Esercizi sulla trasformata di Fourier di distribuzioni raccolti dai temi d esame

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1 Esercizi sulla trasformata di Fourier di distribuzioni raccolti dai temi d esame Esercizio Sia T > 0 e f : R R la funzione reale T -periodica la cui restrizione all intervallo [0, T ] vale f(t) := t(t t) Calcolare le derivate prima e seconda di f nel senso delle distribuzioni. Calcolare la trasformata di Fourier di f e dedurre la trasformata di Fourier di f, confrontando il risultato con quello precedentemente ottenuto. Esercizio 2 Considerate le due funzioni reali f(t) := e t e g(t) := sin t, calcolare mediante la trasformata di Fourier il loro prodotto di convoluzione f g. Esercizio 3 Per ogni T > 0, si consideri la funzione T -periodica u T (0, T ) assume i valori che nell intervallo u T (x) := e x, x (0, T ), e se ne disegni il grafico nell intervallo ( T, 2T ).. Si calcoli la derivata di u T nel senso delle distribuzioni e di conseguenza la distribuzione f T -periodica che verifica u T + u T = f. () 2. A partire dalla () si calcoli la trasformata di Fourier di u T e si deduca da questa lo sviluppo in serie di Fourier di u T in seni e coseni. Si precisi in che senso tale sviluppo converge a u T. 3. Scegliere opportunamente il valore di T per calcolare la somma della serie k= + k 2. Esercizio 4 Determinare α > 0 in modo che la funzione u α (x) := e α x risolva l equazione differenziale su R u α u α = 2δ 0. Mostrare poi, con l aiuto della trasformata di Fourier, che non vi possono essere altre soluzioni dell equazione appartenenti ad S (R) e che l unica soluzione in S (R) della corrispondente equazione omogenea è la soluzione nulla. Posto infine f(x) := log x (,) (x) esprimere la soluzione v S (R) dell equazione v (x) v(x) = f(x), x R, come un opportuno integrale esteso all intervallo (0, ). 0-

2 Esercizio 5 Sia u ε, ε > 0, la funzione definita da se x appartiene ad un intervallo [n, n + ε] per qualche n Z u ε (x) = 0 altrimenti. Calcolare la trasformata di Fourier û ε di u ε. Calcolare poi il limite, per ε 0 +, di u ε e di û ε in S (R). Esercizio 6 Sia f n } n N la successione di funzioni reali definite da se x n, x f n (x) := 0 altrimenti. Calcolare il limite puntuale f(x) := lim f n(x) n + e precisare se la convergenza di f n ad f sussiste anche in L (R), L 2 (R), L (R) e in D (R). Posta poi ˆfn la trasformata di Fourier di f n, dire se esiste in L 2 (R) il limite di ˆfn per n +. Calcolare infine lim n + ˆf n L 2 (R). Esercizio 7 Per ε > 0 sia u ε la distribuzione u ε := ( ) δ(t + ε) δ(t ε) 2 e si consideri u () ε := u ε, u (2) ε = u ε u ε u (3) ε = u ε u ε u ε,..., u (n) ε := u ε... u }} ε. n volte. Calcolare l ampiezza del supporto di u (n) ε. 2. Calcolare la trasformata di Fourier di u (n) ε. 3. Calcolare il limite in S (R) (tenendo n fissato) u (n) ε lim ε 0 ε n. 4. Calcolare il limite in S (R) (tenendo ε fissato) lim n + u(n) ε 0-2

3 Esercizio 8 Sia f(t) := sign(t) ( π t ) + ; dopo aver disegnato il grafico di f, calcolarne le prime due derivate nel senso delle distribuzioni; calcolare la trasformata di Fourier di f; dedurre infine lo sviluppo in serie di Fourier della funzione 2π-periodica che coincide con f sull intervallo ( π, π) e discuterne la convergenza. Esercizio 9 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) := cos x. Esercizio 0 Calcolare le derivate prima e seconda (nel senso delle distribuzioni!) della funzione f definita nell esercizio precedente. Esercizio Sia f : R R la funzione continua e lineare in ogni intervallo del tipo [n, n + ], n Z, tale che f(n) := ( ) n. Calcolare la trasformata di Fourier di f. Esercizio 2 Studiare a priori la trasformata di Fourier di u(t) = H(t)e t2. Calcolare poi la derivata di u in D (R) e scrivere un equazione differenziale lineare del primo ordine soddisfatta da u nel senso delle distribuzioni in R; Dedurre da questa la derivata û della trasformata di Fourier û di u. Esercizio 3 Sia u D(R) e si consideri la distribuzione Mostrare che vale la formula H (u) := u ( v.p. x). H (u) L 2 (R) = c u L 2 (R), e determinare la costante c. Mostrare che se u è reale pari allora H (u) è reale dispari. È possibile che anche H (u) sia a supporto compatto? Esercizio 4 Siano u (R) un segnale reale e v L 2 (R) un segnale a valori complessi, le cui trasformate di Fourier û, ˆv soddisfano ˆv(ξ) = 2H(ξ)û(ξ). Mostrare che la parte reale di v coincide con u ed esprimere la parte immaginaria di v come convoluzione di u con un opportuna distribuzione. Dedurre, applicando la formula di Plancharel, che l unico segnale reale di (R) il cui spettro ha supporto contenuto in [0, + ) è il segnale nullo. Esercizio 5 Calcolare la trasformata di Fourier û n della funzione u n (t) := cos nt, per n N. Calcolare poi il limite di û n in S (R) quando n

