COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof... Esame di ANALISI MATEMATICA II - 27 Gennaio cos x

Transcript

1 COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof.... Esame di ANALISI MATEMATICA II - 27 Gennaio 25 A ESERCIZIO. 4 punti) Verificare che la serie 7 2 cos x ) n è convergente per ogni x R, e calcolarne la somma. ESERCIZIO 2. 3 punti) Sia fx) la funzione periodica di periodo 2π definita sull intervallo [ π, π) nel modo seguente: { πx se π x <, fx) = x 2 se x < π. a. Si disegni il grafico di di fx).

2 b. Si discuta l eventuale convergenza quadratica della serie di Fourier di fx). c. Si discuta l eventuale convergenza uniforme della serie di Fourier di fx). ESERCIZIO 3. 4 punti) Calcolare la trasformata di Laplace della funzione xt) = te 5t sin 3t. ESERCIZIO 4. 4 punti) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione xt) = t 2 2t + 5.

3 ESERCIZIO 5. 6 punti) Data la serie di potenze a. Determinarne centro e raggio di convergenza. n2 n x ) 3n b. Studiare il comportamento della serie agli estremi dell intervallo di convergenza, e indicarne l insieme di convergenza.

4 ESERCIZIO 6. 6 punti) Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy: x x = 2t + x) = x ) =

5 TEORIA. 6 punti) Data una successione di funzioni {f n x)} ed una funzione fx), tutte definite sullo stesso intervallo I, si chiede di: a. Spiegare cosa significa che f n x) converge puntualmente a fx) su I b. Spiegare cosa significa che f n x) converge uniformemente a fx) su I c. Dare un esempio di una successione di funzioni che converge puntualmente, ma non uniformemente, sull intervallo [, ], giustificando le proprie affermazioni.

6 Esame di ANALISI MATEMATICA II - 27 Gennaio 25 Soluzioni ESERCIZIO. La serie 7 2 cos x è di tipo geometrico, di ragione 7/ 2 cos x). Dato che cos x per ogni x, si ha ) n cos x 7 < x R, 8 e quindi la serie risulta convergente, per qualsiasi valore di x. Infine, dalla formula per la somma di una serie geometrica convergente n= t n = t se t <, segue subito che t n = t n+ = t t n = t t in alternativa, si può anche sottrarre il primo termine: ) t n = t n = t = t t n= n= n= se t < se t < pervenendo allo stesso risultato). Quindi, ponendo t = 7/ 2 cos x), la somma della serie è data da 7 2 cos x 7 = cos x. 2 cos x ESERCIZIO 2. Il grafico di fx) è l unione di segmenti rettilinei e segmenti parabolici. Dato che la funzione è continua a tratti, la sua serie di Fourier converge a fx) in media quadratica. Inoltre, essendo la funzione regolare a tratti e continua su R, la convergenza della serie di Fourier risulta essere uniforme. ESERCIZIO 3. Si ha Quindi, per la proprietà di moltiplicazione per t, si ha Infine, applicando la modulazione, si trova L[t sin 3t]s) = d ds L[sin 3t]s) = 3 s 2 + 9, s >. L[e 5t t sin 3t]s) = ) 3 6s s 2 = + 9 s 2 + 9) 2, s >. 6s 5) s 5)2 + 9 ) 2, s > 5. ESERCIZIO 4. Sappiamo che [ F t 2 + a 2 ] ω) = π a e a ω, a >, quindi cerchiamo di ricondurci a questo caso. Completando il quadrato, si ha quindi per la proprietà di traslazione si ha [ ] [ F t 2 ω) = F 2t + 5 t 2 2t + 5 = t 2 2t = t ) , t ) ] [ ω) = F t ] ω) e iω = π 2 e 2 ω e iω = π 2 e 2 ω +iω.

