Esercitazione del 6 Dicembre 2011

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1 Facoltà di Ingegneria dell Università degli Studi di Firenze CdS in Ingegneria per l Ambiente, le Risorse ed il Territorio Complementi di Analisi Matematica A.A. 11/1 Esercitazione del 6 Dicembre 11 Attenzione: si chiede di rispondere al quesito 1. e di affrontare almeno due dei problemi successivi. Motivare sempre le risposte. Rendere chiare ed evidenti le soluzioni/risposte conclusive. 1. Scrivere la serie di Fourier della funzione f : R R, -periodica, dispari, tale che x x 1 f(x) = 1 x 1 x 1. Discutere la convergenza in media quadratica, puntuale, uniforme della serie a f.. Determinare la soluzione u = u(x, y) del problema ai valori iniziali u x + 1 u y = u u(x, ) = e x. Non si trascuri di stabilire il dominio 1 D R in cui essa è definita, disegnandolo se possibile. Preliminarmente, precisare l ordine ed il tipo dell equazione a derivate parziali. 3. Determinare le soluzioni u = u(x, t) a variabili separate dell equazione u t ku xx = (k costante), x (, 1), t >, che soddisfano la condizione al contorno u x (, t) = u x (1, t) =, t. Successivamente, risolvere il problema al contorno e ai valori iniziali corrispondente se u(x, ) = f(x), x [, 1], ove f è la funzione data nell esercizio 1.. L equazione di Klein-Gordon non lineare ψ tt ψ xx + ψ 3 =, x, t R (1) scaturisce nella teoria quantistica dei campi; la funzione incognita ψ(x, t) è una funzione di campo (scalare). 1 Insieme aperto e connesso. 1

2 (a) Ricavare, sulla falsariga di quanto fatto nel caso dell equazione della corda vibrante, un principio di conservazione dell energia per il sistema descritto da (1). (b) Quale equazione differenziale ordinaria (EDO) dovrà soddisfare ϕ affinché l equazione (1) ammetta soluzioni speciali (dette onde viaggianti ) della forma ψ(x, t) = ϕ(x θt)? Svolgimento 1. Poiché la funzione f data è continua nell intervallo chiuso e limitato [, 1], essa è in particolare limitata, e pertanto l estensione richiesta f su R è una funzione continua a tratti (oltre che -periodica e dispari per costruzione). Di fatto essendo f() = f(1) =, f risulta continua su tutto R. Dal fatto che f è una funzione dispari segue che la serie di Fourier ad essa associata è una serie di soli seni. Con il periodo T = la pulsazione ω = π/t = π, e la serie di Fourier è data da f(x) b n sin(nπx), n = 1,,..., () con b n = 1 1 / 1 Si ha dunque 1/ b n = x sin(nπx) dx + = 1 πn f(x) sin(nπx) dx = 1 1/ [ ] 1/ x cos(nπx) + 1 πn 1 } (1 x) sin(nπx) dx 1/ 1 1 cos(nπx) dx πn 1/ } = = 1 πn cos(πn ) + 1 [ (πn) sin(nπx) 1 (πn) [ sin(nπx) ] 1 1/ f(x) sin(nπx) dx, n = 1,,... = cos(nπx) dx 1 [ ] 1 (1 x) cos(nπx) πn 1/ ] 1/ Dunque b n = se n è pari, mentre per n dispari si ha b k+1 = π + 1 πn cos(πn ) } = (πn) sin(πn ), n = 1,,... ( 1) k (k + 1) k =, 1,,... ;

