La serie di Fourier in Mathematica

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1 Matematica Open Source Quaderni di Mathematica 09 La serie di Fourier in Mathematica Marcello Colozzo 3Π Π Π Π Π 3Π x

2 INDICE Indice Le istruzioni Which e Piecewise L istruzione Round 3 La serie di Fourier 4 3. Calcolo simbolico Calcolo numerico Bibliografia 0

3 L ISTRUZIONE ROUND Le istruzioni Which e Piecewise Definizione Una funzione f : X R si dice periodica di periodo T, se sono verificate le seguenti condizioni []: x X = (x+kt) X, k Z f (x) = f (x+t), x X La seconda condizione implica f (x) = f (x+kt), k Z () Il grafico di una funzione periodica è costituito da infiniti rami, ciascuno dei quali si ottiene dal grafico della restrizione di f a X [0, T], eseguendo una traslazione nella direzione dell asse x di ampiezza kt. Ad esempio, per la funzione otteniamo il grafico di fig.. f (x) = e x in [0,π], periodica di periodo T = π, () Π 5Π 4Π 3Π Π Π 0 Π Π 3Π 4Π 5Π 6Π x Figura : Grafico della funzione periodica (). Tale proprietà suggerisce di utilizzare l istruzione Which o l istruzione Piecewise per dichiare una funzione periodica in Mathematica. L istruzione Round Definizione Dicesi funzione round la funzione reale R(x) che per ogni numero reale x, restituisce l intero più prossimo a x. In Mathematica la funzione R(x) è built-in ed è invocata dal comando Round[]. In fig. riportiamo il grafico di tale funzione. R(x) non è definita nei punti x k = k +, k Z

4 L ISTRUZIONE ROUND x 3 4 Figura : Andamento della funzione R(x) nell intervallo [ 5, 5]. Denotando con [ ] la parte intera, risulta: lim R(x) = [x k ], lim R(x) = +[x k ], x x k x x + k onde ogni punto x k è di discontinuità di prima specie. Il salto di discontinuità è Ciò premesso, definiamo la funzione s(x k ) = lim R(x) lim R(x) =, k Z (3) x x + k x x k ψ T (x) def = x T R ( x T), (4) essendo T un parametro reale positivo. Tale funzione è periodica di periodo T, come evidenziato dal grafico di fig. 3. Π 4Π 3Π Π Π Π Π 3Π 4Π x Π Figura 3: Andamento della funzione ψ T (x). La funzione ψ T (x) resetta il valore della variabile indipendente, nel senso che riproduce la funzione identica in ogni intervallo di periodicità X k = [ T +kt, T ] +kt, k Z 3

5 Tale proprietà permette di incorporare in una forma compatta una qualunque funzione periodica. Ad esempio, supponiamo di avere la seguente funzione periodica di periodo π: f (x) = x, x [ π,π]; T = π, (5) onde l espressione elementare f (x) = x è valida solo nell intervallo [ π,π]. Si tratta, quindi, di un espressione locale. Diversamente, l espressione globale della predetta funzione periodica, può scriversi: [ ( x )], f (x) = x πr x (,+ ), π il cui grafico è riportato in fig Π Π Π 0 Π Π 3Π x Figura 4: Grafico della funzione periodica (5). Osservazione 3 Il codice Mathematica può essere scaricato in formato pdf dal seguente periodiche.pdf. 3 La serie di Fourier 3. Calcolo simbolico Ricordiamo che per un assegnata funzione f (x) periodica di periodo T, la serie di Fourier è + a 0 + [ ( ) ( )] πk πk a k cos T x +b k sin T x, (6) k= dove a k e b k sono i coefficienti di Fourier: a k = T/ ( ) πk f (x)cos T T/ T x dx, k = 0,,,... (7) b k = T/ ( ) πk f (x)sin T T x dx, k =,,... T/ 4