7 ESERCIZIO 5. Il centro della serie di potenze è il punto x =. Ponendo t = x ) 3, si ottiene la serie di potenze n2 n t n, alla quale si può applicare con successo il criterio della radice oppure quello del rapporto. Si ha ad esempio n n lim n n2 n = 2, e quindi il raggio di convergenza riferito alla variabile t) è pari a 2. Dato che t < 2 x ) 3 < 2 x < 3 2, il raggio di convergenza della serie di potenze originaria è R = 3 2. Per x = la serie si riduce alla serie numerica n2 n 2 n = che è divergente per confronto con la serie armonica, in quanto n n. n Inoltre, nell altro estremo x = 3 2 la serie si riduce alla serie a segni alterni n2 n 3 ) 3n 2 = ) n n n che è convergente per il criterio di Leibniz, in quanto la successione n = 2 n + 3 n è decrescente e infinitesima. Pertanto, l insieme di convergenza della serie di potenze è l intervallo [ 3 2, + 3 2). ESERCIZIO 6. Risolviamo, più in generale, il problema di Cauchy x x = at + x) = x ) = dove a R è un parametro. La soluzione può essere trovata in diverse maniere: Soluzione generale. Per determinare la soluzione generale dell equazione, si determina prima la soluzione generale dell omogenea. L equazione caratteristica è α 2 α =, con radici α = e α =, quindi la soluzione generale dell omogenea è xt) = c + c 2 a t, c, c 2 R. Resta da trovare una soluzione particolare dell equazione non omogenea. Il termine forzante at + è un polinomio di primo grado, e α = è radice dell equazione caratteristica: quindi esiste una soluzione particolare che è un polinomio di secondo grado, cioè del tipo xt) = At 2 + Bt + C. Per determinarla, calcoliamo x t) = 2At + B, x t) = 2A e sostituiamo nell equazione differenziale, ottenendo 2A 2At B = at +, ovvero il sistema { 2A = a 2A B = con soluzioni A = a/2 e B = a sulla variabile C non ci sono condizioni e quindi si sceglie per semplicità C = ). In altre parole, il polinomio a 2 t2 a + )t è una soluzione particolare dell equazione non omogenea, come si verifica facilmente. Ne segue che la soluzione generale è data da xt) = c + c 2 e t a 2 t2 a + )t.

8 Per determinare c e c 2, si impongono le condizioni iniziali: x t) = c 2 e t at a, quindi { x) = c + c 2 = x ) = c 2 a = con soluzioni c 2 = a + 2 e c = a 2. La soluzione del problema di Cauchy è quindi la funzione xt) = a + 2) e t ) a 2 t2 a + )t. Riduzione dell ordine. Si tratta di un equazione lineare non omogenea del secondo ordine, riconducibile al primo. Infatti, ponendo vt) = x t) si trova v v = at +, v) =. A questo punto, si utilizza la formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine: ) vt) = e t e t at + ) dt + C, C R. Integrando per parti, si ha e t at + ) = e t at + ) + a e t dt = e t at + + a), da cui la soluzione generale vt) = at a + Ce t. Per determinare C, si impone v) = ovvero C = a + 2). Infine, ricordando che x) =, si integra per trovare xt): xt) = x) + t vs) ds = t che si verifica facilmente essere la soluzione cercata. as a + a + 2)e s ) ds = a 2 t2 a + )t + a + 2) e t ), Trasformata di Laplace. Indicando con Xs) la trasformata della soluzione e tenendo conto delle condizioni iniziali, si ha e quindi s 2 Xs) sx) x ) sxs) + x) = ss )Xs) = L[at + ]s) = a s 2 + s, Xs) = ss ) + a s 3 s ) + s 2 s ). *) Per antitrasformare, conviene applicare la proprietà di divisione per s più volte: [ ] L t) = e t, s [ ] L t t) = e T dt = e t, ss ) [ ] L t s 2 t) = e T ) dt = e t t, s ) [ ] L t s 3 t) = e T t ) dt = e t t s ) 2 t2, e quindi ricordando la *) si trova xt) = e t ) + a e t t 2 t2 ) + e t t ) = a + 2) e t ) a 2 t2 a + )t.