Spazi di Hilbert: Proiezioni e Serie di Fourier

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1 Spazi di Hilbert: Proiezioni e Serie di Fourier Docente:Alessandra Cutrì

2 Spazi di Hilbert Uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare che è completo rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare si chiama Spazio di Hilbert In R N la norma indotta dal prodotto scalare < x, y >= N i=1 x iy i è la norma euclidea x = ( N i=1 x i ) 1 tra le norme L p (a, b) l unica che proviene da un prodotto scalare è la norma di L (a, b) ( < f, g >= b a f (t)g(t)dt) che dunque è uno spazio di Hilbert (essendo completo) tutti gli altri L p (a, b) sono spazi di Banach ma non di Hilbert,come lo spazio C([a, b]; ) Perché? Theorem è una norma su uno spazio normato V indotta da un prodotto scalare se e solo se soddisfa l identità del parallelogramma: u + v + u v = ( u + v ) u, v V (1)

3 Ortogonalità Negli spazi di Hilbert si può parlare di ortogonalità tra vettori: Definition In uno spazio di Hilbert H, u, v H si dicono ortogonali se < u, v >= 0 OSS:0 H è l unico elemento di H ortogonale a tutti gli altri vettori di H OSS: Se < u, v >= 0 vale il Teorema di Pitagora: u + v = u + v Sia V H un sottospazio di H, allora V = {w H : < w, v >= 0 v V } OSS: Se dimv = N e {e 1,... e N } è una base di V, V = {w H : < w, e i >= 0 i = 1,..., N}

4 Esempio: H = L ( π, π), V = span{1} allora V = {f L ( π, π) : π π f (x)dx = 0} In particolare m N: < sin(mt), 1 >=< cos(mt), 1 >= 0 in L ( π, π) Esempio: H = L ( π, π), f (t) = cos t, g(t) = sin t sono tra loro ortogonali infatti π π cos t sin tdt = 0 Anzi, m, n N, < cos(mt), sin(nt) >= 0 in H = L ( π, π) π π ed inoltre π π π π dove cos(mt) sin(nt)dt = cos(mt) cos(nt)dt = 1 sin(mt) sin(nt)dt = 1 π δ m,n = π π π π π 1 [sin(m + n)t + sin(m n)t]dt = 0 [cos(m + n)t + cos(m n)t]dt = πδ m,n [cos(m n)t cos(m + n)t]dt = πδ m,n { 0 se m n 1 se m = n

5 In L ( π, π) si ha: Perciò 1 = π sin(mt) = cos(mt) = π m N { 1 π, cos(t) π, sin(t),..., cos(kt) π π, sin(kt) π } k = 1,,... m costituiscono una famiglia di m + 1 vettori ortogonali (anzi ortonormali perché hanno norma unitaria) in L ( π, π) e generano dunque un sottospazio di L ( π, π) di dimensione m + 1 (in quanto elementi ortogonali tra loro sono linearmente indipendenti)

6 Polinomi trigonometrici In L ( π, π) la famiglia ortogonale { 1, cos t, sin t,..., cos(kt), sin(kt)} k = 1,,... m genera dunque un sottospazio F m di dimensione m + 1 i cui elementi sono Polinomi Trigonometrici 1 m p(x) = α 0 + α k cos(kx) + β k sin(kx) con α 0, α k, β k R Osserviamo che, essendo p combinazione lineare di elementi ortogonali, ed essendo 1 = π e sin(kx) = cos(kx) = π (tutte le norme sono in L ( π, π)) si ha: p(x) = α m ( α k cos(kx) + β k sin(kx) = π α0 + ) m α k + β k

7 dalla relazione di Eulero: cos(kx) + i sin(kx) = e ikx si deduce che cos(kx) = eikx + e ikx sin(kx) = eikx e ikx i Lo stesso Polinomio trigonometrico si scrive come combinazione lineare di e ikx con k Z cioè: Quindi p(x) = α 0 m + e ikx + e ikx α k + β k e ikx e ikx i p(x) = α 0 m + ( α k + β k i )eikx + ( α k β k i )e ikx Ponendo c 0 = α 0, c k = 1 (α k iβ k ), c k = 1 (α k + iβ k ) si ottiene p(x) = m k= m c k e ikx

8 {e ikx } k = 0, ±1, ±,..., ±m Inoltre: m + 1 funzioni a valori complessi, appartenenti a L (( π, π); C) tra loro ortogonali: π { < e ikx, e imx >= e ikx e imx π se k = m dx = 0 se k m π base complessa di F m sottospazio di L ( π, π) p(x) L = m k= m c k e ikx L = π m k= m c k

9 Proiezioni ortogonali Dato un segnale f L ( π, π) come scegliere i coefficienti a 0, a k, b k (k = 1,..., n) in modo che S n (x) = a n 0 + a k cos(kx) + b k sin(kx) sia il polinomio trigonometrico di F n di migliore approssimazione per f? che succede se n +? Prima di tutto, cosa si intende per migliore approssimazione di f?