3 di conseguenza, la serie di Fourier associata a f è la seguente: f(x) π k= ( 1) k sin((k + 1)πx). (k + 1) Analisi della convergenza. La convergenza della serie di Fourier in () può essere discussa a priori, sulla base delle proprietà di regolarità della funzione f su R. Si osservi che la funzione f è -periodica e continua, che è sufficiente a garantire la convergenza in norma quadratica della serie di Fourier ad essa associata. Indicando con s n (x) la successione delle somme parziali corrispondente, si ha dunque lim n f(x) s n (x) dx =. D altra parte, esiste f (x) per ogni x 1/ + m, m Z, e f è continua in A = x : x 1/ + m, m Z}, mentre nei punti x m = 1/ + m esistono le derivate destra e sinistra (si ha infatti f (x m ) = ( 1) m, f +(x m ) = f (x m )). Pertanto f è regolare a tratti e si può concludere che la serie ad essa associata converge uniformemente quindi puntualmente a f su tutto R; in particolare essa converge uniformemente a f in [, 1]. Avendo comunque calcolato i coefficienti di Fourier, la convergenza uniforme della serie di Fourier segue parimenti dal fatto che b n = O(n ), n.. Si tratta di un problema ai valori iniziali per un equazione a derivate parziali del primo ordine semi-lineare. Si osservi che con a(x, y, z) = 1, b(x, y, z) = 1/ e c(x, y, z) = z si ha a, b, c C 1 (A), ove A = (x, y, z) R 3 : z > }. Introdotta la curva regolare Γ, di rappresentazione parametrica s (s,, e s ), s R, occorre risolvere il problema di Cauchy (sistema caratteristico) x t = 1 x(, s) = s y t = 1 y(, s) =, z t = z z(, s) = e s inizialmente con s R. Le tre equazioni sono disaccoppiate. Si ottiene immediatamente x(t, s) = t + s e y(t, s) = t/, con (t, s) R. Poiché z >, integrando la terza equazione si ottiene z = t + c(s) e tenendo conto della condizione z(, s) = e s si trova c(s) = e s/. Pertanto z = t + es/, che impone il vincolo t + es/ >. Riassumendo, si è ottenuto x(t, s) = t + s y(t, s) = 1 t (t, s) B z(t, s) = ( t + es/ ) 3

4 ove B = (t, s) : t > e s/ }. Si osservi ora che la trasformazione (t, s) (x(t, s), y(t, s)) è una trasformazione lineare di R in sé invertibile (globalmente); facilmente si ottiene t = y, s = x y. Pertanto, la soluzione del problema ai valori iniziali è la funzione composta z(t(x, y), s(x, y)), cioè con dominio u(x, y) = (y + e x/ y ), (x, y) D, (3) D = (x, y) : y + e x/ y > } (x, y) : y } (x, y) : y <, x > y + log(y ) }. La verifica del fatto che la funzione (3) risolve in senso classico il problema dell esercizio. è prevista ma qui lasciata al lettore. 3. Le eventuali soluzioni a variabili separate del problema u t ku xx = < x < 1, t > (a) u x (, t) = u x (1, t) = t > (b) sono funzioni u della forma u(x, t) = X(x)T (t), con X e T funzioni (entrambe non identicamente nulle) di classe C. Esse dovranno soddisfare X(x)T (t) kx (x)t (t) =, (x, t) (, 1) (, ), (5) assieme alla condizione X ()T (t) = X (1)T (t) = per ogni t (, ), che implica X () = X (1) =. Dividendo ambo i membri dell equazione (5) per X(x)T (t), si ottiene l identità T (t) kt (t) = X (x) x (, 1), t >, (6) X(x) che è possibile solo se ambo i membri sono costanti. Si perviene dunque al problema agli autovalori seguente: Esiste λ C tale che esiste X( ) soluzione del problema ai limiti X (x) + λx(x) = < x < 1 X () = X? (7) (1) = e all equazione differenziale ordinaria T λkt = nell incognita T = T (t). Il problema (7) è già stato discusso a lezione, e possiamo affermare che vi è una successione crescente di autovalori non negativi λ n = (nπ), n =, 1,,..., con autofunzioni corrispondenti X n (x) = cos(nπx), n =, 1,,... Di conseguenza T n (t) = C n e kπ n t, n =, 1,,..., con C n R, C n. In conclusione, le soluzioni a variabili separate (non banali) dell equazione (a) corredata delle condizioni al bordo (b) sono u n (x, t) = X n (x)t n (t) = C n e kπ n t cos(nπx), x (, 1), t >, (8)

