Serie di Fourier. Tra queste funzioni definiamo un prodotto scalare nel seguente modo: date f, g V poniamo f (x) g (x) dx. f (x) [g (x) + h (x)] dx

Transcript

1 Serie di Fourier Indichiamo con V l insieme delle funzioni f : R R che siano periodiche di periodo π, si abbia cioè f ( + π) = f (), e che risultino integrabili nell intervallo [, π]. Tra queste funzioni definiamo un prodotto scalare nel seguente modo: date f, g V poniamo f, g = f () g () d. Teorema. Siano f, g, h V e a R, allora f, g = g, f f, g + h = f, g + f, h af, g = a f, g Dimostrazione. più semplici). Si ha Dimostriamo la seconda proprietà (le altre sono ancora f, g + h = = f () [g () + h ()] d f () g () d + = f, g + f, h f () h () d Definizione. Date f, g V diciamo che f e g sono tra loro ortogonali se f, g =. Definizione. Date n funzioni f 1, f,..., f n V diciamo che formano una famiglia ortogonale di funzioni se Osservazione. Presa f V si ha f i, f j = quando i j. f, f = [f ()] d e vale l eguaglianza a se e solo se f () = per ogni. Definiamo allora la norma della funzione f come f = [f ()] d. La forma di f è una misura di quanto è grande la funzione. 1

2 Teorema (di Pitagora). Sia f 1, f,..., f n V una famiglia ortogonale e sia g = f 1 + f + + f n. Allora g = f 1 + f + + f n. Dimostrazione. Calcoliamo n n g = g, g = f i, f j = n i=1 j=1 i=1 n f i, f j poiché f i, f j = se i j nella doppia sommatoria restano solo i termini con i = j e quindi si riduce a = n f i, f i = i=1 j=1 n f i. Definizione Dicamo che n funzioni f 1, f,..., f n V formano una famiglia (o un sistema) ortonormale se { 1 se i = j, f i, f j = se i j. Affrontiamo ora il seguenter problema. Fissato un sistema ortonormale f 1, f,..., f n V consideriamo una generica funzione g V e cerchiamo di approssimarla (nel modo migliore possibile) usando combinazioni lineari della famiglia ortonormale. Vogliamo cioè approssimare g con funzioni del tipo i=1 a 1 f 1 + a f + + a n f n nel modo migliore possibile. Un modo di misurare quanto è buona questa approssimazione e che risulta particolarmente semplice ed effi cace è quello della norma. Vogliamo cioè trovare dei coeffi cienti a 1, a,..., a n tali che g (a 1 f 1 + a f + + a n f n ) risulti più piccolo possibile. Teorema Sia f 1, f,..., f n V una famiglia ortonormale e sia g V la quantità g ci f i assume il valore minimo se In questo caso si ha c i = g, f i. g c i f i = g c i.

3 Dimostrazione. Invece di rendere minima la quantità g (c 1 f 1 + c f + + c n f n ) rendiamo minimo il suo quadrato: g c i f i = g c i f i, g c j f j = g, g c j f j = g, g g, ci f i, g c j f j cj f j ci f i, g + ci f i, Osserviamo ora che i termini g, cj f j e c i f i, g sono uguali e li riscriviamo come c i g, f i, il termine c i f i, cj f j sfruttando il fatto che la famiglia è ortonormale diventa (con lo stesso ragionamento fatto nella dimostrazione del teorema di Pitagora) c i f i, f i = c i. cj f j. Abbiamo allora g c i f i = g c i g, f i + c i = g g, f i + [ g, f i c i g, f i + c i = g g, f i + [ g, f i c i ]. ] Questa quantità assume il valore minimo quando c i = g, f i. Proposizione. Siano h, k = 1,, 3,... si ha [sin (k)] d = sin (k) cos (h) d = [sin (h)] d = π sin (k) sin (h) d = purchè k h cos (k) cos (h) d = purchè k h sin (k) d = cos (h) d = Osservazione. Per ogni n consideriamo la famiglia di n + 1 funzioni 1, cos (), cos (),..., cos (n), sin (), sin (),..., sin (n). Si tratta, come è facile verificare di funzioni continue e periodiche di periodo π. La precedente proposizione ci dice inoltre che si tratta di una famiglia ortogonale. 3

