Corsi di laurea in fisica ed astronomia Prova scritta di Analisi Matematica 2. Padova,

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1 Corsi di laurea in fisica ed astronomia Prova scritta di Analisi Matematica 2 Padova, Si svolgano i seguenti esercizi facendo attenzione a giustificare le risposte. Delle affermazioni non motivate e giustificate non si terrà conto nella valutazione. Non è consentito l uso di alcun dispositivo elettronico, di appunti o di libri.. Si studi la serie di funzioni al variare di x R + n= x 2 + n) n. 2. Si studino i seguenti integrali impropri al variare di α, β, γ > t ) α dt, 2 t ) β dt, + t ) γ dt.. Sia Γ la curva intersezione dei due insiemi {x, y, z) R z = 4x 2 + y 2 } {x, y, z) R z x = 0}. Si trovi la lunghezza di Γ e la si parametrizzi con il parametro d arco. 4. Data la funzione fx, y, z) = x 2 x2 + 2x + 2 y2 z 2 2z 2 y se ne trovino gli eventuali punti stazionari e se ne discuta, se possibile, la loro natura.

2 Soluzione della traccia del Ogni termine della serie è non negativo. Per x si ha che x 2 + n per cui la serie non può convergere e, poiché a termini positivi, diverge a +. Per x < : poiché lim x 2 + ) = x 2 < ) n + n si ha che esiste δ 0, ) tale che 0 < x 2 + n < δ < definitivamente. Per cui, per confronto con la serie n δ)n, la serie converge. Oppure, direttamente dal criterio della radice n-esima, poiché x 2 + lim n + n n ) n = x 2, si conclude che la serie converge puntualmente per ogni x, ) e diverge positivamente in, ), + ). n x I due casi nei quali lim 2 n + + n) n =, cioè x = e x =, vanno studiati separatamente. Si ottiene che lim + n = e n + n) da cui la serie non può convergere in quanto la successione a n = + n) n non è infinitesima) ed anzi diverge a +. Non può convergere uniformemente in, ) altrimenti convergerebbe anche negli estremi, infatti sup x,) sup x [a,b] x 2 + n) n = + n) n che non è infinitesima. Però converge uniformemente e totalmente in ogni intervallo [a, b], ). Infatti x 2 + n) n { = max a 2 + n) n, b 2 + ) n }. n 2. Prima di tutto si osservi che le funzioni integrande sono non negative, nel primo caso la funzione integranda è limitata, per cui l unico problema è che va integrata in un insieme illimitato; nel secondo caso la funzione va integrata in un insieme limitato, ma potrebbe essere illimitata vicino ad. Analizziamo il primo dei tre integrali, che converge per ogni α >. La conclusione

3 si ottiene con il criterio del confronto asintotico nel modo seguente: fissato α > esiste ε > 0 tale che α ε >, basta scegliere, ad esempio, ε = α)/2. Scelto tale ε si ha che lim t + per cui, poiché t ) α t ) α ε = lim t t ) α t )α ε = lim t + dt < + t ) α ε si conclude che anche l integrale + 2 t ) dt è convergente. α chiaramente divergente poiché t ) α t t. Altro modo di studiarlo è il seguente: poiché la funzione t t ) α è definitivamente decrescente t ) ε = 0 Per 0 < α è è possibile applicare il criterio integrale per la convergenza delle serie e studiare la serie + log n n ) α, che ha lo stesso carattere di + log n n α, e a questo punto usare il criterio di condensazione. La serie considerata avrà anche lo stesso carattere della serie + 2 n n log 2 + n log 2 2 nα = 2 nα ) la quale converge per α > e diverge positivamente per 0 < α. Per il secondo si osservi prima di tutto che: o equivalentemente che = log + t )) = t ) + ot ) 2) lim t + Per cui usando lo sviluppo 2) si ha che t =. t ) β = ot ) + t ) β t ) β.

4 Il primo termine converge per β <, cioè, visto che β > 0, per 0 < β < 2. Per trattare il secondo forse conviene sviluppare ulteriormente il logaritmo come segue = log + t )) = t ) 2 t )2 + ot ) 2 ) per concludere che l integrale diverge a + per β 2. Per il terzo integrale è sufficiente mettere assieme le informazioni sui primi due per concludere che converge per < γ < 2.. Eguagliando i due termini 4x 2 + y 2 e x si ottiene Per cui imponendo 2x 2x 4 ) 2 + y 2 = = 6 cos t e y = 6 sen t si ricavano le prime due componenti della parametrizzazione della curva. Da, ad esempio, z = x si ricava la terza, per cui Γ è parametrizzata da γt) = cos t, sen t, ) cos t, t [0, 2π]. Poiché e γ t) = sen t, 9 6 cos t, 2 γ t) 2 = sen2 t cos2 t si ricava che la lunghezza è data da 2π 6. Il parametro d arco si ricava da: ) 9 6 sen t, t [0, 2π], 9 6 sen2 t = 9 6 da cui st) = t 0 9 dt 6 = st) = ts) = 6 9 s 9 6 t

5 per cui la parametrizzazione in dipendenza da s è data da ηs) = ) sen 9 s, 6 cos 9 s, 2 6 sen 9 s, [ ] 9 s 0, 2π La funzione è derivabile in tutto R, quindi cerchiamo gli eventuali punti di massimo e minimo tra i punti crititci. Valutiamo quindi le derivate parziali e studiamo il sistema delle derivate uguagliate a zero. Si ha f x x, y, z) = x 2 x + 2 = x )x 2) = 0 f y x, y, z) = yz 2 y 2 = 0 f z x, y, z) = zy 2 4z = 0 che risolto fornisce i punti P =, 0, 0), P 2 =, 2, ) 2, P =, 2, ) 2, P 4 = 2, 0, 0), P 5 = 2, 2, ) 2, P 6 = 2, 2, ) 2. La matrice hessiana di f è H f x, y, z) = 2x z 2 2y 2yz 0 2zy y 2 4 Valutata nei punti stazionari fornisce 0 0 H f P ) = H f P 2 ) = H f P ) =

6 0 0 H f P 4 ) = H f P 5 ) = H f P 6 ) = Il punto P 4 è chiaramente un punto di sella, visto che un autovalore è positivo e uno negativo. Per quanto riguarda i punti P 2 e P si ha che le matrici hessiane H f P 2 ) e H f P ) hanno determinante positivo e traccia negativa, da cui si deduce che almeno un autovalore è positivo e almeno un autovalore è negativo, di conseguenza anche questi punti sono di sella. Per quanto riguarda il punto P, dalla matrice hessiana relativa non si può dedurre nulla, ma guardando la funzione ristretta all asse y si ha. ϕy) := f, y, 0) = y che ha chiaramente un flesso in y = 0. Per cui il punto P 4 è di sella. Per i punti P 5 e P 6 si ha che sia il determinante che la traccia sono negativi, il che non aiuta a concludere. Ma un autovalore è sicuramente positivo: l elemento H f P 5 )) = H f P 6 )) = è infatti un autovalore, come si può facilmente verificare risolvendo l equazione [ λ) 2 λ) λ) 4 2) 2] [ ] = λ) λ 2 2λ 2 = 0. Si conclude che anche tali punti sono di sella.