4 Esercizio 6 Indicando con p.f. ξ 2 la distribuzione p.f. ξ 2 := d dξ ( v.p. ), ξ si calcoli la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni della variabile t R: 2t, H( t)(t /2), H(t)te 2πεt precisando per quali valori di ε C ha senso la domanda. Finalmente, posto f ε (ξ) := (ξ iε) 2, ε > 0, si utilizzi l ultimo risultato per calcolare il limite lim ε 0 f ε (ξ) in S (R). Esercizio 7 Sia f S T una distribuzione T -periodica e sia λ C un numero complesso assegnato. Si discuta l esistenza e l unicità di soluzioni u S T dell equazione d dt u λu = f calcolandone i coefficienti di Fourier in funzione di quelli di f. Applicare il risultato al caso f (t) = (cos t) 2, f 2 (t) = δ(t k), per λ = i. k Z (*) Facoltativo Discutere la regolarità delle soluzioni trovate. Esercizio 8 Per T > 0 si consideri il pettine di Dirac δ T di passo T δ T (t) := k Z δ(t kt ).. Calcolare il limite nel senso delle distribuzioni di D (R). lim δ T T + 2. (*) Facoltativo Verificare che tale limite sussiste anche in S (R). 3. Applicare il risultato dei punti. e 2. e la trasformata di Fourier per calcolare lim ε 0 ε δ ε in S (R). 0-4

5 4. Sia ora f S (R) un segnale a decrescenza rapida e sia f ε (t) := ε k Z f(kε)δ(t kε) il segnale ottenuto campionando f a passo ε > 0. Calcolare il limite lim ε 0 εf ε in S (R). 5. Finalmente, sia g ε (t) = k Z f(kε)e (t/ε k)2. Scrivere g ε come convoluzione di f ε con una opportuna funzione h ε ; supponendo di poter scambiare l operazione di limite con quella di convoluzione calcolare il limite lim ε 0 g ε in S (R). Esercizio 9 Sia α (0, ] e si indichi con z α la determinazione principale dell elevamento a potenza in campo complesso corrispondente alla scelta dell argomento di z in ( π, π). Posto f ε (t) :=, t R, ε 0, (t + iε) α calcolare la trasformata di Fourier di f ε. Discutere poi, in funzione del parametro α, l esistenza in L loc (R), L2 loc (R) e in S (R) del limite di f ε quando ε tende a 0 da destra e calcolare tale limite quando esiste. Cosa cambia nel limite da sinistra? Esercizio 20 Per n N sia u n la funzione reale definita in R da t 2 se t n, u n (t) := n 2 se t > n.. Calcolare u n, u n, u n nel senso delle distribuzioni. 2. Calcolare il limite in D (R) di u n, al tendere di n a Calcolare la trasformata di Fourier û n di u n. 4. Calcolare il limite in S (R) di û n, al tendere di n a +. Esercizio 2 Sia u il segnale reale 4π-periodico, la cui restrizione all intervallo ] 2π, 2π[ è data da u(t) := sin t.. Calcolare u e u nel senso delle distribuzioni. 0-5

6 2. Si calcoli lo sviluppo in serie di Fourier di u, precisando in quale senso esso converge a u. Esercizio 22 Si calcoli la trasformata di Fourier della distribuzione u := n Z nδ(t n). Si determinino poi le funzioni periodiche v regolari a tratti tali che d 2 v(ξ) = û(ξ) dξ2 e si deduca la trasformata di Fourier di nel senso delle distribuzioni v 0 := n 0 n δ(t n). Si giustifichi infine la convergenza in L 2 (R) della serie di funzioni e se ne calcoli la somma. n 0 e 2πint n, Esercizio 23 Calcolare la soluzione u S (R) dell equazione integrodifferenziale u πu + u e t2 =, t R. Esercizio 24 Sia u la funzione reale costante a tratti definita da 0 se t 0, u(t) := 2 n se t (n, n + ), n = 0,, 2, 3,.... Verificare se u appartiene a L (R), calcolare la derivata di u nel senso delle distribuzioni e dedurne la trasformata di Fourier û. Verificare che ξû(ξ) è periodica e calcolarne il periodo T. Calcolare infine gli integrali + û(ξ) 2 dξ, T 0 ξ 2 û(ξ) 2 dξ. Esercizio 25 Si dicuta, al variare del parametro α R, l esistenza del limite della successione di funzioni f k (t) := k α (0,2π/k) (t) sin kt. in L (R), L 2 (R) e in S (R). 0-6