4 Definizione. Chiamiamo polinomio trigonometrico di grado n una qualunque combinazione lineare del tipo a + a 1 cos () + + a n cos (n) + b 1 sin () + + b n sin (n). La famiglia di funzioni considerata è ortogonale, ma non ortonormale. Infatti, 1, 1 = cos (k), cos (k) = sin (k), sin (k) = 1 1d = π, [cos (k)] d = π, [sin (k)] d = π. Per applicare il teorema precedente occorre normalizzarla, considerando la famiglia di funzioni 1 π, cos (), π cos (),..., π cos (n), π sin (), π sin () sin (n),..., π π Il teorema precedente applicato a questa nuova famiglia di funzioni porta, con qualche calcolo al seguente risultato: Teorema. Sia g V, e sia P n () = 1 a + a 1 cos () + + a n cos (n) + b 1 sin () + + b n sin (n). La quantità assume il valore minimo per a k = 1 π b k = 1 π g P n () g () cos (k) d, g () sin (k) d. Per questa scelta dei coeffi cienti si ha inoltre [ g P n () = g a n π + ( a k + b ) ] k. Indichemo d ora in avanti il polinomio trigonometrico con coeffcienti determinati dalle precenti formule con S n g (). Esempio Consideriamo la funzione g : R R, periodica di periodo π che, nell intervallo (, π] ha la forma g () =. 4

5 Premettiamo al calcolo dei coeffi cienti a k e b k la seguente osservazione: Osservazione. Sia g periodica di periodo T. Allora per ogni a R si ha In particolare T T g () d = g () d = a+t a T T g () d. g () d. Usando questo fatto calcoliamo allora i coeffi cienti a k e b k per la funzione g. a k = 1 π = 1 π g () cos (k) d cos (k) d = poiché la funzione integranda è dispari e l intervallo di integrazione simmetrico. b k = 1 π = π = π sin (k) d = π ([ ] π + cos (k) k ( cos (kπ) + k sin (k) d ) cos (k) d k [ ] π ) sin (k) = k cos (kπ) = k ( 1)k+1 k Per ogni n fissato il polinomio trigonometrico di grado n che meglio approssima la funzione data è n k ( 1)k+1 sin (k). Di seguito sono rappresentati in un grafico la funzione g ed il polinomio con n = 1. Come si può vedere l approssimazione è abbastanza buona tranne che nelle vicinanze dei punti di discontinuità della funzione g. Considerando che qualunque polinomio trigonometrico è una funzione continua questo è naturale. 5

6 Ci chiediamo ora cosa succede quando n +. Teorema. Sia g V. Allora ovvero lim n + Vale inoltre l uguaglianza di Parseval Osservazione. Poiché lim g S ng = n + [g ()] d = π g S n g = g [g () S n g ()] d =. [ a + + ( a k + b ) ] k. [ a n + ( a k + b ) ] k notiamo che l uguaglianza di Parseval è una semplice conseguenza del fatto che g S n g. Esempio. Applichiamo la formula di Parseval alla funzione periodica g che nell intervallo [, π) ha la forma g () =. Abbiamo già calcolato a k = e b k = k ( 1)k+1. Si ha allora d = π [ + ( ) ] k ( 1)k+1 cioè e quindi [ 3 3 ] π = π k 1 k = π 6. 6

7 Osserviamo ora che il polinomi trigonometrici S n g () = 1 a + n (a k cos (k) + b k sin (k)) possono essere pensati come le somme parziali della serie (di funzioni) a + + (a k cos (k) + b k sin (k)). Definizione. Sia g V e siano la serie a k = 1 π b k = 1 π a g () cos (k) d, g () sin (k) d. + + (a k cos (k) + b k sin (k)) è detta serie di Fourier della funzione g ed i coeffi cienti a k e b k coeffi cienti di Fourier associati alla funzione g. Si scrive anche g a + + (a k cos (k) + b k sin (k)). Il precedente teorema ci dice quindi che le somme parziali della serie di Fourier di g convergono alla funzione g nel senso della norma: g S n g. Convergenza puntuale La convergenza in norma, richiede che [g () S n g ()] d diventi sempre più piccolo quando n +. È istruttivo rendersi conto del significato della cosa mediante il grafico di g () S n g () per vari valori di n. Usiamo la solita funzione g che su [, π) ha la forma g () =. Per n = 1 si ha 7

