Istituzioni di Analisi 2 (programma, domande ed esercizi)

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1 Istituzioni di Analisi programma, domande ed esercizi) nona settimana Argomenti trattati Dal libro di testo: 3. punti critici vincolati), 3.3. estremi assoluti), 0.3. e 0.3. solo la definizione di compatto e l esistenza di massimi e di minimi). Domande di teoria Cosa si intende per vincolo? Data una funzione gx, y) : R R gx, y) = 0}? R, come si chiama l insieme di livello {x, y) Potete portare come esempi due famiglie di insiemi di livello ragionevolmente facili da disegnare? Che curva producono? sugg. y... ed y...) Sia dato un vincolo E = {x, y) R gx, y) = 0}. In cosa consiste una parametrizzazione del vincolo? Data una funzione f : R R e la parametrizzazione di un vincolo γt), come si possono studiare i punti critici di f E f ristretta al vincolo)? In che modo si possono caratterizzare i punti critici di f E in assenza di parametrizzazione? Quale sistema di equazioni viene chiamato metodo dei moltiplicatori di Lagrange? Cosa è la Lagrangiana di una funzione f vincolata alla curva E = {g = 0}, e come la Lagrangiana è legata al metodo dei moltiplicatori di Lagrange Cosa è un compatto? Che proprietà hanno le funzioni continue su di un compatto? Una volta noti i punti critici di una funzione vincolata o definita in un dominio con frontiera, come si determina il massimo e minimo assoluto in classe chiamato globale per distinguerlo da massimo e minimo locale)

2 Esercizi Fate gli esercizi del libro nei capitoli trattati Sfruttiamo ancora una volta gli esercizi svolti proposti dal Prof. Fabio Nicola, del Politecnico di Torino: 0e%0Temi%0d%7esame/Esercizi/svol_max_min_assoluti.pdf ed alcuni esercizi gran parte svolti in classe) Esercizio Si calcoli l integrale indefinito x 5 x 3 x dx la funzione integranda è definita quando x > od x < ). Si dica perché l integrale converge quando x +. Si calcoli infine l integrale definito x 5 x 3 x dx Esercizio Si calcoli l integrale definito π 6 sin x cos x sin x) dx. 0 In che punto l integrale diventa improprio? Converge se ci si avvicina a quel punto? Una primitiva della funzione integranda è. Calcolata negli estremi proposti 4 cos x) 4 sin x) si ottiene /4. In realtà non occorre calcolare la primitiva, ma semplicemente sostituire la variabile y = sin x, dy = cos xdx e cambiare gli estremi di integrazione in 0, /. L integrale diventa improprio quando x si avvicina a ±π/4. In tale punto uno sviluppo in serie di Taylor mostra che il denominatore è asintotico a /π/4 x)). Quindi, scordandosi tutte le costanti, la funzione integranda si comporta come /x in zero, che diverge. Esercizio 3 svolto in classe) Stabilire per quali valori del parametro reale α la serie log + n + )) α n 3α n 5 + n 3 risulta convergente. Si usa il fatto che log + x) x quando x tende a zero. Quindi log + n + ) n 5 + n 3 n. 4 Segue che la serie è asintotica a, e converge se e solo se 3α + 4α >. n 3α+4α Risolvendo il polinomio di secondo grado si ottiene α > /4 ed α <. Esercizio 4 svolto in classe) Stabilire per quali valori del parametro reale α la serie )) log + n5 + n 3 α n 3α n + risulta convergente.