6 In particolare, se sono verificate le condizioni di Dirichlet la predetta serie converge e ha per somma la funzione f (x) (escludendo i punti di discontinuità di prima specie). Nelle applicazioni è frequente il caso in cui si approssima la funzione a una opportuna somma parziale: f (x) S n (x) = a 0 + n k= [ ( ) ( )] πk πk a k cos T x +b k sin T x, (8) che è possibile calcolare direttamente con Mathematica, dopo aver caricato il package FourierSeries, per poi invocare l istruzione FourierTrigSeries[] che nelle impostazioni di default restituisce la somma parziale (8) per T =. In altri termini, se nell editor di Mathematica scriviamo (per un assegnata funzione f): Fourier[ (*funzione*) f[x], (*variabile indipendente*) x, (*ordine della somma parziale*) n ] il kernel di Mathematica calcola i coefficienti di Fourier (7) per T =. Nel caso contrario, cioè per una funzione di periodo T, dobbiamo utilizzare l opzione FourierParameters->{a,b} dove a,b non vanno confusi con i coefficienti di Fourier. Più precisamente, nelle impostazioni di default è a=0 b= Il parametro b è legato al periodo da T=/ b, cioè b è la frequenza (reciproco del periodo). Ne consegue che se abbiamo una funzione periodica di periodo T, dobbiamo impostare i parametri nel seguente modo: FourierParameters->{0,/T} Consideriamo l esempio classico di un onda quadra, cioè f (x) = x, x [ π,π] di periodo T = π (9) x Utilizzando la funzione round ( ): f (x) = x πr( ) x π x πr ( ) x, x (,+ ), (0) π il cui andamento è riportato in fig. 5. Invochiamo quindi l istruzione FourierTrigSeries con il parametro b settato su /(π), fissando l ordine a n = 0. L output è S 0 (x) = 4 (sinx+ 3 π sin3x+ 5 sin5x+ 7 sin7x+ 9 ) sin9x () 5

7 4Π 3Π Π Π Π Π 3Π 4Π x Figura 5: Grafico della funzione periodica (0). 3Π Π Π Π Π 3Π x Figura 6: Grafico della funzione periodica(0) confrontato con il grafico della somma parziale di ordine 3 della sua serie di Fourier. 6

8 Notiamo innanzitutto uno sviluppo di soli seni, dato che la funzione è dispari. Confrontando con il grafico della funzione, otteniamo il diagramma di fig. 6. Consideriamo ora la funzione periodica di periodo π, così definita f (x) = x, x [ π.π], () già vista nella sezione precedente, e il cui grafico è riportato in fig. 4. Calcoliamo, quindi, la somma parziale del terz ordine: S 3 (x) = π 3 4cosx+cosx 4 cos3x (3) 9 Il confronto con il grafico della funzione è illustrato in fig Π Π Π 0 Π Π 3Π x Figura 7: Grafico della funzione periodica() confrontato con il grafico della somma parziale di ordine 3 della sua serie di Fourier. Le istruzioni FourierCosCoefficient e FourierSinCoefficient restituiscono i coefficienti di Fourier (7) per un assegnato n, che può essere lasciato inespresso. Riprendendo la funzione (9), abbiamo e quindi la somma parziale di ordine n: a n = 0, n = 0,,,... b n = nπ [ ( )n ], n =,,... S n (x) = π n [ ( ) k] sinkx k k= o volendo, la serie di Fourier della funzione assegnata: [ ( ) k] + k= k sin kx (4) 7

9 Si osservi che i coefficienti sono nulli per k pari, come appunto ci si aspetta. Nel caso della funzione () troviamo a n = ( )n n π, b n = 0 La formula per a n è inapplicabile per n = 0, per cui chiediamo a Mathematica di calcolare il coefficiente settando n su zero. Il risultato è a 0 = Ne consegue la somma parziale di ordine n: S n (x) = + n ( ) k coskx (5) π k e quindi la serie di Fourier 3. Calcolo numerico + π + k= k= ( ) k k coskx (6) Per quanto precede, il carico computazionale della serie di Fourier è localizzato sul calcolo degli integrali (7) che per funzioni troppo complicate, è improponibile. Si ricorre, allora, ad approssimazioni numeriche. Ad esempio [ f (x) = sin(cosx), x π, π ] ; T = π, (7) per cui il cui grafico è riportato in fig. 8. [ ( ( x f (x) = sin cos x πr, (8) π))] x Figura 8: Grafico della funzione periodica (7). In questo caso si utilizza l istruzione NFourierTrigSeries la cui sintassi è la medesima dello stesso comando in modalità simbolica. Calcolando la somma parziale di ordine 0, otteniamo il grafico di fig. 9. 8

10 x Figura 9: Grafico della funzione periodica(7) confrontato con il grafico della somma parziale di ordine 0 della sua serie di Fourier. Il codice Mathematica degli esempi appena visti, può essere scaricato in formato pdf dal seguente link: 9

11 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Riferimenti bibliografici [] Fiorenza R., Greco D Lezioni di Analisi Matematica. Liguori Editore. [] Murra R. Spiegel 978. Analisi di Fourier. Schaum 0