7 Esercizio 26 Sia u il segnale reale che in ciascun intervallo [n, n + [, n Z, della retta vale 2t n se n t n + /2; u ε (t) := n + se n + /2 t n +.. Dopo aver disegnato il grafico di u, calcolare le derivate distribuzionali d d2 u, u, d3 u dt dt 2 dt 3 e riconoscere che si tratta di distribuzioni periodiche. d 2. Calcolare la traformata di Fourier di u e quella di u a meno di una costante dt arbitraria. 3. Determinare poi la costante studiando il segnale v(t) := u(t) t (facoltativo ma non difficile: si può passare direttamente al punto seguente, lasciando indeterminata la costante.) 4. Detto δ T il pettine di Dirac δ T := n Z δ(t nt ), T > 0, risolvere l equazione di convoluzione nell incognita v δ v = u. 5. Determinare infine per quali T > 0 lanaloga equazione ha soluzione. δ T v = u Esercizio 27 Studiare a priori la trasformata di Fourier della funzione u ω (t) := sign(t) sin(πωt), ω > 0, πt e calcolarla. Calcolare poi il limite in S (R) dei segnali lim sign(t)sin(πωt), lim ω + πt H(t)sin(πωt). ω + πt Esercizio 28 Calcolare la trasformata di Fourier dei segnali u k (t) := δ (t n/k), v := se t < /k, k t 2 + i, w k(t) := 0 se /k t /k, n Z se t > /k. Facoltativo: calcolare il limite di u k, û k, w k, ŵ k in S (R) per k

8 Esercizio 29 Sia u la funzione 2-periodica che sull intervallo ] 2, 2[ vale t se t ; u(t) := ( t ) 2 se < t 2. Calcolare u, u, gli sviluppi in serie di Fourier di u, u, u, discutendone la convergenza, e la trasformata di Fourier di t 2 u. Esercizio 30 Determinare la distribuzione v S (R) in modo che φ v = φ(t n) φ S (R). Trovare poi quali condizioni deve soddisfare la trasformata di Fourier F (φ) in modo che φ(t n). () Determinare infine una soluzione φ di () in L (R) e una soluzione (anche espressa mediante convoluzione) in S (R). Esercizio 3 Determinare in funzione del parametro α C le soluzioni u α dell equazione differenziale u α(t) + αu α (t) = δ(t + ), discutendone l unicità. S (R) Discutere per quali valori di α e per quali soluzioni u α, u α il prodotto di convoluzione v α := u α u α risulta ben definito, e mostrare che in tal caso v α soddisfa l equazione differenziale v α(t) α 2 v α (t) = δ(t + 2). Esercizio 32 Calcolare la trasformata di Fourier delle distribuzioni v.p. sin(t π/4) sin t, v.p. t t π/4 Esercizio 33 Per quali valori complessi di α C la funzione e παt2 è trasformabile secondo Fourier? Posto u(t) := e πit2, calcolare u (t) e scrivere un equazione differenziale del primo ordine soddisfatta da u. Determinare la trasformata di Fourier di u a meno di una costante moltiplicativa c. Sfruttando i legami tra trasformata e trasformata coniugata, mostrare che c =. Calcolare c. 0-8

9 Esercizio 34 Calcolare la trasformata di Fourier delle distribuzioni 2 n δ(t n), ( ) n δ(t n), rect(t 2n). Per N fissato, sia w := e 2πi/N. Calcolare la trasformata di Fourier di w n δ(t n). Esercizio 35 Calcolare le trasformate di Fourier di u(t) := sin 2 (t ), v(t) := (t 2 ) rect(t). Esercizio 36 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione se t 2, u(t) := t se 2 t 2, se t > 2, discutendo in quale senso essa debba essere intesa. Esercizio 37 Calcolare, giustificando il procedimento, la trasformata di Fourier della distribuzione u(t) := cos(2nπ/3)e 2πint Mostrare poi che u è un segnale discreto della forma u(t) = u n δ(t n/t ) determinando il valore di T e dei coefficienti u n. Esercizio 38 Calcolare le trasformate di Fourier di u(t) := e iπ(t2 +t+), v(t) := v.p. sin πt iπ 2 t 2. Esercizio 39 Calcolare la trasformata di Fourier di u(t) := v.p. 0-9 cos πt iπ(t ).

10 Esercizio 40 Calcolare la derivata distribuzionale e lo sviluppo in serie di Fourier della funzione v(t) := log(e iπt ) dove log indica il ramo principale della funzione logaritmo in campo complesso. Esercizio 4 Determinare quali condizioni devono soddisfare û e α R perchè l equazione di convoluzione u sin(πt) = sin(απt) abbia una soluzione u L (R). Esercizio 42 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione v(t) := sin(2πt) sin(4πt) sin(6πt). Esercizio 43 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione u(t) := 2 eit. Esercizio 44 Determinare tutte le soluzioni u S (R) dell equazione rect(t) u = 0. Esercizio 45 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione u(t) := 3 e 2πit. 0-0