3 Questo esercizio ha uno svolgimento completamente diverso dal precedente. Infatti quando n tende a + l argomento del logaritmo non tende ad, ma a +. L argomento del logaritmo è infatti asintotico a n 4, quindi il logaritmo è asintotico a 4 log n. Si potrebbe ottenere questo fatto scrivendo esplicitamente ) ) ) log + n5 + n 3 n 5 + n 3 + n + n 5 + n + n 4 + n 5 = log = log = n + n + n + n ) + n logn 4 + n 4 + n 5 ) + log. + n La prima funzione è asintotica a 4 log x, la seconda tende a zero. Siccome il logaritmo niente può contro le potenze, ed α 0 la serie converge se e solo se 3α > ed anche quando α = /3 il logaritmo non può agevolare la convergenza si ricordi l argomento sulla convergenza dell integrale /x log β x)). Esercizio 5 Si determinino gli α reali per i quali la serie + )) + k α ) sin e k+ α k 6 + k 5 k è convergente. k= Esercizio 6 svolto in classe) Si determinino gli α reali per i quali la serie + ) 3k + k cos sin ) α k 4 + k è convergente. k= Il termine generico del coseno e quello del seno tendono entrambe a 0 quando k tende ad infinito. Quindi si può usare il fatto che sin y y ed cos y y /. Si deduce che il termine generico della serie è asintotico a 3k + k ) k α = k4 3 k + ) k 4+α k 4 + k 8 k α + k 4 Segue che la serie converge se e solo se 4 + α >, ovvero se e solo se α > 3. Esercizio 7 svolto in classe) Si determinino gli x reali per i quali la serie sin x)k 4k converge assolutamente, e quelli per i quali la convergenza è solo semplice. Riscrivendo la serie come 4 k sin x) ) k si riconosce che la serie è una serie di potenze del tipo a k y k con a k = /4 k e con y = sin x). Il raggio di convergenza della serie è il reciproco del limite se esiste) lim k /4 k = /4. Quindi è 4. La serie converge assolutamente quando y = sin x) appartiene all intervallo ] 4, 4[, ovvero quando < sin x <, ovvero quando 3 < sin x <, ovvero quando < sin x < 3. Segue che la serie converge assolutamente sempre a parte quando x = π + kπ. In quel caso la serie diventa 4 k 4)k =, che diverge a +. Esercizio 8 svolto in classe) Si studino i massimi e minimi della funzione fx, y) = x 3 3x + 3y nella regione D = {x, y) x + y 3} 3

4 Si deve studiare la funzione separatamente in D ed in D. Nel primo caso si pone uguale a zero f = 3x 3, 6y), e si ottiene che y = 0, x = ±. Da uno studio della Hessiana ) 6x si ha che C =, 0) è minimo locale mentre C =, 0) è sella. Consideriamo invece f ristretta a D. Il gradiente dell equazione che definisce tale insieme è proporzionale al vettore x, y), e si ottiene quindi il sistema 3x 3 = λx 6y = λy x + y = 3. x Dalla seconda si ottiene che y = 0 oppure che λ = 6. Nel primo caso si ha che x = ± 3 e la prima equazione ha per soluzione λ =, quindi si hanno due punti critici C 3 = 3, 0), C 4 = 3, 0). Nel secondo caso si ha che x = x, ovvero che x = ±, e quindi y = +3 =. Segue che ci sono altri due punti critici C 5 =, 4 ) C 6 = I valori della funzione in tali punti critici è rispettivamente fc ) =, fc 3 ) = fc 4 ) = 0, fc 5 ) = fc 6 ) = 4 + ) Segue che C è minimo globale, C 5 e C 6 sono massimi locali, C è sella, mentre C 3 e C 4 necessiterebbero di ulteriori investigazioni. Osservate che la matrice Hessiana è stata usata solo per i punti interni, e non per i punti di frontiera. Per analizzare localmente i punti critici di frontiera avremmo dovuto trattare la sezione 3.3. del libro. Volendo si può parametrizzare la circonferenza con ϑ 3 cos ϑ, 3 sin ϑ) e scoprire che, 4 ). fϑ) = 3 3 cos 3 ϑ 3 3 cos ϑ + 9 sin ϑ = 3 3 cos 3 ϑ 3 3 cos ϑ cos ϑ. 4

5 Possiamo quindi studiare i punti critici del polinomio cubico y 3 3y y + 3 = y 3)y ) e quindi scoprire che la funzione ristretta alla circonferenza ha nei punti critici C 3, C 4 dei minimi locali, ma come si desume dalla figura uno dei due non è minimo locale per la funzione f. Esercizio 9 Sia fx, y) = sin x + sin y. Calcolare gli estremi assoluti di f sotto la condizione cos y = + cos x sinα + β) = sin α cos β + sin β cos α, cosα + β) = cos α sin β sin α cos β) Il gradiente della funzione f è cos x, cos y). Il gradiente della funzione che definisce il vincolo è il vettore cosx/) sinx/), sin y). Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange porta alle tre equazioni cos x = λ sin x cos y = λ sin y cos y = cos x/) I due vettori sono paralleli solo quando, usando la prima equazione, x kπ e λ = cot x. Sostituendo nella seconda equazione si ha che cos y = cot x sin y, ovvero tan x = tan y, che vuol dire y = x oppure y = x + π. Usando quindi il vincolo si ha che cos x = + cos x, oppure cos x = + cos x. Nel primo caso non ci sono soluzioni, nel secondo ci sono i punti cos x = /, ovvero x = ±π/3. Questo porta ai punti critici C = 3 π, 3 π), C = 3 π, 5 3 π) = 4 3 π, 3 π) Il valore della funzione nei punti critici è 3 nel primo e 3 nel secondo. Si sono quindi determinati i punti di massimo e minimo assoluti. 5