Esonero AM220, 2019, con Soluzioni

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1 Esonero AM22, 29, con oluzioni Ogni risposta va accuratamente motivata. Non si possono usare: libri, appunti, congegni elettronici, etc.. ia := { (x, y, z) R 3, tali che x 2 + y 2 4, z = x 2 + y 2 }. ia M il corpo ottenuto distribuendo su uniformemente la densità di massa superficiale ρ =. Determinare massa e baricentro di M. Dato il campo vettoriale F = ( y, x, x 2 + y 2 ), verificare il teorema del rotore cioè che rot(f ) dσ = F ds 2. i consideri la forma differenziale x ω(x, y) = (x 2 + y 2 ) dx + y 3 (x 2 + y 2 ) dy 3 definita sul dominio D = R 2 \ {(, )}. tabilire se ω è chiusa. 2. tabilire se ω è esatta. 3. Calcolare l integrale di ω lungo l arco di parabola di equazione y = x 2 con punto iniziale (, ) e punto finale (, ). 3. ia f n (x) := nx2 + x. tudiare la convergenza puntuale della successione f n in R. 2. tudiare la convergenza uniforme della successione f n in R. 3. tudiare la convergenza uniforme della successione f n in [, ]. 4. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione 2π-periodica che vale x(x 2 π 2 ) nell intervallo (, π]. Che regolarità ha tale funzione? crivere la serie di Fourier della derivata.

2 Traccia delle oluzioni. ia := { (x, y, z) R 3, tali che x 2 + y 2 4, z = x 2 + y 2 }. ia M il corpo ottenuto distribuendo su uniformemente la densità di massa superficiale ρ =. Determinare massa e baricentro di M. Dato il campo vettoriale F = ( y, x, x 2 + y 2 ), verificare il teorema del rotore cioè che rot(f ) dσ = F ds oluzione: La superficie in questione è un tronco di paraboloide. Possiamo parametrizzarlo come x r cos θ y = r sin θ, r [, 2], θ [, 2π) z r 2 che ha come vettore normale n = 2r 2 cos θ 2r 2 sin θ r che è diretto verso le z positive. Per calcolare la massa di M, dobbiamo calcolare ρdσ = 2 2π 4r4 + r 2 dr = π 4 4y + dy = π 6 ( + 7 7) Per quanto riguarda il baricentro, per simmetria si vede facilmente che x B = y B =, mentre per per calcolare la componente z zρdσ = 2 r 2 2π 4r 4 + r 2 dr = π Il bordo di è la circonferenza 4 x 2 + y 2 = 4, z = 4 y 4y + dy = π 6 5 (z ) zdz 2

3 che possiamo parametrizzare come x 2 cos θ y = 2 sin θ, v = z 4 2 sin θ 2 cos θ in modo che rispetto all asse z la circonferenza sia percorsa in verso antiorario. Calcoliamo il lavoro 2π 2π F ds = F vdθ = 4(cos 2 θ + sin 2 θ)dθ = 8π Calcoliamo il rotore e il suo flusso attraverso : rot(f ) dσ = rot(f ) = (2y, 2x, 2) 2 2π 2rdr dθ = 8π 2. i consideri la forma differenziale x ω(x, y) = (x 2 + y 2 ) dx + y 3 (x 2 + y 2 ) dy 3 definita sul dominio D = R 2 \ {(, )}. tabilire se ω è chiusa. 2. tabilire se ω è esatta. 3. Calcolare l integrale di ω lungo l arco di parabola di equazione y = x 2 con punto iniziale (, ) e punto finale (, ). oluzione:. Per verificare che ω sia chiusa basta calcolare le derivate d x dy (x 2 + y 2 ) = 6xy 3 (x 2 + y 2 ) = d 4 dx y (x 2 + y 2 ) Il dominio D non è semplicemente connesso, quindi il fatto che ω sia chiusa NON implica che sia esatta. D altro canto è evidente che f(x, y) = 2(x 2 + y 2 ) 2 è una primitiva definita sul dominio D = R 2 \ {(, )}. Quindi ω è esatta. Questo si poteva anche verificare calcolando (qui γ é la circonferenza unitaria) 2π ωds = dθ( cos(θ) sin(θ) + sin(θ) cos(θ) =. γ 3

4 3. Poiché ω è esatta, il lavoro si calcola come f(, ) f(, ) =. 3. ia f n (x) := nx2 + x. tudiare la convergenza puntuale della successione f n in R. 2. tudiare la convergenza uniforme della successione f n in R. 3. tudiare la convergenza uniforme della successione f n in [, ]. oluzione:. f n (x) converge puntualmente alla funzione f(x) = x 2, infatti: nx2 + x x2 = x x2, lim n nx2 + x x2 = 2. D altro canto sup x x 2 = x R (NB. non si deve fare il sup della funzione x x 2 ma del suo modulo!) quindi la successione non converge uniformemente in R 3. i ha che lim sup n x [,] nx2 + x x2 = lim n sup x [,] x x 2 = lim n 4() = 4. Calcolare i coefficienti di Fourier della funzione 2π-periodica che vale x(x 2 π 2 ) nell intervallo (, π]. Che regolarità ha tale funzione? crivere la serie di Fourier della derivata. oluzione: La funzione f(x) = x(x 2 π 2 ) è dispari e vale f(π) = f() =. Quindi la funzione in questione è continua con derivata continua. La derivata seconda cioè la funzione 2π-periodica che vale 6x nell intervallo (, π] invece non è continua dato che f (π) f (). Calcoliamo la serie di Fourier (dato che è dispari servono solo i coefficienti b n ). Procediamo per parti: b n = π π = 6 n 2 π x(x 2 π 2 ) sin(nx)dx = nπ π x sin(nx)dx = 2( )n n 3 4 π (3x 2 π 2 ) cos(nx)dx

5 La derivata è una funzione continua, quindi la sua serie di Fourier converge uniformemente. Quindi la serie di Fourier della derivata è data dalla derivata (termine a termine) della serie di Fourier: f (x) = 2 ( ) n cos(nx) n= n 2 5