10 Teorema della proiezione su un sottospazio Dato uno spazio di Hilbert H ed un sottospazio V N H con dimv N = N, come si definisce la proiezione ortogonale su V N? Sia {v 1, v,..., v N } una base ortogonale di V N Se w H \ V N, qual è la proiezione di w su V N? Theorem (Teorema della Proiezione) Se w H \ V N, esiste un unico v V N (proiezione ortogonale di w su V N ) che verifica: 1 v w w z z V N w v V N cioè < w v, z >= 0 z V N 3 v = N < w, i=1 v i v i > v i N v i = i=1 < w, v i > v i v i

11 Oss: w = w v + v con < w v, v >= 0 quindi la norma della proiezione è minore o uguale alla norma del vettore che si proietta, infatti: w = w v + v v Se c i sono le coordinate del vettore proiezione, cioè v = N i=1 c iv i, vale N c i v i w Disuguaglianza di Bessel i=1 Se w V N, ovviamente v = w

12 Coefficienti di Fourier H = L ( π, π), V N+1 = F N. F N = span{ 1, cos t, sin t,..., cos(kt), sin(kt)} k = 1,,... N Sia f L ( π, π), qual è la proiezione ortogonale di f su F N? Ovviamente è un polinomio trigonometrico 1 N S N (x) = a 0 + a k cos(kx) + b k sin(kx) i cui coefficienti, per il teorema della proiezione sono: a 0 = < f, 1 > 1 L ( π,π) a k = < f, cos(kx) > cos(kx) L ( π,π) b k = < f, sin(kx) > sin(kx) L ( π,π) = 1 π = 1 π = 1 π π π π π π π f (x)dx f (x) cos(kx)dx f (x) sin(kx)dx

13 Disuguaglianza di Bessel Inoltre, ricordando che 1 = π e sin(kx) = cos(kx) = π vale la disuguaglianza di Bessel seguente: π( a 0 N + a k + b k ) f L ( π,π) essendo S N il polinomio trigonometrico di migliore approssimazione di f in F N, risulta: f S N L ( π,π) f P N (x) L ( π,π) P N F N. Quindi f S N (x) L ( π,π) = min P N F N f P N (x) L ( π,π)

14 Serie di Fourier Quindi data f L ( π, π), esiste un unico S N (x) in F N tale che: f S N (x) L ( π,π) = min PN F N f P N (x) L ( π,π) f L ( π,π) S N(x) L ( π,π) = π( a 0 + N a k + b k ) F N F N+1 Poiché F N+1 si ottiene aggiungendo alla base di F N le funzioni cos(n + 1)x e sin(n + 1)x se S N+1 (x) denota la proiezione di f su F N+1, poiché S N F N+1, (basta scegliere α N+1 = β N+1 = 0) si ha: f S N+1 L ( π,π) f S N (x) L ( π,π) S N+1 (x) = S N (x) + a N+1 cos(n + 1)x + b N+1 sin(n + 1)x Che succede quando N +? La completezza di L ( π, π) implica: (cioè S N f in L ) lim f S N(x) L N + ( π,π) = 0

15 S N (x) è la ridotta N ma della serie di funzioni a 0 + a k cos(kx) + b k sin(kx) Serie di Fourier N + La disuguagliana di Bessel diventa Identità di Parseval: π( a a k + b k )= f L ( π,π) poiché f = f S N + S N π( a a k + b k ) la serie numerica + a k + b k < a k 0 e b k 0 quando k +

16 Serie di Fourier in forma complessa Utilizzando la base comoplessa F N = span{e ikx k = 0, ±1, ±,..., ±N} e proiettando f L ( π, π) su F N si ottiene S N (x) = N k= N c k e ikx dove c k sono i coefficienti di Fourier di f rispetto alla base {e ikx }, i.e. c k = < f, eikx > e ikx = 1 π f (x)e ikx dx π L π Per N + S N f nella norma di L k= c k e ikx Serie di Fourier di f in forma complessa