8 per n = per n = per n = Come si vede nelle vicinanze dei punti = e = π la differenza tra g () e la somma parziale S n g () è sempre grande ciò che succede al crescere di n è che la regione nella quale la differenza è grande si restringe. 8

9 Sulla base delle precedenti considerazioni è naturale chiedersi quando valga lim S ng () = g (). n + Premettiamo una definizione Definizione. Sia g : R R periodica di periodo π. Diciamo che g è monotona a tratti se è possibile dividere l intervallo [, π] in un numero finito di sottointervalli su ciasciuno dei quali g è monotona. Esempio di funzione periodica monotona a tratti Esempio di funzione periodica non monotona a tratti

10 Teorema. Sia g V monotona a tratti. Sia R, se g è continua in allora lim n + S ng ( ) = g ( ). Se invece g non è continua in allora dove e lim S ng ( ) = +g ( ) n + g ( +) = lim g () + g ( ) = lim g (). Il teorema precedente si dice quindi che nei punti di discontinuità la serie di Fourier converge al valore medio tra il limite sinistro ed il limite destro. Si noti che essendo la funzione monotona a tratti tali limiti esistono sempre. Quando una funzione g V presenta una simmetria, anche la sua serie di Fourier risulta simmetrica, come mostra il prossimo teorema. Teorema. Sia g V. Se g è pari allora a k = 1 π b k = 1 π conseguentemente f () cos (k) d = π f () sin (k) d =, f () cos (k) d, Similmente se g è dispari allora e quindi a k = 1 π b k = 1 π f () cos (k) d =, f () sin (k) d = π g + a k sin (k). f () sin (k) d, Supponiamo ora di avere una funzione g : R R che sia integrabile e periodica di periodo T. Si abbia cioè Consideriamo ora la funzione g ( + T ) = g (). g () = g 1 ( ) T π.

11 Verifichiamo che g è periodica di periodo π. Si ha ( ) ( T T g ( + π) = g ( + π) = g π π + T ) π π ( ) T = g π = g (). ( ) T = g π + T Scriviamo allora le serie di Fourier relativa alla funzione g (). Per prima cosa ci calcoliamo i coeffi cienti di Fourier. a k = 1 g () cos (k) d = 1 ( ) T g π π π cos (k) d cambiando variabile (t = T π ) si ha allora e similmente quindi a k = 1 T b k = 1 T T T g (t) cos (k π ) T t dt g (t) sin (k π ) T t dt g () a + + (a k cos (k) + b k sin (k)). Poichè g ()=g ( T π ) anche qui conviene esprimere tutto usando la variabile t. Si ottiene allora g (t) a + + ( a k cos (k π ) T t + b k sin (k π )) T t. Abbiamo quindi ottenuto l espressione della serie di Fourier e dei relativi coefficienti per funzioni di periodo generico T. Esempio Consideriamo la funzione g periodica di periodo che sull intervallo [ 1, 1] coincide con la funzione. La funzione è pari e quindi b k =. Abbiamo allora a k = 1 1 = = t cos (k π ) 1 t dt t cos (kπt) dt = [ cos (kπt) t k π cos (kπ) = 4 k π + 4 ] 1 [ sin (kπt) k 3 π 3 [ sin (kπt) t kπ 1 ] 1 11 ] 1 cos (kπt) k π dt = 4 ( 1)k k π. 1 t sin (kπt) dt kπ

12 inoltre quindi a = 1 1 g (t) = t dt = 3, 4 ( 1)k k π cos (kπt) Nel grafico sono rappresentate la funzione g e la somma della serie di fourier fino a k = 3. Come si può notare, la serie approssima abbastanza base la funzione con pochissimi termini. Ciò è dovuto al fatto che questa volta la funzione è continua