero se e solo se è convergente la serie di termine generico, ovvero se α > 5. Che α 4 succede se α = 5? In tal caso la serie di Fourier delle derivate quarte è paragonabile a sen(x), = che è (a meno di costanti) la serie di Fourier della funzione che vale π x per x > e π+x se x <. Essendo tale funzione discontinua, se α = 5 la serie delle derivate quarte di f converge ad una funzione discontinua (e quindi f non è C 4 ). Un ragionamento analogo vale se α < 5. 5) icordando che la trasformata di Fourier di e x / è e ξ / (tutte le costanti sono state prese uguali ad...), calcolare F(x e x / )(ξ), F(x e x / )(ξ). Innanzitutto, la funzione x e x / appartiene ad L (). Infatti x e x / dx = x e x / dx = e x / =. Pertanto, (, ) F(x e x / )(ξ) = i x=+ x= [ F(e x / )(ξ)] = i ξ e ξ /. Inoltre, la funzione x e x / appartiene ad L (). Infatti, integrando per parti, x e x / dx = x e x / + e x / dx = π. Pertanto, F(x e x / )(ξ) = i x= x= 6) Calcolare, giustificando i passaggi, ( max n, min Detta si ha lim n + B () [ ] ( F(x e x / )(ξ) = ξ e /) ξ = e ξ / ( ξ ). ( x y (x + y ), n )) dx dy. ( ( )) x y f n (x, y) = max n, min (x + y ), n, lim f n(x, y) = n + x y (x + y ),

4 quasi ovunque in B (). Inoltre, si ha f n (x, y) x y = g(x, y). (x + y ) Essendo (usando le coordinate polari) x y π dx dy = (x + y ) B () ρ 3 cos (θ) sen(θ) ρ 4 ρ dρ dθ, ed essendo l ultimo integrale finito, la funzione g è in L (B ()). Per il teorema di Lebesgue, si ha che il limite richiesto l integrale x y dx dy. (x + y ) B () Passando in coordinate polari, si ha x y dx dy = (x + y ) B () π cos (θ) sen(θ) dθ =. In maniera più semplice, è sufficiente osservare che la funzione integranda è, per ogni n, limitata e dispari rispetto alla variabile y. Pertanto l integrale è nullo per ogni n, e quindi il limite richiesto vale. 7) Studiare la convergenza in L p ( ), p +, della successione di funzioni f n (x, y) = + x + y χ D n (x, y), dove D n = {(x, y) : (x n) + y n }. Il primo passo consiste nel calcolare il limite della successione χ Dn (x, y). Dal momento che D n = {(x, y) : x + y nx }, è facile vedere che ogni coppia (x, y) con x > e y qualsiasi appartiene definitivamente a D n, mentre tutte le coppie (x, y) con x e y qualsiasi (tranne l origine) non appartengono a nessuno dei D n. Pertanto, detto D = +, la successione di funzioni χ Dn converge quasi ovunque (abbiamo eliminato solo l origine) a χ D. Dal momento che la successione D n è crescente, si ha f n (x, y) + x + y χ D (x, y) = f(x, y). Essendo f(x, y) in L p ( ) per ogni p >, il teorema di Lebesgue permette di concludere che f n converge a f in L p ( ) per ogni p >. Essendo, inoltre, f non appartenente a L ( ) non c è convergenza in L ( ). imane da studiare il caso p =. In questo caso è sufficiente

5 osservare che (x n, y n ) = ( n, 4 n ) appartiene a D ma non a D n (per nessun n). Pertanto, ess sup f n f f(x n, y n ) = 5, e quindi non si ha convergenza in L ( ).