17 Coefficienti di Fourier di funzioni con simmetrie Sia f L ( π, π), i cui coefficienti sono: 1 + f a 0 + a k cos(kx) + b k sin(kx) a 0 = < f, 1 > 1 L ( π,π) a k = < f, cos(kx) > cos(kx) L ( π,π) b k = < f, sin(kx) > sin(kx) L ( π,π) = 1 π = 1 π = 1 π π π π π π π f (x)dx Se f è pari (i.e. f (x) = f ( x)) b k = 0 Se f è dispari (i.e. f (x) = f ( x)) a k = 0 f (x) cos(kx)dx f (x) sin(kx)dx

18 Altri tipi di convergenze delle serie di Fourier Data f L ( π, π) Se indichiamo con 1 + f a 0 + a k cos(kx) + b k sin(kx) S(x) = lim S 1 + N(x) = a 0 N + a k cos(kx) + b k sin(kx) S N (x) è π periodica N S(x) = lim N S N (x) è π periodica. Quindi S( π) = S(π) S N (x) S(x) in R e S è π periodica Quando S(x) = f (x)?

19 Affinché S(x) = f (x) cioè la serie di Fourier converga puntualmente a f per esempio è necessario che f ( π) = f (π) altrimenti S N non può convergere a f in ±π, d altra parte i coefficienti di Fourier dipendono dal comportamento di f non solo in un punto ma in un intorno (sono definiti mediante integrali) quindi non si può cambiare il valore di f in un punto sperando che la serie converga puntualmente a f. Inoltre Se S N f puntualmente in ( π, π) S N f su R dove f denota il prolungamento π periodico di f Quali condizioni sufficienti su f (o f ) garantiscono che la serie di Fourier converge puntualmente a S(x) Sotto quali condizioni si ha S(x) = f (x)

20 Convergenza puntuale delle serie di Fourier Vediamo condizioni sufficienti su f a garantire la convergenza puntuale della serie di Fourier Definizione (Condizione (D)): Sia f : [a, b] R, sia x 0 (a, b). f verifica in x 0 la condizione (D) (Condizione di Dirichlet) ses: 1 f è derivabile in x 0 oppure f è continua in x 0 ed esistono finiti f (x) f (x 0 ) lim = f f (x) f (x 0 ) x x 0 + x x +(x 0 ) lim = f 0 x x 0 x x (x 0 ) 0 oppure 3 f ha un salto in x 0 ma esistono finiti: f (x) f (x 0 +) lim = f f (x) f (x 0 ) x x (x 0 ) lim = f x x 0 x x 0 (x 0 ) x x 0

21 Theorem Sia f : R R π periodica e continua a tratti. Allora S N (x 0 ) converge in ogni x 0 che verifica la condizione (D) a S(x 0 ) := 1 [f (x 0+) + f (x 0 )] (se f è continua in x 0 allora S(x 0 ) = f (x 0 )) f : R R è continua a tratti se in ogni intervallo limitato ha al più un numero finito di punti di discontinuità di salto (quindi esistono sempre finiti limite destro e limite sinistro) Condizione (D) può essere sostituita da condizioni di monotonia a tratti di f.

22 Esempio f (x) = πsign(x) in [ π, π] Consideriamo la funzione π periodica che in [ π, π] coincide con f (x) = πsign(x) e sviluppiamola in serie di Fourier: f è dispari perciò a k = 0 e b k = π π 0 π sin(kx)dx = [ cos(kx) ] π 0 = 1 ( 1)k k k Quindi la serie di Fourier associata ad f è 1 ( 1) k S(x) = k sin(kx) tutti i punti soddisfano la condizione (D) S(±π) = S(0) = 0 (media del salto di f )

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24 c Esercizi 11 Esempio f (x) = sign(x) in [ π, π] Un elenco di sviluppi in serie di Fourier in forma visuale Consideriamo la funzione π periodica che in [ π, π] coincide con 1. f(x) = 4 [ cos 3b cos 5b ] cos b sin x + sin 3x + sin 5x +... π 3 5 f (x) sign(x) e sviluppiamola in serie di Fourier: 1 f è dispari perciò a k = 0 e b k = π π π 0 sin(kx)dx = [ cos(kx) ] π 0 = 1 ( 1)k π πk πk Quindi la serie di Fourier associata ad f è b π b 1 ( 1) k -1 S(x) = sin(kx) πk La restrizione di f all intervallo [ π, π] siscrive χ [b,π b] (x) sgn(x), con 0 b<π/. Per b = 0si ottiene lo sviluppo della funzione segno. La figura seguente mostra i primi cinque polinomi di Fourier di ordine dispari della funzione segno