5 con n =, 1,,... e C n. Al fine di risolvere il problema al contorno e ai valori iniziali u t ku xx = < x < 1, t > u x (, t) = u x (1, t) = t > u(x, ) = f(x) x 1 (9) con f come nell esercizio 1., si introduce la serie di funzioni u(x, t) = u n (x, t) = C + C n e kπ n t cos(nπx). n= Operando formalmente (cioé prescindendo dalle questioni di convergenza) si impone la condizione iniziale u(x, ) = f(x): f(x) = C + C n cos(nπx) x 1. (1) Si osservi che se la serie trigonometrica in (1) risulta convergente, essa converge ad una funzione periodica di periodo e pari. Questo suggerisce che si operi un estensione della funzione f(x) inizialmente su [ 1, ] per simmetria e poi su tutto R ad una funzione -periodica (pari). Dovrà dunque essere C = a /, C n = a n per n 1, ove a n sono i coefficienti di Fourier dell estensione prodotta, ovvero a n = 1 f(x) cos(nπx) dx, n =, 1,,... Facilmente si ottiene (il dettaglio del calcolo dei coefficienti a n è omesso): a = 1, a n = nπ [ cos( nπ ) 1 cos(nπ) ] = cos( nπ ) n pari n dispari, n 1, e la candidata soluzione è u(x, t) = a + a n e kπ n t cos(nπx) = 1 + [( 1) j 1]e kπ j t cos(jπx) j=1 = 1 e kπ (h+1) t cos((h + )πx). h=1 (11) 5

6 (La dimostrazione dell effettiva convergenza della serie a secondo membro di (11) ad una funzione u(x, t) che risolva in senso debole o classico il problema (9) è omessa.). (a) Si procede sulla falsariga di quanto fatto nel caso dell equazione della corda vibrante. Si utilizza il metodo dell energia: se ψ(x, t) è una soluzione di classe C dell equazione ψ tt ψ xx + ψ 3 =, con x, t R, moltiplicando ambo i membri dell equazione per ψ t si ottiene ( 1 ) t ψ t x (ψ xψ t ) + ψ x ψ tx + t( 1 ψ ) =, ovvero 1 (ψt t[ + ψx + ψ )] = x (ψ xψ t ). (1) Integrando (in x) su R ambo i membri dell identità (1), si trova R 1 (ψt t[ + ψx + ψ )] dx = = lim N + R x (ψ xψ t ) dx [ ψx (N, t)ψ t (N, t) ψ x ( N, t)ψ t ( N, t) ] =, in cui, assumendo ψ x per t fissato e x x, è lecito giustificare dapprima la convergenza degli integrali (impropri, a priori) e poi il fatto che il limite in (13) risulti nullo. (In effetti, è possibile provare che se i dati iniziali sono nulli fuori di un compatto, ovvero esiste R > tale che ψ(x, ) = ψ t (x, ) = per x R, per la soluzione corrispondente si ha ψ(x, t) = per x R + t, per ogni t. In altri termini, anche nel caso dell equazione non lineare (1) si ha velocità di propagazione finita, come nel caso lineare.) Utilizzando il Teorema di derivazione di integrali dipendenti da un parametro la (13) si riscrive come d [ 1 dt R (ψt + ψx + ψ )] dx =, che esprime appunto un principio di conservazione dell energia del sistema, se si interpreta la funzione 1 (ψt + ψx + ψ ) come densità di energia e dove [ 1 E(t) := (ψt + ψx + ψ )] dx R è l energia totale del sistema. (13) 6

7 Si osservi che rispetto al caso dell equazione lineare ψ tt ψ xx = l energia cinetica E k (t) del sistema è invariata, E k (t) := 1 ψt dx, mentre l energia potenziale cambia come è naturale in virtù della presenza della forza rappresentata dal termine non lineare F (x, t) = ψ 3 (x, t): E p (t) := 1 R R (ψx + ψ ) dx. (b) Imponendo che ψ(x, t) = ϕ(x θt) risolva l equazione di Klein-Gordon (1), si trova che ϕ C e (θ 1)ϕ + ϕ 3 =. Pertanto, (la velocità di propagazione) θ 1 e ϕ dovrà soddisfare l equazione differenziale ordinaria (EDO) ϕ + 1 θ 1 ϕ3 =. (1) Per una discussione dell EDO (1) si veda ad esempio il 5.7 del testo di Jeffery M. Cooper Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB, Birkhäuser,