25 Serie Fourier del prolungamento π periodico di -1 f (x) = x πsign(x) in [ π, π] La restrizione di f all intervallo [ π, π] siscrive sgn(π/ x ). [ sin x sin 3x ] 4. f(x) = sin x ( grafico monometrico) π -6-4 π La restrizione di f all intervallo [ π, π] si scrive x sgn(x) π. La figura seguente mostra i primi cinque polinomi di Fourier della funzione considerata

26 Convergenza uniforme delle serie di Fourier Theorem Sia f : R R π periodica, continua su R con derivata continua in [ π, π] eccetto un numero finito di punti dove vale la condizione (D - ). Allora S N (x) converge Uniformemente a f su R la continuità di f su R e la periodicità implicano f ( π) = f (π) Le condizioni del teorema garantiscono che f L ( π, π) e dunque anche f può essere sviluppata in serie di Fourier e vale l identità di Parseval a k + b k <. Ma a k = kb k b k = ka k a k, b k = o( 1 k ) Inoltre a k + b k < Infatti: a k + b k 1 ( ka k + kb k 1 ) + k <

27 essendo a k cos(kx) + b k sin(kx) a k + b k S N (x) a 0 + N a k + b k, la serie converge totalmente e dunque uniformemente

28 c Serie Fourier convergente uniformemente Esercizi f(x) = 8 [ sin 3x sin 5x ] π sin x ( grafico monometrico) La restrizione di f all intervallo [ π, π] vale x per x π/, vale sgn(x) π x per π/ x π. La figura seguente mostra i primi cinque polinomi di Fourier della funzione considerata A. Cutrì[ / Metodi Matematici per l ingegneria Ing. ] Gestionale 5-1

29 Funzioni T periodiche Sia f : [ T, T ] R oppure f : R R T periodica. Se f L ( T, T ),si può sviluppare in serie di Fourier rispetto alla base ortogonale in H = L ( T, T ) data da: { 1, cos(kωx), sin(kωx)} dove la pulsazione ω = π T e 1 L ( T, T ) = T 4 cos(kωx) L ( T, T ) = sin(kωx) L ( T, T ) = T

30 Cioè f L ( T, T ) con f (x) a 0 + a k cos(kωx) + b k sin(kωx) a k = T T T f (x) cos(kωx)dx k = 0, 1,... b k = T T T e vale l identità di Parseval: T ( a 0 + f (x) sin(kωx)dx k = 1,... a k + b k ) = f L ( T, T )

31 Serie di Fourier in forma complessa per funzioni T periodiche Utilizzando la base comoplessa F N = span{e ikωx k = 0, ±1, ±,..., ±N} e proiettando f L ( T, T ) su F N si ottiene S N (x) = N k= N c k e ikωx dove c k sono i coefficienti di Fourier di f rispetto alla base {e ikωx }, ed essendo e ikωx = T si ha L ( T, T ) c k = 1 T T T f (x)e ikωx dx N, S N f in L ( T, T ) e f (x) k= c ke ikωx Serie di Fourier di f in forma complessa

32 Altra espressione della serie di Fourier per funzioni T periodiche Sia f L ( T, T ) a valori reali, allora f (x) a 0 + a k cos(kωx) + b k sin(kωx) Ponendo A 0 = a 0 si ha A k = a k + b k = a k ± ib k Spettro di ampiezza a k cos(kωx) + b k sin(kωx) = A k ( a k A k cos(kωx) + b k A k sin(kωx)) Ponendo poi otteniamo Φ k = arg(a k + ib k ) a k + ib k = A k e iφ k Spettro di Fase cos(φ k ) = a k, sin(φ k ) = b k A k A k

33 quindi a k cos(kωx) + b k sin(kωx) = A k (cos(φ k ) cos(kωx) + sin(φ k ) sin(kωx)) = A k cos(kωx Φ k ) f (x) A 0 + A k cos(kωx Φ k )